第三章圆的基本性质单元综合能力测试卷(含答案).doc

第三章 圆的基本性质综合能力测试卷

班级 姓名 学号
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、如图所示，体育课上，小丽的铅球成绩为6.4 m，她投出的铅球落在（ ）
A.区域① B.区域②
C.区域③ D.区域④
2、下列命题中正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 两个等圆可能内切
C. 一个三角形有且只有一个内切圆 D. 一个圆有且只有一个外切三角形
3、如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
4、已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
5、在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为(　 )．
A．54m　　 B．m　 　C．m　 　D．m
6、一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为(　 )．
A．80°　　 　B．100°　　 C．80°或100°　 D．160°或200°
7、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）

A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
8、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(　 )
A．12.5寸 　　　 B．13寸　　　 C．25寸 　　 D．26寸
9、如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（　　）
A．πcm2 B． 2πcm2 C． 4πcm2 D． 8πcm2

10、如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、已知圆心角为120°的扇形的面积为12πcm2，则扇形的弧长是 cm．
12、如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于 （度）

13、在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为 ．
14、如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．

15、已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且，则AC的长为 ．
16、如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）作图题：用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；

18、（8分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，且，
∠°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

19、（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

20、（10分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分
线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

21、（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．
（1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C（ ）、D（ ）；
②⊙D的半径是2（结果保留根号）；
③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留π）．

22、（12分）已知：如图，⊙O和⊙O’相交于A、B两点，AC是⊙O’的切线，交⊙O于C点，连结CB并延长交⊙O’于点F，D为⊙O’上一点，且∠DAB＝∠C，连结DB交延长交⊙O于点E。
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若BF＝4，CA＝，求DE的长。

23、（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、如图所示，体育课上，小丽的铅球成绩为6.4 m，她投出的铅球落在（ ）
A.区域① B.区域②
C.区域③ D.区域④
【解答】 解：小丽的铅球成绩为6.4 m，
在6 m与7 m之间，
所以她投出的铅球落在区域④
2、下列命题中正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 两个等圆可能内切
C. 一个三角形有且只有一个内切圆 D. 一个圆有且只有一个外切三角形
【解答】 解：根据圆的相关知识分析每个选项，然后作出判断：
A、在同一直线上的三点不可以确定一个圆，故错误；
B、两个等圆内切，圆心距为零，故两个等圆不可能内切，故错误；
C、一个三角形有且只有一个内切圆，正确；
D、一个外切圆有无数个外切三角形，故错误。
故选C。
3、选B
4、已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
【解答】 解：根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：
当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，
当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，
当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，
所以，两圆相交或相切。故选A。

5、在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为(　 )．
A．54m　　B．m　 　C．m　　D．m
【解答】 解：圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．
由题意，SO⊥AB于O，
∴ ∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，
∴ ∠SAB＝∠SBA＝，
设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，
　由勾股定理，得(2x)2－x2＝272，解得(m)
故选C.
6、一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为(　 )．
A．80°　　　B．100°　　C．80°或100°　 D．160°或200°
【解答】 解：圆周角的顶点在劣弧上时，
圆周角为；
圆周角的顶点在优弧上时，
圆周角为．注意分情况讨论．
7、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）

A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
【解答】 解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°，
故选B．
8、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(　 )
　　A．12.5寸 　　　 B．13寸　　　 C．25寸 　　 　D．26寸
【解答】 解：根据“垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧”，
知 (寸)，在Rt△AOE中，，
即 ，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).
故选D.
9、如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（　　）

　 A． πcm2 B． 2πcm2 C． 4πcm2 D． 8πcm2
【解答】 解：如图1所示，

S△ABC=•r•（AB+BC+AC）==21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，

设CD=x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣x2=225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2=225﹣x2，
解得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC==×7×12=42，
∴21r=42，
∴r=2，
该圆的最大面积为：S=πr2=π•22=4π（cm2），
10、如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）

　 A． B． C． D．
【解答】 解：连结OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．
故选D．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、已知圆心角为120°的扇形的面积为12πcm2，则扇形的弧长是 cm．
【解答】 解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，则
∵S==12π，
∴R=6cm，
∴l==4πcm．
∴扇形的弧长为4πcm．
12、如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于 （度）

