主题单元设计模板(正余弦定理在生活中的应用).doc

《正余弦定理在生活中的应用》主题单元设计
主题单元标题
正余弦定理在生活中的应用
作者姓名
崔国光
所属单位
山东省博兴第二中学
联系地址
山东省博兴县博城四路
联系电话
13793886156
电子邮箱
bxezcgg@
邮政编码
256500

学科领域 （在内打 √ 表示主属学科，打 + 表示相关学科）
思想品德
音乐
化学
+ 信息技术
劳动与技术
语文
美术
生物
+ 科学

√ 数学
外语
历史
社区服务
体育
+ 物理
地理
+社会实践
其他（请列出）：
适用年级
高中一年级
所需时间
5课时
主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)
本单元是高中数学教材中有关解三角形最集中的一部分，内容包括“正弦定理和余弦定理”、“应用举例”、“实习作业”三个方面。在整套教材中，初中学生已经学习了三角形中边和角的基本关系、全等三角形、解直角三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修四中，学习了三角函数、向量、三角恒等变换等内容。这些为学生学习本单元的内容提供了坚实的基础。正弦定理和余弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活中常常涉及解三角形的问题。
在本主题单元中，我们把内容设计成三个专题来组织学习活动。专题一：如何用正弦定理解三角形。通过分类讨论、类比推理等方法，掌握正弦定理的内容、面积公式及其在解三角形中的应用；专题二：如何用余弦定理解三角形。通过启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明和推论，体会余弦定理在解三角形中的应用；专题三：如何在实际测量中利用正余弦定理。通过学生进行研究性学习，体会利用正余弦定理测量不可达到两点间的距离、底部不可到达的建筑物的高度，以及角度的计算。这三个专题的确定是源于教材，其覆盖了教材的全部要求，又不拘泥于教材，适当进行了拓展和延伸，充分体现了学科服务于生活的理念。

