2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案：31+两角和与差的正弦、余弦和正切公式+Word版含答案【KS5U+高考】.doc

第1课时两角差的余弦公式核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P124P127的内容，回答下列问题(1)当60，30时，cos cos 等于多少？cos 60cos 30cos(6030)成立吗？提示：cos_60cos_30，cos(6030)，故cos_60cos_30cos(6030)不成立(2)cos cos cos()一定成立吗？提示：不一定(3)单位圆中(如图)，AOx，BOx，那么A，B的坐标是什么？的夹角是多少？提示：A(cos_，sin_)，B(cos_，sin_)的夹角是.(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出的数量积各是什么？cos cos sin sin .(5)根据上面的计算可以得出什么结论？提示：cos()cos_cos_sin_sin_.2归纳总结，核心必记两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_简记符号C()使用条件，为任意角问题思考公式C()在结构上有什么特点？提示：同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；将所得的积相加课前反思(1)两角差的余弦公式：；(2)两角差的余弦公式的适用条件：讲一讲1求下列各式的值：(1)cos 75cos 15sin 75sin 195；(2)sin 46cos 14sin 44cos 76；(3)cos 15sin 15.尝试解答(1)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.(2)sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.(3)cos 60，sin 60，cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.利用公式C()求值的思路方法(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值练一练1求的值解：原式.讲一讲2(1)若sin sin ，cos cos ，则cos()的值为()A. B. C. D1(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值尝试解答(1)由sin sin ，cos cos ，得sin2sin22sin sin ，cos2cos22cos cos ，得22(sin sin cos cos )1.sin sin cos cos .cos().(2)，为锐角，00，0，又cos(2)，02，sin()，sin(2)，cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin().答案：(1)A给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角常见角的变换有：()；2()()；2()()练一练2已知，sin()，sin，求cos的值解：因为，所以.所以cos().又，所以cos，coscoscos()cossin()sin.讲一讲3已知cos ，cos()，且0，求的值尝试解答因为0，所以0，由cos ，cos()，得sin ，sin()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .所以.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角练一练3已知sin sin ，cos cos ，0，求的值解：因为(sin sin )2，(cos cos )2，以上两式展开两边分别相加得22cos()1.所以cos().因为0，所以0，所以.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是两角差的余弦公式，难点是公式的推导及应用2要掌握两角差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见讲1；(2)解决给值(式)求值问题，见讲2；(3)解决给值求角问题，见讲3.3本节课的易错点是：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误，如练3.课下能力提升(二十二)学业水平达标练题组1给角求值问题1cos(75)的值是()A. B. C. D.解析：选Ccos(75)cos(45120)cos 45cos 120sin 45sin 120，故选C.2sin 11cos 19cos 11cos 71的值为()A. B. C. D.解析：选Bsin 11cos 19cos 11cos 71cos 11cos 71sin 11sin 71cos (1171)cos(60).故选B.3cos(50)cos 129cos 400cos 39_解析：cos(50)cos 129cos 400cos 39sin 40(sin 39)cos 40cos 39cos(4039)cos 1.答案：cos 1题组2给值(式)求值问题4已知为锐角，为第三象限角，且cos ，sin ，则cos()的值为()A B C. D.解析：选A为锐角，且cos ，sin .为第三象限角，且sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .故选A.5已知锐角，满足cos ，cos()，则cos(2)的值为()A. B C. D解析：选A，为锐角，cos ，cos()，sin ，sin()，cos(2)cos cos()cos()cos sin()sin .6已知sin，则cos 的值为_解析：sin，cos.cos coscoscossinsin.答案：7若x，且sin x，求2cos2cos x的值解：x，sin x，cos x.2cos2cos x22cos x22cos xsin xcos x.题组3给值求角问题8满足cos cos sin sin 的一组，的值是()A， B，C， D，解析：选Bcos cos sin sin ，cos cos sin sin ，即cos()，经验证可知选项B正确9若0，sin sin cos cos 0，则的值是()A. B. C. D.解析：选D由已知得cos cos sin sin 0，即cos0，cos 0，又0，所以，选D.10已知sin()，cos()，0，求角的大小解：因为sin()，所以sin .因为0，所以cos .因为cos()，且0，所以0，所以sin().所以cos cos()cos cos()sin sin().因为0，所以.能力提升综合练1cos 165的值是()A. B.C. D.解析：选Dcos 165cos(18015)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.2已知cos，0，则cos 等于()A. B.C. D.解析：选A，sin.