等腰三角形 (2).doc

等腰三角形的性质与判定
1.等腰三角形的性质．
（1）等腰三角形的两腰相等．（定义）
（2）等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角” ）
（3）等腰三角形底边上的高、中线与顶角的平分线互相重合．（简称“三线合一” ）
如图，在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上（为了方便记忆可以说成“知一求二！” ）
（1）如果∠BAD =∠CAD ,那么AD⊥BC，BD=CD
（2）如果 BD=CD，那么∠BAD =∠CAD，AD⊥BC
（3）如果 AD⊥BC，那么∠BAD =∠CAD，BD=CD
2.等腰三角形的判定定理
①如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；“等角对等边”．
②一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质定理）
③一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
④一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能得到它是等艘三角形，从而得到“三线台一”的结论．
3..等边三角形的概念:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形的性质（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等，它的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，它的任一角的平分线垂直并平分对边。（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形的判定（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
训练题
1.点关于轴的对称点是 ，关于轴的对称点是
2.已知点和点关于轴对称，则 ， ；
若关于轴对称，则 ，
3.已知点和点关于轴对称，则
4.已知等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角是
5.已知等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角是
6.已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长是
已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长是
7.在中，为中线，，则
8．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ）
（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11
9、▲在中，，平分，若，则（ ）
（A）30° （B）40° （C）45 ° （D）60°
10、▲等腰的顶角，是内部的一点，且，则（ ）
（A）100° （B）130° （C）115 ° （D）140°
11、等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是__________.
12、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为__________.
13、等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线分其周长的两部分的差为3cm，则腰长为 （ ）
A 2cm B 8cm C 2cm或8cm D 以上答案都不对
14、若一个三角形一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么这个三角形一定是（ ）
A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 不确定
15、 等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
16、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17、如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm

图1 图2 图3
18、 如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：其中正确的有（ ）
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
19、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
20、在钝角⊿ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AD把ABC分成两个等腰三角形，则BAC的度数为（ ）A、 B、 C、 D、
21、如图3，在ABC中，AC、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O，下列结论中，错误的是（ ）
A、点O在AB的垂直平分线上 B、AOB、BOC、COA都是等腰三角形
C、OAB+OBC+OCA= D、点O到AB、BC、CA的距离相等
22、如图4,已知△ABC的周长为36cm,且AB=AC,AD⊥BC于D, △ABD的周长为30 cm,那么AD的长为 .
23、如图5,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= 度.
24、如图6, △ABC是等边三角形,BD⊥AC于D,AE⊥BC于E,写出图中所有的等腰三角形: .(不包括△ABC)
A
B
C
D
A
B
O
C
E
D

A
B
D
C

图4 图5 图6 图7

25、如图7，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________.
26．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为
27．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为 ．
28.如图8，若，则的度数为（ )
A．30° D．32° C 36° D．40°
29．如图9，中，已知，要使，需要添加的一个条件是 ．
30．中，，，，则 度．
31．如图10，中，于，于，与相交于点，若，则的大小是 ．

图8 图9 图10 图11

32．如图11，在等边中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )
A．45° D．55° C．60° D．75°
33、如图12、已知中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S= S；④EF=AP．当∠EPF在内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

图12 图13 图14
34.如图13、AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根．
35．如图14，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( )
A．58° B．32° C．36° D．34°

36．如图15，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)

37.如图16，等腰中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，则△DCE的周长为 。

图15 图16、
38.等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，求它的三边的长。

39、已知:点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC, DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.
A
B
C
D
E
F
求证: △ABC是等腰三角形。

40、在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数．

41、如图14－106所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.

42、如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．

M
B
A
N
C
Q
P
图14－16

43、如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度数．

图14－14
C
A
B
H

提高训练
1、如下图1，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________．
2、如下图2，在△ABC中，C为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB＝________．

图1 图2 图3

3、在ABC中，ACB= ，D是AB上一点，且AD=AC，则（ ）
A、 B、
C、 D、
4、如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ） A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF

5、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
6、如图14－116所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )
A.90° B.75° C.70° D.60°

7、已知，如下图4，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝________．

图4 图5 图6

8、在图5中，Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE∶∠BAC＝1∶5，则∠C＝________．
9、如图6，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝________．
10、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

11、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，
求证：AE=BE．

12、如图14－107所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.

15、如图，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60o，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，再观测海岛B在北偏东30o，船航行到D处，观测到海岛B在北偏西30o，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.

30o
60o
60o
北
B
A
C
D
东
30o

14.如图，在Rt中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点.
（1） 写出点D到A、B、C三个顶点 DA、DB、DC的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论

15探索①已知：如图（a）AB＝AC， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB．
问：①图中有几个等腰三角形？
②如图（b），若过D作EF//BC交AB于E,交AC于F，图中有几个等腰三角形？
（3）如图（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形？并证明：EF＝BE＋CF。

④如图（d）BD、CD分别是△ABC的内角、外角的平分线，过交点D作DE∥BC，求证：EF＝BE－CF．

⑤如图（e），AD、CD是的两个外角的平分线，过交点D作EF∥AC，求证：EF＝AE＋CF．

16.如图3－121，若BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE//AB交BC于E,作DF//AC交BC于F.求证：BC的长等于△DEF的周长．

17、已知：如图 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

18.把一张长方形纸条，像图3－122那样折叠，重合部分是什么形状？为什么？

19．如图，是一张梯形纸片ABCD，CD∥AB，∠DAB=900，将△ADC沿AC折叠，点D恰好落在BC边的中点E上，求证：△ADE是等边三角形。

20、两个全等的含300，600的三角板ADE和ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断⊿EMC的形状，并说明理由。