主题学习目标 (描述该主题学习所要达到的主要目标)
知识与技能：
1、 掌握正弦定理的内容及证明方法
2、 掌握余弦定理的推理及其应用
3、 会运用正余弦定理解斜三角形
4、 掌握三角形面积公式的推导和应用
5、 利用正余弦定理解决有关测量距离的实际问题
6、 利用正余弦定理解决有关测量高度的实际问题
7、 利用正余弦定理解有关角度的实际问题
过程与方法：
1、通过正弦定理的推导，逐步培养合情推理、探索数学规律的思维能力。
2、在利用正弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。
3、通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性。
4、通过学生合作探究，利用正余弦定理解决不可到达的两点间的距离，测量底部不可到达的建筑物的高度，测量角度，培养学生学以致用的能力。
情感态度与价值观：
1、培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2、培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．
3、培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值
4、提高学生解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值
对应课标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
主题单元问题设计
1、 如何用正弦定理解三角形？
2、如何用余弦定理解三角形？
3、如何测量不可到达的两点间的距离？
4、如何测量底部不可到达的建筑物的高度？
专题划分
专题一：如何用正弦定理解三角形 （ 1 课时）
专题二：如何用余弦定理解三角形 （ 1 课时）
专题三：如何在实际测量中利用正余弦定理 （ 3 课时）
专题一
如何用正弦定理解三角形
所需课时
1课时
专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系，并掌握了解直角三角形的相关内容，本专题提出一般三角形中能否把边角关系准确量化的表示，从而得出正弦定理，并借助正弦定理解决已知两边和一边对角，以及已知两角和任意一边两类问题，进一步推导得出三角形的面积公式。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了一个全新认识，同时使新知识建立在已有知识的基础上，形成良好的知识结构，在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、掌握正弦定理的内容及证明方法；
2、会运用正弦定理解斜三角形的两类问题；
3、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;
4、通过正弦定理的推导过程，培养学生探索数学规律的思维能力.
本专题问题设计
1、根据三角函数的定义，能否得到直角三角形中边角量化的准确表示？
2、直角三角形中边角的量化关系式对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？
3、正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？
4、什么叫解三角形？
5、利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？
6、如何用三角形中的边角表示三角形的面积？
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑及相关软件
常规资源
计算器
教学支撑环境
多媒体教室
其 他
学案、笔、纸
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）
活动一：复习三角形中的边角关系，解直角三角形
问题1：三角形中的边角关系有哪些？
学生集体回答
问题2：如何解直角三角形？
学生讨论，小组推荐代表回答
问题3：你能得到直角三角形中边角量化的准确表示吗？
学生分组讨论，教师引导学生发现正弦定理的关系式
活动二：学生分组，探究一般三角形中的边角量化的准确表示
问题4：直角三角形中的边角量化对于锐角三角形和钝角三角形还成立吗？
1） 学生根据分组，分别推导正弦定理在锐角三角形和钝角三角形中仍然成立
2） 分组展示交流
3） 教师总结，多媒体展示其余证明方法
问题5：正弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？
学生自己总结，小组展示
活动三：根据正弦定理，解两类三角形，学生完成学案练习
问题6：什么是解三角形？
教师讲解，学生明确意义
问题7：根据练习题，总结正弦定理能解哪些三角形？
学生分组研讨，根据练习及公式归纳正弦定理解的两类问题：①已知两边及一边对角，②已知两角及任意一边
活动四：推导三角形面积公式
问题8：如何计算三角形的面积？
学生集体回答
问题9：你能否利用三角形的部分元素表示三角形的面积吗？
学生分组探究，利用初中所学公式，推导面积公式，并分组展示
教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）
可评价的学习要素
1、 正弦定理的推导过程
评价方法：现场评价，学生自评、互评，教师评价
评价指标：1）分类标准明确，不重复不遗漏
2）推导过程准确
3）结果准确
2、正弦定理的表述
评价方法：对照课本表述
评价说明：根据课本对正弦定理的表述，要求学生对照自己的描述进行评价和修改
3、正弦定理解三角形的类型
评价方法：学生互评，教师评价
评价指标：1）归类准确，
2）语言表述清晰
4、面积公式的推导过程
评价方法：现场评价，学生互评
评价指标：1）推导过程完整
2）结果表达准确
专题二
如何用余弦定理解三角形
所需课时
1课时
专题二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
在专题一的学习中，学生已经掌握了正弦定理的推导过程，同时应用正弦定理解了两类三角形，并推导了三角形的面积公式。本专题的学习进一步引导学生证明余弦定理，量化三角形中的边角关系。
本专题通过教师引导学生通过探究性学习活动推导余弦定理，让学生进一步体会解三角形的类型。
具体活动有三个内容：第一，探究如何从已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，引导学生推导余弦定理。第二，余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题，如何求解。这个内容学生完全可以类比正弦定理进行探究，并且得出余弦定理的推论。第三，正弦定理和余弦定理在应用上有哪些联系和区别，通过这个内容，让学生在解三角形时灵活选择两个定理，提高对两个定理的理解和应用能力。
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理
2、借助计算器利用余弦定理解决两类基本的三角形问题
3、了解余弦定理和勾股定理的联系
4、知道解三角形问题的几种情形及其基本解法
本专题问题设计
1、 如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。那么如何根据三角形的两边和它们的夹角去解这个三角形呢？
2、 能否根据平面几何方法或向量方法或坐标法探究余弦定理？
3、余弦定理能解决哪些三角形问题？
4、正余弦定理在应用上有何联系？
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑及相应软件
常规资源
计算器
教学支撑环境
多媒体教室
其 他
学案、笔、纸
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）
活动一：复习巩固上一专题内容
1、教师出示一组练习题，题目要涉及到已知两角及任一边，已知两边及一边对角，三角形的面积公式，让学生利用正弦定理给出解答.
2、学生独立完成，小组互评，学生订正答案，进一步复习.
活动二：探究余弦定理的推导
1、 导入情景，提出问题
通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？
学生思考，讨论，探索.
2、 教师设置问题，引导学生探究余弦定理
问题1：能否用平面几何法或向量方法或坐标方法探究出计算三角形第三边的长度关系式或计算公式呢？
1） 学生分组，分别利用不同方法进行探究
2） 学生小组展示成果
问题2：你能用文字语言叙述余弦定理吗？
学习分组讨论，组织语言，展示成果
问题3：余弦定理与以前学习过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？
学生思考，分组讨论，展示成果，教师提升结论
活动三：归纳余弦定理的应用
问题4：类比正弦定理，余弦定理能够解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？
学生分组展示，教师归纳，多媒体展示
问题5：如果知道三角形的三边，如何解三角形？计算公式是什么？
学生根据练习题及余弦定理，容易得出余弦定理的推论.
活动四：正余弦定理的联系
问题5：正弦定理和余弦定理在应用上有哪些联系和区别？
学生分组讨论，展示，教师订正，并集体探究“已知三角形三边及一个角，解三角形”得到：若用余弦定理的推论，可以根据余弦值直接判断教的大小，但计算比较麻烦；若用正弦定理相对计算量较小，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免进一步的讨论.
教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）
可评价的学习要素
1、 余弦定理的探究过程
评价方法：现场评价，学生自评、互评，教师评价
评价指标：1）推导过程准确
2）结果准确
2、余弦定理的表述
评价方法：对照课本表述
评价说明：根据课本对余弦定理的表述，要求学生对照自己的描述进行评价和修改
3、余弦定理解三角形的类型及余弦定理的推论
评价方法：学生互评，教师评价
评价指标：1）归类准确
2）语言表述清晰
3）推论表述准确
4、正余弦定理的联系
评价方法：教师评价
评价指标：1）共同点表述准确
2）异同点表述准确
3）定理的联系表述准确
专题三
如何在实际测量中利用正余弦定理
所需课时
3课时
专题三概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
在专题一和专题二的学习中，学生已经掌握了正弦定理以及余弦定理的内容及推导过程，同时能够应用正弦定理和余弦定理解了四类三角形问题，并推导了三角形的面积公式.
本专题通过教师引导学生进行学生合作探究，开展研究性学习活动，利用正余弦定理解决不可到达的两点间的距离，测量底部不可到达的建筑物的高度以及测量角度等，培养学生学以致用的能力.
本专题分为三课时：第一课时，在教师的引导下学生进行分组，分工，测量学校诚毅广场前面旗杆的高度，其中旗杆的底部不可到达，顶部不可触及。在本课时中，让学生亲身体验测量方案的制定，数据的测量，结果的整理汇总等过程。第二课时，按照第一课时的分组，学生设计方案，测量启航湖对岸两棵树之间的距离，其中测量者不能到达对岸。第三课时，教师创设情境，学生按照原来的分组，测量现实生活中的角度问题.
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、利用正余弦定理解决有关测量距离的实际问题
2、利用正余弦定理解决有关测量高度的实际问题
3、利用正余弦定理解有关角度的实际问题
4、通过学生合作交流，亲身体验研究性学习的过程，体会数学在现实生活中的应用
本专题问题设计
1、学校诚毅广场前面的旗杆底部不可到达，顶部不可触及，如何测量旗杆的高度？
2、学校人工湖东西两岸各有一棵柳树，你站在西岸，不到东岸去，如何测量这两棵树之间的距离？
3、学校人工湖东岸有一棵松树和一棵柳树，你在西岸，不到东岸去，如何测量这两棵树之间的距离？
4、飞行员如何在水平飞行的飞机上测量飞机下方的山顶的海拔高度？
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑及相关课件
常规资源
计算器
教学支撑环境
多媒体教室
其 他
学案、笔、纸、经纬仪、卷尺
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）
第一课时
活动一：创设情境，激发学生学习的兴趣
1、教师课件展示，学校诚毅广场的五星红旗迎风飘扬，同学们仰视国旗，高唱国歌.
2、教师提出问题：旗杆底部不可到达，顶部不可触及，如何测量旗杆的高度？
活动二：划分小组，确定各自任务
1、 教师以班级数学兴趣小组同学为骨干组建学习小组，每组6人，班级分为10个小组.
2、 各小组的组长进行组内成员分工，分别负责策划、测量、记录、汇总、后勤。
活动三：组内讨论确定测量方案.
1、 各小组内的同学在组长的带领下，集思广益，考虑测量旗杆高度的方案.
2、 根据该方案，考虑需要测量哪些数据.
3、 教师巡回指导，帮助学生完成未完成的方案
活动四：按照分工，各小组实地测量有关项目的数据，并把相应数据填写在Excel制作的表格中
教师指导测量仪器的使用以及注意事项，教会学生使用测量仪器
活动五：各小组分别根据各自的方案，利用计算器或借助Excel的统计、计算功能，计算旗杆的高度
活动六：展示交流
1、 各小组分别展示成果，包括测量方案，测量的数据，最终的结果，结论的一般性以及研究性学习活动过程中小组成员的合作
2、 教师出示测量高度的范例，各小组对照范例进行自评和互评
3、 教师总结

