2023年湖南省高考物理压轴题评析、溯源与拓展.pdf

物理版 年 月 日 第 期 .年湖南省高考物理压轴题评析、溯源与拓展姚华鑫 闫俊卿(.北京师范大学未来教育学院 广东 珠海 .安庆市田家炳中学 安徽 安庆)摘 要:聚焦物理学科核心素养体系对 年湖南省高考物理压轴题从试题赏析、题目解答、题目溯源、拓展思考、教学启示等方面进行了探讨.指出在未来物理教学中要对教材和课后习题中的典型题目进行深入挖掘让学生理解透彻题目中的本质物理规律.关键词:高考物理压轴题轨迹方程运动周期最大速度教学启示作者简介:姚华鑫()男湖南怀化人本科在读研究方向:中学物理教学与模型研究闫俊卿()女安徽桐城人硕士中学一级教师研究方向:中学物理智慧课题与数字化.年湖南省高考物理试题以物理学科核心素养为导向知识点覆盖比较广突出时代性和实践性同时兼顾基础性与选拔性.试题立足物理学科知识网络体系注重数学知识的运用加强了综合性体现了高考试题服务选才的功能.其中物理试题的压轴题是一道综合物理规律与数学知识的题目该题目要求学生深入掌握模型的运动规律综合应用性较强考查了学生的推理论证能力和数学方程化表达能力.原题呈现如图 质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 长轴水平短轴竖直.质量为 的小球初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 椭圆长轴位于 上.整个过程凹槽不翻转重力加速度为.()小球第一次运动到轨道最低点时求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离()在平面直角坐标系 中求出小球运动的轨迹方程()若 求小球下降 高度时小球相对于地面的速度大小(结果用 和 表示).试题分析.试题情境本题以一道动态的椭圆摆模型为情境巧妙设置以数学知识为载体的物理试题牵涉到动量守恒定律和机械能守恒定律附加以运动轨迹的数学方程表达属于综合性和应用性题目难度较大.必备知识该题通过设问小球和凹槽运动过程中的状态量的计算考查动量守恒的分析、动量守恒定律的应用、机械能守恒定律的判断与运用、数学曲线方程表达、速度的分解与合成以及变换参考系分析问题.能力素养本题考查的关键能力主要有理解能力、推理论证能力和模型建构能力凸显了物理学科的核心素养.本题要求学生具备运用数学知识解决物理问题的能力实现物理规律数学化表达的能力.对于理解能力方面该题要求学生能从基本的球摆模型中挖掘有效信息认识到小球在不同形状的轨道中运动所满足的共同的物理规律与定律.对于推理论证能力和模型建构方面第()问求解小球的轨迹方程要求学生具备运用物理知识建立相应的数学模型的能力用数学化的表达式表现其中所蕴含的物理规律.第()问要求学生能充分挖掘题设轨迹的特点并运用几何关系分解小球速度达到解决问题的目的.年 月 日 第 期物理版:/.解题过程()水平地面光滑小球运动到最低点的过程中小球和凹槽水平方向不受任何外力小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒.设小球运动到最低点的速度为 凹槽的速度为于是可得()由于接触面均光滑可知系统机械能守恒则有()解得 ()在水平方向采用微元法根据水平方向动量守恒可得 ()对小球从释放到第一次运动到轨道最低点求和可得()又 ()联立上述各式解得 ()()解法一:以地面为参考系由于水平方向动量守恒系统的质心在水平方向上不动设小球在某时刻的坐标为()凹槽水平位移为 可得 ()()解得 ()()根据数学知识可得此时的椭圆方程为()()联立上述两式可得()()整理可得()()点评:该解法是建立在已知小球运动轨迹为椭圆的基础上得出的.后文我们将得知此模型下小球运动轨迹为椭圆是有一定条件的.这种解法对高中物理教学一般不适用易让学生误解小球运动轨迹为椭圆方程具有普遍性没有深入问题的本质.解法二:在 系中设小球的横坐标为 小球和凹槽的水平位移分别为.在 系中小球的横坐标为 如图 所示根据小球在两个参考系中的相对关系由运动情况不难得出:在 系中小球的坐标满足()在 系中有 ()且水平方向动量守恒 ()即有 ()又 ()联立以上各式解得 ()这是一个半短轴为 半长轴为 的椭圆.点评:解法二是变换参考系的情况下根据二者的位移关系解得的轨迹方程.该种解法比较符合学生的认知水平和知识储备是教学中常用的处理该类问题的做法.()解法一:将 代入()式整理可得 ()()此时小球的轨迹是以()为圆心 为半径的圆.当小球下降时由图 可知速度与水平方向的夹角为 根据水平方向动量守恒可得 ()根据机械能守恒可得物理版 年 月 日 第 期 .()联立解得 ()解法二:将()进行隐函数求导可得()()()整理可得 ()()将 代入可得()即速度与水平方向成 角.同理可求得此时小球速度为 .点评:第一种做法要求学生充分挖掘题目条件信息得出轨迹方程是圆方程的结论然后利用几何性质分解速度再结合机械能守恒定律最终求解此时小球的速度大小.