故cos coscoscossinsin.3已知ABC的三个内角分别为A，B，C，若a(cos A，sin A)，b(cos B，sin B)，且ab1，则ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选B因为abcos Acos Bsin Asin Bcos(AB)1，且A，B，C是三角形的内角，所以AB，即ABC一定是等腰三角形4已知cos，则cos xcos()A B C1 D1解析：选Ccos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.故选C.5已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _解析：因为为锐角，所以sin .因为，为锐角，所以0.又sin()，所以0或.由cos ，得，从而，于是cos()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .答案：6已知cos()，cos()，且，求角的值解：由，cos()，可知sin().又，cos()，sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.，2，2，故.7已知cos，sin，且，求cos的值解：，0，0，.，.又cos，sin，sin，cos.coscoscoscossinsin.第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P128P131的内容，回答下列问题(1)把公式cos()cos cos sin sin 中的 用代替，结果如何？提示：cos()cos_cos_sin_sin_.(2)由公式C()可以得到sin()的公式吗？提示：可以，sin()coscossin cos cos sin .(3)如何由sin()的公式推出sin()的公式？提示：以代替sin()中的，即可得sin()sin_cos_cos_sin_.(4)如何用tan 和tan 表示tan()和tan ()?提示：tan() .tan () .2归纳总结，核心必记(1)两角和与差的余弦公式名称公式简记符号使用条件两角和的余弦cos()cos_cos_sin_sin_C()，R两角差的余弦cos()cos_cos_sin_sin_C()(2)两角和与差的正弦公式名称公式简记符号使用条件两角和的正弦sin()sin_cos_cos_sin_S()，R两角差的正弦sin()sin_cos_cos_sin_S()，R(3)两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan()T()，k(kZ)两角差的正切tan()T()，k(kZ)问题思考(1)sin()sin sin 能否成立？若成立，在什么情况下成立？提示：不一定成立，当2k或2k或k，kZ时成立(2)两角和与差的正切公式对任意，均成立吗？提示：不是的在两角和的正切公式中，使用条件是：，k(kZ)；在两角差的正切公式中，使用条件是：，k(kZ)课前反思(1)两角和与差的余弦公式：；(2)两角和与差的正弦公式：；(3)两角和与差的正切公式：讲一讲1化简求值：(1)sin 13 cos 17sin 77cos 73；(2)sincos；(3)；(4)tan 72tan 42tan 72tan 42.尝试解答(1)原式sin 13cos 17 sin(9013)cos(9017)sin 13cos 17cos 13sin 17sin(1317)sin 30.(2)原式222sin2sin.(3)原式tan(4515)tan 30.(4)tan 30tan(7242)，tan 72tan 42tan 30(1tan 72tan 42)原式tan 30(1tan 72tan 42)tan 72tan 42.利用公式T()化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1tan ”，“tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值练一练1求值：(1)sin 15cos 15；(2)sin 119sin 181sin 91sin 29；(3)tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10.解：(1)法一：sin 15cos 15sin(1545)sin 60.法二：sin 15cos 15(cos 45cos 15sin 45sin 15)cos(4515)cos 30.(2)原式sin(2990)sin(1180)sin(190)sin 29cos 29(sin 1)cos 1sin 29(sin29cos1cos 29sin 1)sin(291)sin 30.(3)原式tan 10tan 20tan 60(tan 10tan 20)tan 10tan 20(tan 10tan 20)tan 10tan 20tan 30(1tan 10tan 20)1.讲一讲2已知，均为锐角，且sin ，cos ，求的值尝试解答，均为锐角，且sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .又，均为锐角，.又sin sin ，即0.从而0，故.解决给值(式)求角问题的方法解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角练一练2已知tan()，tan ，且，(0，)，求2.解：tan tan()，而(0，)，.tan ，(0，)，0，2()(，0)，tan(2)tan()1.2.讲一讲3已知，0， cos，sin().(1)求sin()的值；(2)求cos()的值尝试解答(1)，sin .0，0，(0，)，sin 0.sin ，tan .tan tan()，tan(2)tan()2.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用2要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见讲1；(2)解决给值(式)求角问题，见讲2；(3)解决条件求值问题，见讲3.3本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2.4本节课要牢记常见角的变换()()()；()()；(2)；2()()等课下能力提升(二十三)学业水平达标练题组1给角求值问题1sin 105的值为()A. B.C. D.解析：选Dsin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.2cossin的值是()A. B C0 D.解析：选Acossincossinsinsin.3tan 23tan 37tan 23tan 37的值是_解析：tan 60，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.答案：题组2给值(式)求角问题4设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B. C. D.