建模篮球.doc

篮球
摘要
该文建立数学模型，对求篮球出手速度的大小和方向进行求解，求篮球出手方向的问题可转化为求一个出手角度范围使由弧及直线所围图形面积的最大问题。再应用动能定理与运动学公式，通过求得的角度的范围得到出手速度大小的范围。
关键词：篮球投射，速度和投射角，运动学公式，动能定理
一、问题重述
已知篮球篮圈离地面3.05米，有一人正面对篮圈投篮，篮球出手高度为1.8米，球心距篮圈中心的水平距离为4.5米，篮球直径0.246米且其重量为0.6公斤，篮圈直径0.45米，如果篮球正好中蓝（没有擦到篮圈和篮板），只考虑地心引力，请进行数学建模，确定投篮者让篮球出手的速度大小和方向。
二、问题假设
(1)假设不考虑空气阻力等因素；
(2)假设篮球为一质点。
三、符号说明
(1)篮圈半径为；
(2) 球心距篮圈中心的水平距离为;
(3) 篮球篮圈离地面为;
(4) 篮球出手高度为；
(5)篮球出手速度为；
(6)篮球出手速度与地面所成角度为；
(7)篮球入篮时水平和竖直速度大小分别为。
四、模型建立与求解
建立平面直角坐标系，如图1所示，以篮球出手点为坐标原点，以人站立的竖直方向为轴，以人正面对篮圈方向为轴正方向。设为篮圈横截面的两个端点，篮圈距地面高度为，篮圈半径为，球心距篮圈中心的水平距离为，篮球出手高度距地面为。

图1 投篮示意图

4.1 篮球出手角度范围的求解
求篮球出手方向的问题可转化为求一个出手角度范围使由弧及直线所围图形面积的最大问题。由动力学知以初速度（方向与轴成角）投射篮球的运动轨迹与时间的方程为
（1）
消去时间后得直角坐标系下运动轨迹方程与初速度的表达式
（2）
设由弧及直线所围图形面积为

（3）
　　从的表达式可知，当越大，则越大。而实际上，只可能在某一范围内变化，故应求出的变化范围，从表达式（2）分析中得知, 与初速度有关，故需要通过它们的关系求出的变化范围.。
　　由篮球运动轨迹方程与初速度的表达式（2），设球过点

　　把该点代入（2）并整理得
（4）
　　得到的（4）是关于的一元二次方程，解方程（4）得
（5）
　　为了使问题的讨论有结果取得较小值，则
（6）
其中应满足 （7）
　　解关于的方程（7）得

或 （负值舍去）
　　又因为

　　所以是关于的严格单调减函数。
由于，把代入（6）得

　　由此可得

可见是的单调减函数，由于，所以

　　故投射角应控制在以下范围

4.2 篮球出手速度大小的求解
由于上一问求的篮球出手角度的范围，对于篮球出手速度的大小，应用动能定理。假设初始速度大小为，水平方向的速度为，球入篮时的竖直速度为，则当球入篮时运用动能定理得
（8）
设球到达最高用时为，入篮时用时，则有如下方程
（9）
把（9）代入（8）得

从而根据和得到某一和下具体的速度。
五、模型的评价
为了计算简便，该模型忽略了篮球的半径，对结果造成一定误差，在计算时可以将篮球框半径看做实际球框半径减去篮球的半径，这样结果会比较精确。
六、参考文献（略）

附录
clear
clc
H=3.05;
h=1.8;
s=4.5;
r1=0.123;
r2=0.225;
r=r2-r1;
h1=H-h;
s1=s+r;
s2=s-r;
x=h1/s1+((h1/s1)^2+1)^(1/2);
y=atan(x)
c=y/(2*pi)*360
x1=h1/s2+((h1/s2)^2+1)^(1/2;
y1=atan(x1)
c1=y1/(2*pi)*360