而第二种解法为纯粹的代数学求解方法超出了高中生的知识储备可以给广大中学物理教师提供借鉴.题目溯源如图 所示半圆形光滑槽质量为 半径为 置于光滑水平地面上.一质量为 的小球可在槽内自由滑动.开始时小球由 处静止释放.求:()滑到最低点时、对地的速度大小()在最低点时 对槽的压力()对地的运动轨迹在最低点的曲率半径()对地的轨迹方程.解答如下:()同理可知系统水平方向动量守恒且全过程系统的机械能守恒可得()()解得 ()()当 运动到最低点时槽 没有加速度可选作惯性参考系此时 相对于 的速度为 相对于 的运动半径为 根据牛顿第二定律可得 ()()解得 ()()()以地面为参考系小球的轨迹不是一个圆设小球经过最低点时对应的曲率半径为 根据牛顿第二定律可得 ()解得 ()()以地面为参考系建立向右为 轴正方向向下为 轴正方向的平面直角坐标系如图.由于水平方向动量守恒系统的质心在水平方向的位置不变可得 ()()解得 ()()由图可知任意时刻小球的坐标为 ()()联立上述各式可得 ()可见小球的轨迹为椭圆的一部分椭圆的中心为()半长轴为 半短轴为 .点评:通过上述解答过程我们发现在一般情况下无论凹槽的轨道是圆轨道还是椭圆轨道小球相对于地面参考系的轨迹都是椭圆方程的一部分.不同点在于凹槽是椭圆轨道时我们可以调整小球与凹 年 月 日 第 期物理版:/.槽的质量比使得小球的轨迹为圆弧.拓展思考.揭开影响小球轨迹方程的面纱如果凹槽的轨道形状不再是圆轨道或者椭圆轨道那么小球相对于地面参考系的运动轨迹还是椭圆或者圆轨道的一部分吗?接下来我们将推导凹槽轨道是抛物线时小球相对于地面参考系的轨迹方程.我们以地面参考系为 系以凹槽参考系为系.设小球在 系中的横坐标为 小球和凹槽的水平位移分别为在系中小球的横坐标为设凹槽曲线的抛物线方程为 如图 所示根据相对运动情况有如下关系:在 系中小球的坐标满足 ()在 系中有 ()由水平方向动量守恒可知 即有 ()又 ()联立上述各式解得 ()由数学易知上述小球的轨迹为抛物线方程开口朝上轨迹的最低点向右平移 个单位.这时我们得出结论小球相对于地面参考系的运动轨迹取决于凹槽的形状.实际上我们据此归纳得到以下结论:如果凹槽的连续曲线方程为 ()那么小球相对于前文参考系的轨迹方程为 .其中 为曲线方程在 轴正半轴的截距大小.揭开小球速度最大值出现位置的面纱为研究方便我们选取凹槽形状是圆轨道来探讨小球最大速度出现的位置.当二者的质量之比满足什么条件时小球最大速度出现在最低点?小球在系中做圆周运动设图 中小球在该系中的速度为 二者在 系中的速度分别为.此时小球和凹槽圆心的连线与水平方向所成夹角为 如图 所示.水平方向有 ()竖直方向有 ()在 系中根据动量守恒和机械能守恒定律可得()()联立上述各式可得()()()()令 则有 ()()()()接下来我们探讨这个小球最大速度出现在最低点时 所满足的条件.令 ()整理()式可得 ()令 则有 ()若要使速度能在最低点最大则 在 ()恒成立.物理版 年 月 日 第 期 .整理可得()()()()令 ()这是一个关于 的二次方程.对称轴 ()()()()故上式二次方程的最小值在 时取到如要恒成立则需最小值都要大于零即有()()()()整理可得 ()解得 ()故当 时小球的速度最大值出现在最低点当 时小球的速度最大值不出现在最低点.因此 是小球的速度最大值恰好出现在运动轨迹最低点的临界值.揭开小球和凹槽系统运动周期的面纱如图 所示代表小球的速度代表凹槽的速度 代表小球相对于凹槽的速度显然 沿圆弧的切线方向.由机械能守恒可知()其中 ()()()水平方向动量守恒可得()又 ()即有 ()联立以上各式可得 ()()由于 ()故有 ()解得关于 的微分方程为 ()由 可得 ()故周期为 ()上述微分方程没有解析解不过可以用软件进行数值模拟求出有一定精确度的结果这里不再赘述只给出计算凹槽左右运动的周期计算公式.教学启示一道高考题的设计是在命题专家深思熟虑下命制的经典模型不按套路出牌将会成为新高考试题的亮点.这道高考压轴题实质上是一道经典模型题目的改编题只是将圆轨道改成了椭圆轨道.这就启示我们在未来物理教学中要对教材和课后习题中的典型题目进行深入挖掘做到“一题多解、一题多变、多题归一”的变式训练让学生理解透彻题目中的本质物理规律.诚然我们也可以通过小组讨论的形式让学生自主改编试题并进行自我解答从而引导学生在讨论分享中形成多样化的问题意识碰撞思维的火花.如果学生没有想到比较好的改编问题我们教师可以把拓展思考部分的两个问题抛给学生让他们探寻其中规律并自主总结.教学中落实好物理模型和本质规律的总结避免“死记硬背、机械刷题”的现象才是核心素养时代背景下物理教学的捷径和追求.参考文献:教育部考试中心.中国高考评价体系.北京:人民教育出版社.卞望来.年高考物理山东卷第 题赏析.物理教学():.李万杰.深度学习视域下一道椭圆摆问题的探讨.中学物理教学参考():.(收稿日期:)