第3课时直线与直线的位置关1.docx

第3课时　直线与直线的位置关系

能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用．

① 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. ② 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
③ 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

1. (必修2P93练习5改编)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为________．
2. (必修2P93练习6改编)过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
3. (必修2P95练习4改编)三条直线x－y＋1＝0、2x＋y－4＝0、ax－y＋2＝0共有两个交点，则a的值为________．
4. (必修2P105习题6改编)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
5. (必修2P106习题10改编)与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________．

题型1　 两直线的平行与垂直
例1已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1) l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 试判断l1与l2是否平行；
(2) l1⊥l2时，求a的值．

题型2　 两直线的交点
例2 △ABC的顶点B(3，4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求AC的长．

变式训练:
直线l经过点A(2，4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．

题型3　 点到直线及两平行直线之间的距离
例3 　已知点P(2，－1)．求：
(1) 求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2) 求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3) 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

变式训练：
过点P(3，0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．

题型4　 对称问题
例4已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2) 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3) 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

变式训练：
已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，内角∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为：l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0.求边BC所在直线的方程．

当堂反馈：
1. (2015·宿迁调研)将一张坐标纸折叠一次，使点(0，2)与点(4，0)重合，且点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n的值是________．
2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
3. (2015·无锡期末)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
4. (2015·衡水期中)△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1，2)，求BC边所在直线的方程．
第4课时　圆 的 方 程

了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程．

　　能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化．

1. (必修2P100习题2改编)已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．
2. (必修2P100习题2改编)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．
3. (必修2P100习题2改编)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的一般方程为________．
4. (必修2P100习题7改编)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是________．
5. (原创)实数x、y满足x2＋(y＋3)2＝4，则(x－3)2＋(y－1)2的最大值为________．

1. 圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2. 圆的标准方程
(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2) 特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r．
3. 圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为
＋＝.
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点；
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．
4. 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．
(2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．

题型1　 确定圆的方程
例1 求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．

1.已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

2.已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程．

题型2　 与参数有关的圆方程问题
例2 已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.
(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；
(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.
(1) 求实数b的取值范围；
(2) 求圆C的方程；
(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．　

2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
(1) 求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；
(2) 证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上．

题型3　 圆方程的应用
例3 　如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(≈28.72)．

1.已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1) 求y－x的最大值和最小值；
(2) 求x2＋y2的最大值和最小值．

2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是____________．

当堂反馈：
1. (2015·苏州期中)圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为____________．
2. (2015·重庆期末)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
3. (2015·苏北四市一模)若实数x，y满足x＋y－4≥0，则z＝x2＋y2＋6x－2y＋10的最小值为________．
4. (2015·无锡期末)已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________．
5. (2015·南通期中)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为__________．
6. 光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．
7. (2015·苏北四市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.
(1) 若AC＝4，求直线CD的方程；
(2) 证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．

8. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．