第二课时
活动一：复习并提出新问题
1、 复习“底部不可到达，顶部不能触及的建筑物高度的测量方案”
2、在复习的基础上进一步提出新的问题：学校启航湖东西两岸各有一棵柳树，你站在西岸，不到东岸去，如何测量这两棵树之间的距离？
活动二：小组讨论，提出解决问题的方案并进一步展示成果
教师在订正的基础上，进一步提出问题：学校启航湖东岸有一棵松树和一棵柳树，你在西岸，不到东岸去，如何测量这两棵树之间的距离？
活动三：组内讨论确定测量方案.
1、 根据第一课时的小组分配，各小组内的同学在组长的带领下，集思广益，考虑测量两棵树距离的方案.
2、 根据该方案，考虑需要测量哪些数据.
3、 教师巡回指导，帮助学生完成各小组的方案
活动四：按照分工，各小组实地测量有关项目的数据，并把相应数据填写在Excel制作的表格中
教师巡回检查各个小组，进一步指导测量仪器的使用以及注意事项
活动五：各小组分别根据各自的方案，利用计算器或借助Excel的统计、计算功能，计算两棵树的距离
活动六：展示交流
1、 各小组分别展示成果，包括测量方案，测量的数据，最终的结果，结论的一般性以及研究性学习活动过程中小组成员的合作
2、教师出示测量不可到达两点的距离的范例，各小组对照范例进行自评和互评
3、教师总结

