代几综合题训练.doc

代几综合题训练
1．如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ＝ AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
y
OM
x
A
B
C
D
1
1
x＝1
备用图
y
OM
x
A
B
C
D
1
1
x＝1

2如图，已知抛物线y＝－x 2－x＋ ，正方形ABCD的边AB在x轴上，顶点C、D在x轴上方的抛物线上，将正方形ABCD绕点B顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），得到正方形A1BC1D1．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）当tanα＝ 时
①求正方形A1BC1D1与正方形ABCD重叠部分的面积；
②在抛物线的对称轴上存在点P，使△PC1D1为直角三角形，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QC1D1为等腰直角三角形？若存在，求此时tanα的值；若不存在，请说明理由．
y
x
O
C
D
A
B
备用图
y
x
O
C
D
A
B
备用图
y
x
O
C
D
A
C1
D1
A1
B

3己知：二次函数y＝ax 2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x 2－4x－12＝0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标；
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标；
（3）如图l，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
y
x
O
C
A
B
D
Q
图2
y
x
O
C
A
B
图1

4如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝－ x 2＋bx＋c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y＝－ x 2＋bx＋c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
O
C
A
B
D
P
Q
y
x
O
C
A
B
D
备用图

5 ．如图，抛物线y＝ax 2＋bx（a＞0）与双曲线y＝ 相交于点A，B，已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
C
A
O
B
xM
yM
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

6 如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
C
A
O
B
xM
yM
F
l
G
K
D
H
E
C
A
O
B
xM
yM
F
l
G
K
D
H
E
备用图
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

7如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
A
B
O
C
x
y
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 ．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y＝－ x 2＋ ( m－2)x＋4m－7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若E、F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上方），且EF＝2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；
（3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ ＝2S△AOQ ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
O
x
y
1
1

9如图，已知二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，－2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
O
B
A
x
y
C
P
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

10如图，已知二次函数y＝－ x 2＋ x＋2图像与y轴交于点A，与x轴正轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于C点．
（1）求A、B两点坐标及直线AB的解析式；
（2）连接AC，当△APC为直角三角形时，求点P的坐标；
A
O
B
P
y
C
x
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11 ．如图，抛物线y＝－ x 2＋ x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
O
x
y

A
B
C
P
N
M

12如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5），点C是y轴负半轴上一点，且tan∠OCB＝ ．点P是直线OB上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线BC平分△PQB的面积时，求点P的坐标；
y
O
x
C
A
B
Q
P
（3）是否存在这样的点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13如图，抛物线y＝－ x 2＋ x＋4交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，以OB、OC为边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．
（1）求OB和OC的长；
（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交x轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE＝m，PM＝h，求h与m的函数关系式，并求PM的最大值；
（3）连接PC，在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△BEM相似？若存在，求出相应的m的值，并判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
y
O
x
A
C
E
D
B
G
F
M
P

14在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋3与x轴的两个交点分别为A（－3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当以点P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．
O
B
A
y
H
x
C
O
B
A
y
H
x
C
备用图

15 O
x
y
A
C
M
B
N
如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，－4），其中x1，x2是方程x 2－4x－12＝0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．