第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
2．六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ (k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin α
sin α
cos_α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos_α
－cos α
sin α
－sin_α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α

口诀

函数名不变
符号看象限

函数名改变符号看象限
简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．
[做一做]
1．tan 330°＝(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C. D．－
答案：D
2．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)
A．－ B.
C．－2 D．2
答案：C

1．辨明两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
2．三角函数求值与化简的三种常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
[做一做]
3．cos＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案：C
4．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B.tan θ＋＝＋＝＝2.

,[学生用书P57～P58])

__利用诱导公式化简三角函数式________

　(1)sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin (－1 050°)＝________．
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________．
[解析]　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos (360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
[答案]　(1)1　(2)
[规律方法]　利用诱导公式化简三角函数式的原则
遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．
　1.(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)·sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________．
(2)化简：＝________．
解析：(1)原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＋tan 1 089°tan 540°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)tan(360°＋180°)
＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°tan 180°＝0＋0＝0.
(2)原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
答案：(1)0　(2)－1
__利用诱导公式求值____________________

　(1)已知sin＝，则cos＝________；
(2)已知tan＝，则tan＝________．
[解析]　(1)∵＋＝，
∴cos＝cos
＝sin＝.
(2)∵＋＝π，
∴tan＝－tan
＝－tan＝－.
[答案]　(1)　(2)－
[规律方法]　巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
　2.(1)已知sin＝，则cos＝________．
(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________．
解析：(1)cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－，
所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.
答案：(1)－　(2)
__同角三角函数基本关系式(高频考点)____

同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)知弦求弦；
(2)知弦求切；
(3)知切求弦．
　(1)(2015·辽宁省五校高三联考)已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)
A. B.
C．－ D．±
(2)已知tan α＝2，求下列各式的值：
①；
②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
[解析]　(1)因为cos＝，所以sin α＝－，显然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.
[答案]　B
(2)解：①原式＝＝＝－1.
②∵sin2α＋cos2α＝1，
∴4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝
＝
＝＝1.
[规律方法]　同角三角函数关系式及变形公式的应用：
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
　3.(1)已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________．
(2)已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝________．
(3)(2015·浙江杭州模拟)若θ∈，sin 2θ＝，则cos θ－sin θ的值是________．
解析：(1)因为α是第二象限的角，所以cos α<0.又因为sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，所以cos α＝－.
(2)依题意得：＝5，∴tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
(3)(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝.
∵＜θ＜，∴cos θ＜sin θ.
∴cos θ－sin θ＝－＝－.
答案：(1)－　(2)　(3)－
,[学生用书P58])

方法思想——方程思想在三角函数求值中的应用

　　　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．
[解析]　法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，
所以x1＝，x2＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
法二：同法一，得sin θcos θ＝－，
所以＝－，
弦化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，
sin θcos θ＝－<0.
所以θ∈，所以tan θ＝－.
[答案]　－
[名师点评]　本题利用方程思想，所谓方程思想就是把所研究问题转化为方程式(组)求出未知数及各量的值．
法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．
法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．
　(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵tan(θ＋)＝，
∴＝，解得tan θ＝－.

∴(sin θ＋cos θ)2＝
＝＝＝.
∵θ为第二象限角，tan θ＝－，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，
∴sin θ＋cos θ<0，
∴sin θ＋cos θ＝－.
答案：－

1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|<，∴θ＝.
3．已知角θ的终边上有一点M(3，m)，且sin θ＋cos θ＝－，则m＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
解析：选D.由题意得sin θ＝，cos θ＝，所以＋＝－，即＝－，解得m＝－4.
4．(2015·成都外国语学校月考)已知tan＝，且α∈，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.tan(α－π)＝⇒tan α＝.
又因为α∈，
所以α为第三象限的角，sin＝cos α＝－.
5．已知f(α)＝，则f的值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选C.∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos ＝－.
6．(2015·浙江宁波模拟)如果sin α＝，且α为第二象限的角，则sin＝________．
解析：∵sin α＝，且α为第二象限的角，
∴cos α＝－＝－＝－，
∴sin＝－cos α＝.
答案：
7．化简＋
＝________.
解析：原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________．
解析：由＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，
故sin θcos θ＝，
∴sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ＝.
答案：
9．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．
解：∵sin α＝＞0，∴α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝.
(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
10. 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B，两式平方相加得2cos2A＝1.
即cos A＝或cos A＝－.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又角A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又角A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.

1．(2015·广东深圳调研)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
解析：选D.原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限的角平分线上，sin α与cos α的绝对值相等、符号相反，所以原式＝0.
2．(2015·湖北黄州联考)若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.∵△ABC是锐角三角形，则A＋B>，
∴A>－B>0，B>－A>0，
∴sin A>sin＝cos B，sin B>sin
＝cos A，
∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，
∴点P在第二象限．
3．已知cos(75°＋α)＝，－180°<α<－90°，则tan＝________．
解析：由－180°<α<－90°，得－105°<α＋75°<－15°，
故sin(75°＋α)＝－＝－.
而cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)，
sin(15°－α)＝sin[90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)，
所以tan(15°－α)＝－.
答案：－
4．设函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________．
解析：∵f(x)＝sin x＋cos x，
∴f′(x)＝cos x－sin x，
∴sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)，
即3sin x＝cos x，得tan x＝，
于是＝
＝tan2x－2tan x＝－＝－.
答案：－
5．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β.②
由①÷②得9cos2α＝4cos2β.③
由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，∴cos α＝±.
6．(选做题)已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得
f＋f＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.