一元二次方程根与系数关系.docx

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
一、 教材分析：
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后利用根与系数关系简化一些计算的知识。
二、学情分析：
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程。
2．本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
三、教学目标：
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
四、教学重难点：
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
五、教学过程：
（一）复习提问：一元二次方程的求根公式
（二）亲历过程，探究新知
1、 填表，观察、猜想
方程
x1,, x2
x1,+ x2
x1. x2
x2-2x+1=0

x2+3x-10=0

x2+5x +4=0

问题：你发现了什么规律？
② 语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
设计意图：本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、归纳：如果关于x的方程x2+px+q=0的两根是x1,x2，则x1+x2=-p，x1.x2=-q。
3、想一想如果方程二次项系数不为1呢?
方 程
x1,, x2
x1,+ x2
x1. x2
2x2-3x-2=0

3x2-4x+1=0

问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
② 语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律：
设计意图：遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。
（三）体会感悟，揭示规律
1、一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2= -b/a, X1.X2= c/a
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
2、你能用一元二次方程的求根公式证明一元二次方程根与系数关系吗？
设计意图：此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
（四）合作交流，展示提升
1、不解方程，求下列方程的两根和与积
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 1/2=0
3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
设计意图：引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，培养学生思维严谨性和起过渡作用设计。
（五）应用规律，拓展延伸
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3、已知关于x的方程X2+(m+1)X+2m-1=0, 当m= 时,此方程的两根互为相反数。当m= 时,此方程的两根互为倒数.
4、以2和 －３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：
5、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
6、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
7、方程 mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
设计意图：培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。
(五)课堂小结通过本节课的学习你学到了那些知识？
设计意图：本设计的目的是帮助学生回忆本节所学的内容，加深对本节内容的理解，初步掌握方程理论的应用。
（六）课后作业
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
(1)X2-3x+1=0 (2)3x2-2x=2
(3)2x2+3x=0 (4)3x2=1
2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值。
设计意图：通过作业，让学生巩固所学的内容，掌握一元二次方程关于两根的变式。