第三课时
活动一：复习总结并提出新问题
1、 复习“底部不可到达，顶部不能触及的建筑物高度的测量方案”以及“不可到达两点的距离的测量方案”
2、 教师总结解决实际问题的关键是：实际问题转化为数学问题，利用正余弦定理解三角形，从而解决实际问题.
3、 在复习的基础上进一步提出新的问题：一艘海轮从A处出发，沿北偏东的方向航行6 n mile后到达海岛B,然后从B处出发，沿北偏东的方向航行 n mile后到达海岛C,如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？
活动二：独立思考，小组讨论，展示成果
教师介绍方位角，方向角等角的描述，并在评价成果的基础上，进一步提出问题：能否利用我们所学的角的描述，借助校园中的一些场景，编制有关角度的实际问题？
活动三：组内讨论确定问题的编制方案.
1、 根据第一课时的小组分配，各小组内的同学在组长的带领下，考虑校园风景，建筑物，确定问题编制方案
2、 根据确定的方案，考虑需要测量的数据.
3、 教师巡回指导，帮助学生完善各小组的方案
活动四：按照分工，各小组实地测量有关项目的数据，并把相应数据填写在Excel制作的表格中
教师巡回检查各个小组，发现问题及时订正
活动五：各小组分别根据各自的方案，利用计算器或借助Excel的统计、计算功能，解决自己编制的实际问题
活动六：展示交流
1、 各小组分别展示成果，包括编制的问题，数据的测量方案，测量的数据，最终的结果
2、教师出示有关角度的实际问题的背景，各小组对照范例进行自评和互评
3、教师总结

教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）
可评价的学习要素
1、 测量方案
评价方法：学生自评、互评，教师评价
评价指标：1）简便易行
2）容易操作
3）具有一般性
2、数据统计
评价方法：现场根据量规评价
评价指标：1）正确使用仪器，无安全事故
2）读数准确，符合实际
3）读数方便计算
3、数据计算
评价方法：学生互评，教师评价
评价指标：1）能够熟练应用计算器、Execl等软件进行计算
2）结果准确
3）结果符合实际
4、最终成果
评价方法：学生自评、互评，教师评价
评价指标：1）测量方案适用于一般情况
2）计算结果适用于一般情况
3）文字表述条理性好
5、成员参与
评价方法：现场根据量规评价
评价指标：1）对研究性学习活动感兴趣
2）分工明确
3）能够很好的交流合作