2020高三一模数学（理）答案.doc

2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
理科数学试题
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
A
D
D
B
B
C
C
B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．6 15．
16．（提示：设左焦点为，，由题知为直角三角形 ，∴
，又，从而.）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共60分。
17．【解析】（1）解法1：，
∴，∵为锐角三角形，，
∴，即，∴． （6分）
解法2：∵，∴，
∴，∴，∵为锐角三角形，
∴，∴，∴，∴． （6分）
（2）由正弦定理得，∴，．
由（1）知，∴
∴

， （10分）
∴时，取得最大值． （12分）
18．【解析】（1）中位数等于，所以，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约人是“须改进型”使用者； （5分）
（2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，
故的所有可能的取值为0,1,2 （7分）
且;;
故的分布列为

（11分）
所以的数学期望 （12分）
19．【解析】（1）由题可得面，∴，又四边形为矩形，
∴，又，∴面，∴． （5分）
（2）解法1：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
设点坐标为（），由，，
得，
解得，，即点坐标为，
设面，所以，
∴，令，得，
又面，，所以二面角的余弦值为． （12分）
解法2：作交于点，连接.由（1）知：．
又,
面.
面,又,
面,故即为所求二面角的平面角.在,
中易求得,,
中， （12分）
20．【解析】（1）由题可得，解得，所以曲线的方程为． （4分）
（2）（方法一）易知直线 斜率存在且不等于0，所以
设，得两式相减得，即 （7分）
设直线的方程为，联立方程
化简得
因为直线交椭圆于,两点，故，解得 （8分）
又， （9分）

所以． （12分）
（方法二）易知直线斜率存在且不等于0，故设直线的方程为
联立方程组，化简得
，，
因为线段的中点在直线上，所以，求得 （7分）
后面解法同解法一． （12分）
21．【解析】（1）．
因为，由得，或． （2分）
i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；
ii）即时，在单调递减；
iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减． （6分）
（2）由（1）知，时，的极小值为，
时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点．
当时，易知在单调递减，在单调递增．
要使有两个零点，则，得． （9分）
令，（），则 ，所以在时单调递增，，．
不妨设，则，，， ．
由在单调递减得，，即． （12分）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【解析】（1）曲线的普通方程为， （2分）
点的极坐标为，直角坐标为． （5分）
（2）（方法一）圆心，，
点到的距离，且，
所以 ． （10分）
（方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，，所以 ．
所以 ．
23．【解析】（1）依题意可知二次方程有解，
，即．
①当时，，；
②当时，恒成立，；
③当时，，．
综上所述，可得． （5分）
（2）由（1）知，
（方法一：利用基本不等式）∵，
∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）
（方法二：利用二次函数求最值）∵，∴，
∴，
∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）
（方法三：利用柯西不等式）∵，
∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号． （10分）