资源描述
第1课时 两角差的余弦公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P124～P127的内容，回答下列问题．
(1)当α＝60°，β＝30°时，cos α－cos β等于多少？cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？
提示：cos_60°－cos_30°＝，cos(60°－30°)＝，故cos_60°－cos_30°＝cos(60°－30°)不成立．
(2)cos α－cos β＝cos(α－β)一定成立吗？
提示：不一定．
(3)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？的夹角是多少？
提示：A(cos_α，sin_α)，B(cos_β，sin_β)．的夹角是α－β.
(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出的数量积各是什么？
＝cos αcos β＋sin αsin β.
(5)根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．归纳总结，核心必记
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
[问题思考]
公式C(α－β)在结构上有什么特点？
提示：①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．
[课前反思]
(1)两角差的余弦公式：
；
(2)两角差的余弦公式的适用条件：
．
讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(3)cos 15°＋sin 15°.
[尝试解答] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，∴cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
利用公式C(α－β)求值的思路方法
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值．
练一练
1．求的值．
解：原式＝＝
＝＝.
讲一讲
2．(1)若sin α－sin β＝，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
[尝试解答] (1)由sin α－sin β＝，cos α－cos β＝，
得sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝，①
cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②
①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1.
∴sin αsin β＋cos αcos β＝.∴cos(α－β)＝.
(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.
又∵cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<，
又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案：(1)A
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
练一练
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
解：因为α，β∈，所以α＋β∈.
所以cos(α＋β)＝＝.
又β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
讲一讲
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．
[尝试解答] 因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cos α＝，cos(α＋β)＝－，
得sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
练一练
3．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，0<α<β<π，求α－β的值．
解：因为(sin α＋sin β)2＝，(cos α＋cos β)2＝，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1.所以cos(α－β)＝－.因为0<α<β<π，所以－π<α－β<0，所以α－β＝－.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是两角差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．
2．要掌握两角差的余弦公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决给值(式)求值问题，见讲2；
(3)解决给值求角问题，见讲3.
3．本节课的易错点是：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误，如练3.
课下能力提升(二十二)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos(－75°)的值是( )
A. B. C. D.
解析：选C cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos 45°·cos 120°＋sin 45°sin 120°＝×＋×＝，故选C.
2．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos (11°－71°)＝cos(－60°)＝.故选B.
3．－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________．
解析：－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°
＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39°
＝cos(40°－39°)＝cos 1°.
答案：cos 1°
题组2 给值(式)求值问题
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，
∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
5．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝.
6．已知sin＝，α∈，则cos α的值为________．
解析：∵sin＝，α∈，
∴＋α∈，cos＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
答案：
7．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x＝－＝.
题组3 给值求角问题
8．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．
9．若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( )
A. B. C. D.
解析：选D 由已知得cos cos ＋sin sin ＝0，
即cos＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]，
所以α＝，选D.
10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
[能力提升综合练]
1．cos 165°的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)
＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－×－×＝.
2．已知cos＝，0<θ<，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin＝.故cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
3．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，
所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
4．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C.
5．已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________．
解析：因为α为锐角，所以sin α＝.因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又sin(α＋β)＝<，所以0<α＋β<或<α＋β<π.由cos α＝<，得<α<，从而<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.
答案：
6．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos(α－β)＝－，
可知sin(α－β)＝.
又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，
∴2β＝π，故β＝.
7．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解：∵<α<π，0<β<，
∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－＋＝.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P128～P131的内容，回答下列问题．
(1)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
提示：可以，sin(α＋β)＝cos
＝cos＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？
提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
(4)如何用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan (α－β)?
提示：①tan(α＋β)＝
＝＝ .
②tan (α－β)＝＝
＝ .
2．归纳总结，核心必记
(1)两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
α，β∈R
两角差
的余弦
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
C(α－β)
(2)两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差
的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α－β)
α，β∈R
(3)两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[问题思考]
(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β能否成立？若成立，在什么情况下成立？
提示：不一定成立，当α＝2kπ或β＝2kπ或α＝β＝kπ，k∈Z时成立．
(2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)；在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．
[课前反思]
(1)两角和与差的余弦公式：
；
(2)两角和与差的正弦公式：
；
(3)两角和与差的正切公式：
．
讲一讲
1．化简求值：
(1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°；
(2)sin－cos；
(3)；
(4)tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°.
[尝试解答] (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin＝－2sin＝－.
(3)原式＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝，
∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)．
∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 72°tan 42°
＝.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
练一练
1．求值：
(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°；
(3)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan10°.
解：(1)法一：sin 15°＋cos 15°
＝
＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
法二：sin 15°＋cos 15°＝
＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29°
＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°
＝－(sin29°cos1°＋cos 29°sin 1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－.
(3)原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 10°＋tan 20°)
＝tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)
＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝1.
讲一讲
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
[尝试解答] ∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.
又∵sin α<sin β，∴α<β，即α－β<0.