【解答】 解：设点E是优弧AB上的一点，
连接EA，EB，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数
∠E=∠AOB=50°，
再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数
∠ACB=180°－∠E=130°。
13、在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为 ．
【解答】 解：因为圆心O到AB的距离即圆心O到AB弦心距的长，
根据垂径定理，半径、弦心距和弦的一半组成一直角三角形，
根据勾股定理是，
得圆心O到AB的距离。
14、如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．

【解答】 解：由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为
那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上，
设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2
即(1+1)2+(a－3)2=(1+2)2+(a+2)2
化简得 4+a2－6a+9=9+a2+4a+4
解得 a=0
即△ABC外接圆圆心为P(1,0)
则
15、已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且，则AC的长为_____ 或； ___．
【解答】 解：根据题意有两种情况：①当C点在A、O之间时，如图(1)．

由勾股定理OC＝，故．
②当C点在B、O之间时，
如图(2)．由勾股定理知，
故．
16、如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．

【解答】 解：O1，O3；O5 ，O1 O3和O2 O4的交点。（答案不唯一）

如图①，过O1 O3与O2 O4交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分。答案不惟一。
如图② ，A O4，E O2，D O3，C O1等均可。答案不惟一。
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）作图题：用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；

【解答】 解：（1）如图所示：

18、（8分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，且，
∠°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.
【解答】 解：（1）证明：连接.
∵ ，，
∴ .
∵ , ∴ .
∴ .
∴ 是的切线.
（2）解: ∵ ， ∴ .
∴ .
在Rt△OCD中, .
∴ .
∴ 图中阴影部分的面积为π.
19、（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

【解答】 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
20、（10分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
【解答】 解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
21、（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．
（1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C（6，2）、D（2，0）；
②⊙D的半径是2（结果保留根号）；
③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留π）．

【解答】 解：（1）如图：
（2）①C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②由勾股定理得：AD==2，
即⊙D的半径是2，
故答案为：2；
③
∵在△AOD和△DEC中
∴△AOD≌△DEC，
∴∠ADO=∠DCE，∠OAD=∠CDE，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=180°﹣90°=90°，
∴弧AC的长为=π，
设底面的半径为r，
则2πr=π，
r=，
∴扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是π×（）2=π．
22、（12分）已知：如图，⊙O和⊙O’相交于A、B两点，AC是⊙O’的切线，交⊙O于C点，连结CB并延长交⊙O’于点F，D为⊙O’上一点，且∠DAB＝∠C，连结DB交延长交⊙O于点E。
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若BF＝4，CA＝，求DE的长。

【解答】 解：（1）证明：连接O’ O，O’A，OA，AB。AB与O’ O相交于点H。
∵AC是⊙O’的切线，∴∠O’AC=900。
∵AB是两圆的公共弦，∴O’ O⊥AB，即∠AHO=900。
又∵圆心角∠AOH是AB所对圆心角的一半，
∴∠C=∠AOH=900－∠HAO=900－∠BAC－∠CAO。
∴∠DAO=∠DAB＋∠BAC＋∠CAO=∠C＋∠BAC＋∠CAO
=（900－∠BAC－∠CAO）＋∠BAC＋∠CAO=900。
即AO⊥DA。
又∵AO是⊙O的半径，∴DA是⊙O的切线。
（2）证明：连接AB，AF，FD，AE。
∵∠AFB和∠ADB，∠BFD和∠DAB都分别是同弧所对的圆周角，
∴∠AFB=∠ADB，∠BFD=∠DAB。
又∵∠DAB＝∠C，
∴∠AFD=∠AFB＋∠BFD=∠ADB＋∠DAB
=∠ADB＋∠C。
∵∠ADF和∠ABF是同弧所对的圆周角，∴∠ADF=∠ABF。
又∠ABF是△ABC的一个外角，∴∠ABF=∠ADB＋∠C。
∴∠ADF=∠ADB＋∠C。
∴∠AFD=∠ADF。∴AF=AD。
又∵∠AFC=∠ADE，∠C=∠E，∴△ABE≌△AFC（AAS）。∴DE=FC。
又∵AC是⊙O’的切线，DA是⊙O的切线，
∴根据切线长定理，得，。 ∴。
（3） ∵，BF＝4，CA＝，
∴，即。
解得=9（已舍去负值）。
由（2）知，DE=FC。∴DE=9。
23、（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形不是“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

【解答】 解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=OB=3，
∴BH=OH=3，
∵BD=2BH=6，
∴AC=BD=6，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积=×6×6=54；
（3）OM=AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中
，∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM=AD．