第二章第2讲函数的定义域和值域.doc

第2讲　函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．
[做一做]
1．(2015·浙江杭州模拟)函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞)
B．[0，4]
C．[0，4)
D．(0，4)
解析：选C.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，
∴0≤y＜4.
2．函数y＝＋的定义域为________．
答案：[－1，2)∪(2，＋∞)

1．求函数定义域应注意的四点
(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．
(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．求函数值域的六种基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．

(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．
(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．
(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．
[做一做]
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞)
D．(2，4)∪(4，＋∞)
答案：C
4．若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．
解析：∵有意义，∴x－4≥0，即x≥4.
又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.
∴其值域为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)

__求函数的定义域(高频考点)____________

函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求分式型函数的定义域；
(2)求无理型函数的定义域；
(3)求对数型函数的定义域；
(4)求抽象函数的定义域．
　(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　　　　 B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为____________．
(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)要使函数有意义，必须满足3x－1>0，解得x>0，故选D.
(2)由⇒⇒0≤x<1或1<x≤2.
(3)要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x<2.故选B.
[答案]　(1)D　(2)[0，1)∪(1，2]　　(3)B
　本例(2)变为函数f(x)＝(a>0且a≠1)，结果如何？
解：由⇒⇒0<x≤2，
故所求函数的定义域为(0，2]．
[规律方法]　简单函数定义域的类型及求法：
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
　1.(1)(2013·高考山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3，0]
B．(－3，1]
C．(－∞，－3)∪(－3，0]
D．(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数y＝＋(x－1)0的定义域是__________．
(3)(2015·广东佛山模拟)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为__________．
解析：(1)由题意知解得－3<x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3，0]，故选A.
(2)由，得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．
(3)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，
∴－1≤x2－1≤8，
∴函数y＝f(x)的定义域是[－1，8]．
答案：(1)A　(2){x|－3<x<2且x≠1}　(3)[－1，8]
__求函数的值域________________________

　求下列函数的值域．
(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；
(2)y＝；
(3)y＝x＋(x＜0)；
(4)f(x)＝x－.
[解]　(1)(配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，
∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
(2)y＝＝－1，∵1＋x2≥1，
∴0＜≤2.
∴－1＜－1≤1.即y∈(－1，1]．
∴函数的值域为(－1，1]．
(3)∵x＜0，∴x＋＝－≤－4，
当且仅当x＝－2时等号成立，
∴y∈(－∞，－4]．
∴函数的值域为(－∞，－4]．
(4)法一：(换元法)
令＝t，
则t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
法二：(单调性法)
f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，
所以f(x)≤f＝，
即函数的值域是.
[规律方法]　求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
　2.求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log3x＋logx3－1(x＞1)．
解：(1)法一：y＝＝＝1－.
因为≠0，所以1－≠1，
即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
法二：由y＝，得yx＋y＝x－3.
解得x＝，所以y≠1，
即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
(2)y＝＝1－，
∵x2－x＋1＝＋≥，
∴0＜≤，
∴－≤y＜1，
即函数的值域为.
(3)y＝log3x＋－1，
令log3x＝t，
则y＝t＋－1(t≠0)，
x＞1，t＞0，y≥2－1＝1，
当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立，
故函数的值域是[1，＋∞)．

__与函数定义域、值域有关的参数问题__

　若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，)
C．[0，] D．[0，)
[解析]　要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m≠0时，要使不等式恒成立，须即或即解得0<m<.由①②得0≤m<.故选D.
[答案]　D
[规律方法]　求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．
　3.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．

解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2，得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．
答案：5
,[学生用书P18])

考题溯源——求函数的定义域

　　　(2014·高考山东卷)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
[解析]　由题意知解得x>2或0<x<.故选C.
[答案]　C
[考题溯源]　本题源于教材人教A必修1P73，练习第2题，“求下列函数的定义域．(2)y＝，(4)y＝”．