从而－<α－β<0，故α－β＝－.
解决给值(式)求角问题的方法
解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
练一练
2．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β.
解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)∴β∈，
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1.∴2α－β＝－.
讲一讲
3．已知<α<，0<β<， cos＝－，sin(＋β)＝.
(1)求sin(α＋β)的值；
(2)求cos(α－β)的值．
[尝试解答] (1)∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝ ＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－[sin(＋α)cos(＋β)＋cos(＋α)·sin]
＝－＝.
(2)由(1)可知，sin＝，cos＝－，
∴sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
又sin＝sin
＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
练一练
3．已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
解：∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]
＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝2.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用．
2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决给值(式)求角问题，见讲2；
(3)解决条件求值问题，见讲3.
3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2.
4．本节课要牢记常见角的变换
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝－；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
课下能力提升(二十三)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．sin 105°的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
2．cos－sin的值是( )
A. B．－ C．0 D.
解析：选A cos－sin＝cos＋sin＝sin＝sin＝.
3．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．
解析：∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
答案：
题组2 给值(式)求角问题
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.或
解析：选C 因为α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝－，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×(－)－×＝，所以α＋β的值为.
5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________．
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋
tan β＝tan αtan β－1⇒＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
答案：kπ－，k∈Z
6．已知△ABC中B＝60°，且＋＝－，若A>C，求A的值．
解：由已知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，∵A>C，则0°<α<120°，
故A＝＋＝60°＋α，
C＝－＝60°－α，
故＋＝＋
＝＋
＝＝.
由题设有＝－＝－2，
整理得：4cos2α＋2cos α－3＝0.
(2cos α－)(2cos α＋3)＝0.
∵2cos α＋3≠0，∴2cos α－＝0.
∴cos α＝.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
题组3 条件求值问题
7．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限角，
所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得
sin＝sin αcos＋cos αsin
＝×＋×＝－.
8．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D.
解析：选C ∵α是钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
9．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________．
解析：由已知得：
sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24°
⇒(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0
⇒sin θ＝cos θ⇒tan θ＝1，
∴tan(θ＋60°)＝＝－2－.
答案：－2－
10．已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
解：由题意，得cos＝－，sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝
＝＝－.
[能力提升综合练]
1．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得sin(B＋C)＝2sin C cos B⇒
sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B⇒
sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.
∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π.
∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
2．已知向量a＝，b＝(4，4cos α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B a·b＝4sin＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，
∴sin＝.
sin＝－sin＝－.
3.的值等于( )
A．－1 B．1 C. D．－
解析：选D ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
∴原式＝
＝－.
4.＝________．
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.
又∵cos α＝，∴sin α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
答案：
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β <，
∴α＋2β＝.
7．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵f＝－，
∴2cos＝2cos＝－，
∴sin α＝.
又∵f＝，
∴2cos＝2cos β＝，
∴cos β＝.
又∵α，β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．
(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
提示：成立．
(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？
提示：cos_2α＝cos2α－sin2α，sin_2α＝2sin_αcos_α，tan_2α＝.
2．归纳总结，核心必记
[问题思考]
(1)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
提示：S2α，C2α中α∈R，T2α中α≠kπ＋且α≠±.
(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？
提示：sin_2α＝2sin_αcos_α＝＝，cos_2α＝cos2α－sin2α＝＝.
[课前反思]
(1)二倍角的正弦公式：
；
(2)二倍角的余弦公式：
；
(3)二倍角的正切公式：
．
讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[尝试解答] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝
＝＝.
化简求值的四个方向
三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
练一练
1．化简：(1)－；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝tan 2θ.
(2)原式＝
＝＝
＝＝＝1.
讲一讲
2．(1)已知cos＝，≤α<，求cos(2α＋)的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[尝试解答] (1)∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－
＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××
＝－，
sin 2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×
＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×
＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－，
sin＝－sin＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
解决条件求值问题的方法
解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
练一练
2．(1)已知sinsin＝，α∈，求sin 4α的值；
(2)已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α.
解：(1)∵sinsin
＝sincos
＝，
∴sin＝，
即cos 2α＝.
∵α∈，
∴2α∈(π，2π)．
∴sin 2α＝－＝－.
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－.
(2)由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，
∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0.
∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
∵α为锐角，
∴cos2α≠0，sin α＋1≠0.
∴2sin α－1＝0.
∴sin α＝，
∴α＝.
讲一讲
3．已知向量a＝(sin A，cos A)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
[尝试解答] (1)由题意得a·b＝sin A－cos A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，所以A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x
＝－2＋.
因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，
因此，当sin x＝时，f(x)有最大值.
当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域是.
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.
练一练
3．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈，
即4α＋＝.故α＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．
2．要掌握二倍角公式的三个应用
(1)解决化简求值问题，见讲1；
(2)解决条件求值问题，见讲2；
(3)倍角公式的综合应用，见讲3.
3．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos；
(3)co
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