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易拉罐的形状和尺寸的最优设计

摘要

本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。
首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。
第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。
第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。模型一与实际情况相差过大，所以考虑上下底面的厚度来进一步优化模型，就是模型二。
第三题继续优化，贴近实际，假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上部圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如实用，美观，人体工程学等（其实最优化是没有尽头的，可口可乐公司在08年就已经将可乐罐改为330ml）。
第四题从回收和美观的角度将罐子设计成花瓶型，易于抓握，便于折叠回收。

关键字
355毫升易拉罐 系统简化 优化设计 导数求极值

一．问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1． 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2． 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3． 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4． 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二．问题的分析和假设

此问题是一个对几何体进行建模的问题。模型建立的越准确，则计算值与真实值的误差越小。积分是最精确的方法，但其缺点是繁琐难解。于是我们可以对几何体进行近似，试图在求解容易的基础上，尽可能地减小误差。

问题二中设罐体为标准圆柱体，模型一中先设圆柱各处厚度相同，则用料最省为表面积最小。模型二则对顶盖和底部的厚度进行限制。对问题三分析易知只考虑用料最少结果必为圆柱体，所以我们考虑实际条件与工业生产条件来做限制条件（可口可乐罐体的多次变化，特别是前年由355ml变成330ml，表明了罐体并没有达到最优值）。

问题中为了建立模型和计算的简便略去所有的边角并且忽略厚度对高的影响。为了更能体现本质，减少干扰，不考虑内外径的区别。

三．测量数据

物理量
测量值
圆柱半径
R=32.945mm
圆柱高度
H=123.11mm
上部圆台体上半径
r=29.085mm
上部圆台体高
h=8.40mm
侧壁厚度
d=0.14mm
上底厚度
=0.28mm
下底厚度
=0.29mm
球缺深度
l=9.61mm

四．符号说明

符号： 说明
V: 罐体的体积
H: 柱体的高度
R： 柱截面的半径
V： 所用材料的体积
d： 侧壁厚度
h: 圆台的高度
r: 圆台上截面的半径

五．模型建立
问题二.
正圆柱体的最优设计
模型一.
设易拉罐的高为H，底面圆半径为R，由圆柱体体积v =πR2H，得H=v∕πR2则表面积s=2 πR2+2πRH，将H=v∕πR2代入得s=2 πR2+2v∕R，当R取何值时候函数s取得最小值？
S=2 πR2+2vR=2 πR2+vR+v∕R≥3
当且仅当2 πR2=v∕R，即R=时，
S（min）=3，此时H=2R。
但是我们的易拉罐很少看见有直径与高相同的，所以考虑下一个模型。

模型二.
考虑上下底与侧壁材料的厚度不同
设易拉罐上底厚度为,下底厚度为，
v = πR2H，则H=v/ πR2
所需材料总体积v=2π RHd+πR2=2π R·vπR2d+ πR2=2vdR+ πR2
对V求导，得： V=2 πdR（-2vdR 令V=0，则2Vd=2 πd（）R，V= π（ R。 代入v= πR2H，得HR=
经测量的（d=0.14mm，=0.28mm，=0.29mm，实际测量与【1】文中），因此当H=4R时制作易拉罐所需材料最少，与实际情况相比较为符合。

问题三.
圆柱与圆台结合的最优设计

模型三.
使用模型二中的结论直接代入，同样忽略壁厚对体积的影响。
其中易证当下面柱体一定时上部用料最省为圆锥体，所以由于实际情况要加上限制条件r>=30mm（拉环位置）。
同样圆台高也要加限制条件h<=10mm（倾角，承受力，美观）。
人手掌长度范围是，

所以R<70mm。

V= πd[2RH+R+r2h2+R+r2+2r2+2R2]
V=πR2H+πh(r2+rR+R2)/3
代入r=30mm，h=10mm，V=365000mm。
可建立如下的数学模型

将V变形代入V中代换掉H，目标函数化为：

方程求解很繁，所以利用采用Pascal语言编程并间接借助Mathematica来求解。
得出解 R=31.9. 与测量结果（32.945mm）较为接近。

六．自由设计

普通易拉罐外观单一，没有特色，且废瓶占用空间大，不易回收，因此我们设计如图所示的单叶双曲面，并在瓶壁上加上螺纹，增大摩擦。不仅形状美观，而且易于握紧，不会滑落。当饮料饮用完时，由于其物理特性，可以轻易用手旋转并将其压扁，节约空间，不会占用太多地方。

七．模型的评价
1.模型的优点
优化设计，利用简单的算法简便了大部分运算，得出较为准确的模型。
2.模型的缺点
过于简略，模型并不很完善，实际情况边角误差较大

附录

程序
Program DL;
Var a:array[1..4]of integer;
i,j:integer;
min,m,s,d:real;
Begin
Min:=maximum;
s:=0; m:=0;
d:=200;
For i:= 200 to 400 do
Begin
s:=0;
a[1]:=2*365000000/(*d);
a[2]:=30/(5*d)+4800/d;
a[3]:=(d+300)*sqrt(10000+sqr(d+300));
a[4]:=2*sqr(d);
for j:=1 to 4 do s:=a[j]+s;
if s<min then begin
min:=s;
m:=d;
end;
d:=d+1;
End;
Writeln(m/10);
End.

参考文献
【1】《大学生数学建模竞赛辅导材料（五）》 叶其孝
【2】《可口可乐罐头为什么是这种样子》 叶其孝
【3】《铝质易拉罐成形工艺及模具》
【4】《易拉罐的最优化问题》 王颖 王逸书
【5】《易拉罐形状和尺寸的最优设计》
【6】《易拉罐的优化设计》 叶其孝
【7】《数学建模》 沈继红