　　　1.函数f(x)＝的定义域为__________．
解析：要使函数有意义，必须且只需，即，解不等式组得－1<x<1.
因此函数f(x)的定义域为(－1，1)．
答案：(－1，1)
2．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1，0]

1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是(　　)
A．f(x)＝x2＋a　　　　　　 B．f(x)＝ax2＋1
C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1
解析：选C.当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1，10] B．[1，2)∪(2，10]
C．(1，10] D．(1，2)∪(2，10]
解析：选D.要使函数有意义，
则x需满足即
解①得－1≤x≤10.
所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．故选D.
3．函数y＝2－的值域是(　　)
A．[－2，2] B．[1，2]
C．[0，2] D．[－，]
解析：选C.－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，
0≤≤2，
－2≤－≤0，
0≤2－≤2，所以0≤y≤2.
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 016]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1，2 015] B．[－1，1)∪(1，2 015]
C．[0，2 016] D．[－1，1)∪(1，2 016]
解析：选B.令t＝x＋1，则由已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2 016]可知f(t)中0≤t≤2 016，故要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 016，解得－1≤x≤2 015，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 015]．所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1<x≤2 015.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]．
5．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是(　　)
A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞)
解析：选D.令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x<－1或x>2时，函数f(x)>f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数f()≤f(x)≤f(－1)，即－≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是[－，0]∪(2，＋∞)．
6．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.
x
0<x<5
5≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
解析：函数值只有四个数2，3，4，5，故值域为{2，3，4，5}．
答案：{2，3，4，5}
7．已知函数f(x)＝，则函数f[f(x)]的定义域是__________．
解析：根据题意可得f[f(x)]＝，
要使函数有意义，只需
解得x≠－1且x≠－2，故函数f[f(x)]的定义域为{x|x≠－1且x≠－2}．
答案：{x|x≠－1且x≠－2}
8．(2015·温州模拟)若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为，则a＋b＝________．
解析：∵由题意知x－1＞0，又x∈[a，b]，
∴a＞1.则f(x)＝在[a，b]上为减函数，
则f(a)＝＝1且f(b)＝＝，
∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.
答案：6
9．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b＞1)，求a，b的值．
解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其对称轴为x＝1.
即函数f(x)在[1，b]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b.②
又b>1，由①②解得
∴a，b的值分别为，3.
10．已知函数f(x)的值域为[，]，求函数g(x)＝f(x)＋的值域．
解：∵≤f(x)≤，
∴≤≤，
令t＝，则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，
∴y＝－(t2－1)＋t.
∴当t＝时，y有最小值，当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为.

1．(2015·河南漯河模拟)已知A，B是非空数集，定义A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x}，则A⊕B＝(　　)
A．[0，3) B．(－∞，3)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．[0，3]
解析：选B.分析得到A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)，所以A⊕B＝(－∞，3)．
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f(x)＝x2＋x＋2与g(x)＝2x＋1在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是(　　)
A．[0，2] B．[0，1]
C．[1，2] D．[－1，0]
解析：选B.
在同一坐标系中作出函数f(x)及g(x)的图象，如图所示．

由题意作出与g(x)＝2x＋1的距离为1的平行线y＝2x＋2的图象，由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0，1]．
3．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为________，值域为________．
解析：由已知可得x＋2∈[0，1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f(x＋2)的值域仍为[1，2]．
答案：[－2，－1]　[1，2]
4．若函数y＝的值域为[0，＋∞)，则k的取值范围是________．
解析：当k＝0时，原函数可化为y＝＝2，此时值域不是[0，＋∞)，从而k≠0.
当k≠0时，想满足题意，则有

解得k≥1，从而k的取值范围为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0
⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤.
∴a＋3＞0.
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－＋.
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为.
6．(选做题)已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．

(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝，x∈[0，a](a＞0)．
(2)当a＝时，函数f(x)的定义域为，
令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈，
f(x)＝F(t)＝＝，
当t＝时，t＝±2∉，
又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈.
即函数f(x)的值域为.