或解析：选C因为，为钝角，且sin ，cos ，所以cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ()，所以的值为.5若(tan 1)(tan 1)2，则_解析：(tan 1)(tan 1)2tan tan tan tan 12tan tan tan tan 11，即tan()1，k，kZ.答案：k，kZ6已知ABC中B60，且，若AC，求A的值解：由已知B60，AC120，设，AC，则0120，故A60，C60，故.由题设有2，整理得：4cos22cos 30.(2cos )(2cos 3)0.2cos 30，2cos 0.cos .故45，A6045105.题组3条件求值问题7若cos ，是第三象限角，则sin()A B. C D.解析：选A因为cos ，是第三象限角，所以sin ，由两角和的正弦公式可得sinsin coscos sin.8已知为钝角，且sin，则cos的值为()A. B.C D.解析：选C是钝角，且sin，cos，coscoscoscossinsin.9若sin(24)cos(24)，则tan(60)_解析：由已知得：sin cos 24cos sin 24cos 24cos sin sin 24(sin cos )(cos 24sin 24)0sin cos tan 1，tan(60)2.答案：210已知sin，cos，且和分别为第二、第三象限角，求tan的值解：由题意，得cos，sin，tan，tan，tantan.能力提升综合练1在ABC中，如果sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：选CABC，A(BC)由已知可得sin(BC)2sin C cos Bsin Bcos Ccos Bsin C2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C0sin(BC)0.0B，0C，BC.BC.故ABC为等腰三角形2已知向量a，b(4，4cos )，若ab，则sin等于()A B C. D.解析：选Bab4sin4cos 2sin 6cos 4sin0，sin.sinsin.3.的值等于()A1 B1 C. D解析：选Dtan 60tan(1050)，tan 10tan 50tan 60tan 60tan 10tan 50.原式.4._解析：原式tan(4515)tan 30.答案：0，cos().又cos ，sin ，sin sin()sin cos()cos sin()，.答案：6如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：由条件得cos ，cos .，为锐角，sin ，sin .tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，又，为锐角，02 ，2.7已知函数f(x)2cos，xR.设，f，f，求cos()的值解：f，2cos2cos，sin .又f，2cos2cos ，cos .又，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132P134的内容，回答下列问题(1)在公式C()，S()和T()中，若，公式还成立吗？提示：成立(2)在上述公式中，若，你能得到什么结论？提示：cos_2cos2sin2，sin_22sin_cos_，tan_2.2归纳总结，核心必记问题思考(1)S2，C2，T2中角的取值范围分别是什么？提示：S2，C2中R，T2中k且.(2)能应用tan 表示sin 2，cos 2吗？提示：sin_22sin_cos_，cos_2cos2sin2.课前反思(1)二倍角的正弦公式：；(2)二倍角的余弦公式：；(3)二倍角的正切公式：讲一讲1求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)；(5)cos 20cos 40cos 80.尝试解答(1)原式.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(4)原式4.(5)原式.化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异练一练1化简：(1)；(2).解：(1)原式tan 2.(2)原式1.讲一讲2(1)已知cos，求cos(2)的值；(2)已知，且sin 2sin，求.尝试解答(1)，0，.sin.cos 2sin2sincos2，sin 2cos12cos212.coscos 2sin 2.(2)sin 2cos，sinsincoscos，原式可化为12cos2cos，解得cos1或cos.，故0或，即或.解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系练一练2(1)已知sinsin，求sin 4的值；(2)已知sin22sin 2cos cos 21，求锐角.解：(1)sinsinsincos，sin，即cos 2.，2(，2)sin 2.sin 42sin 2cos 22.(2)由原式，得sin22sin 2cos 2cos20，(2sin cos )22sin cos22cos20.2cos2(2sin2sin 1)0.2cos2(2sin 1)(sin 1)0.为锐角，cos20，sin 10.2sin 10.sin ，.讲一讲3已知向量a(sin A，cos A)，b(，1)，ab1，且A为锐角(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)cos 2x4cos Asin x(xR)的值域尝试解答(1)由题意得absin Acos A1，2sin1，sin.由A为锐角得A，所以A.(2)由(1)知cos A，所以f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x2.因为xR，所以sin x1，1，因此，当sin x时，f(x)有最大值.当sin x1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域是.二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2sin2cos 2，tan 2.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式主要形式有：1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2，cos2，sin2.练一练3已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解：(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1.因为，所以4，即4.故.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用2要掌握二倍角公式的三个应用(1)解决化简求值问题，见讲1；(2)解决条件求值问题，见讲2；(3)倍角公式的综合应用，见讲3.3要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin 2xcoscos2cos2112sin2；(2)cos 2xsinsin2sincos；(3)co