二次函数y＝a（x－h）2+k的图象和性质.doc

二次函数y＝a（x－h）2+k的图象和性质
教学目标
1．经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义．
2．了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．
3．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学重点
从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．
教学难点
理解图象的平移和变换的理解和确定．
教学过程
一、导入新课
1．函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?
函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的．
2．函数y＝2(x－1)2的图象与函数y＝2x2的．图象有什么关系?
函数y＝2(x－1)2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．
二、探求新知
1．在同一直角坐标系中分别画出函数y＝-(x+1)2-1、y＝-x2-1、y＝-x2图象.
解：按照列表，描点，连线的步骤，即可得到函数的图象，如图所示：

2.根据上题中所画的函数图象回答问题：
（一）函数y＝-(x+1)2-1有哪些性质？
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是（h，k）．
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．

（二）填表：

填表并交流归纳：函数y＝-(x+1)2-1图象与函数y＝-x2-1图象以及函数y＝-x2图象有什么关系？

教师引导学生填写上表，认识这三个函数之间的关系，然后组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识．

函数y＝-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y＝-x2-1的图象向左平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y＝-x2的图象向左平移1个单位再向下平移1个单位得到的，还可以看成是将函数y＝-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的．
当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大，当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝-1．
3．二次函数的性质归纳小结．
（1）抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．②对称轴是x＝h．③顶点是（h，k）．
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
（2）一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．

三、巩固练习
教材第37页练习．

答案：（1）开口向上，对称轴x=-3，顶点坐标（-3,5）；（2）开口向下，对称轴x=1，顶点坐标（1,-2）；（3）开口向上，对称轴x=3，顶点坐标（3,7）；（4）开口向下，对称轴x=-2，顶点坐标（-2,-6）.
四、知识应用
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?
解：如下图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．

点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y＝a(x－1)2＋3（0≤x≤3）．
由这段抛物线经过点(3，0)，可得
0＝a(3－1)2＋3，
解得
a＝－．
因此
y＝－(x－1)2＋3（0≤x≤3）．
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25m长．
五、课堂小结
1．y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间有什么关系．
y＝ax2(a≠0)的图象y＝a(x－h)2的图象y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．
口诀：(h，k)正负左右上下移(h左加右减，k上加下减)

2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有哪些特点．
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是（h，k）．
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．

六、布置作业
习题22.1 第5题．