基本不等式--崔红军.doc

沾化一中数学必修五学案（C.D层）
编号B5-21
课题
基本不等式
制作人：崔红军
日期： 2016/3/18
学习
目标
1、 通过实例引入并证明基本不等式（分别从代数和几何两方面）。
2、 探究利用基本不等式求最值为什么必须满足“一正、二定、三相等”即“=”成立的条件。
3、 举例探究“凑定”的技巧和方法。
4、 利用基本不等式求最值的三类题型的解题策略。

探

究

导

学
探究1：基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，

结论：一般的，如果，我们有 当且仅当时，等号成立.

探究2：你能给出它的几何与代数证明吗？

探究3： 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

结论：基本不等式几何意义是“半弦不大于半径”
探究4： 基本不等式的作用
已知：a>0,b>0且a+b=2,求ab的最大值？
你有哪些解题方法？每种方法都试一试，比较优劣，对你有哪些启发？

探究5：以下说法正确的是
A、.
B、
C、
D、

探

究

导

学
请分别解释对与错的原因

结论：利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件，才能取得最值。

探究6：请利用基本不等式求下列各式的最值。

1、已知x，y>0，且x＋4y＝1，求xy的最大值
2、已知x>1，求f(x)＝x＋的最小值
3、已知x<0，求f(x)＝2＋＋x的最大值；
4、已知0<x<，求y＝2x－5x2的最大值.

小结“凑定”的技巧

跟踪练习
1、
2、
3、

典

例

讲

析
例1（1）已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；

（2）

（3）若正实数x，y满足x＋y＋15＝xy，求xy的最小值。

小结解题策略：

跟踪练习
1、
2、
3、 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.

4、 若正实数x，y满足x＋y＋15＝xy，求x+y的最小值。

课后作业
1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2. 已知，则函数的最大值是（ ）.
A．2 B．3 C．1 D．
3. 若，且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 若，则的最小值为 .
5. 已知，则的最小值为 .
6. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价

7. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为
200 m2的十字型地域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区.