2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：5导数不等式的证明－多元不等式策略（2）.doc

导数中的不等式证明

【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度4 二元或多元不等式的解证思路
【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）设分别是函数的两个零点，求证：.
【解析】（1）；
（2），，，
因为分别是函数的两个零点，所以， ……﹝找到结构对等式﹞
两式相减，得， ……﹝含时两式相减，含时两式相比﹞
，
要证明，只需证. ……﹝运用分析法，将待证式变形﹞
思路一：因为，只需证.
令，即证. ……﹝运用换元法，构造函数﹞
令，则，
所以函数在上单调递减，，即证.
由上述分析可知.
【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把转化为的函数，常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.
思路二：因为，只需证，
设，则 ……﹝变多元为一元，构造函数﹞
，
所以函数在上单调递减，，即证.
由上述分析可知.
【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于（或）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.
思路三：要证明，只需证.
即证，由对数平均数易得.
【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.
【知识拓展】对于，则，其中称之为对数平均数.简证如下：不妨设，只需证明即可，即（下略）.
【典例8】（A10联盟2018年高考最后一卷）已知函数.
（1）当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值范围；
（2）当时，设是函数两个不同的极值点，
证明：.
【解析】（1）因为，所以，即，
设，则， ………﹝变量分离，转化为函数性质的研究﹞
所以在上单调递减，在上单调递增，
，当时，，当时，，
要使方程在区间上有两个不同的实数根，则，解得，
故的取值范围是；
【一题多解】本题也可以变形为，转化为过原点的直线与函数图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.
（2）由题意，，，
因为是函数两个不同的极值点，
不妨设，，即，
两式相减得. ………﹝剖析结构特点，灵活变形﹞
要证，即证明， ………﹝分析法是证明问题的重要方法﹞
只需证，即，亦即.
令，只需证当时，不等式恒成立，
设，则 ……﹝灵活换元，构造函数﹞
，
易证，所以，
所以在上单调递减，，即.
综上所述，成立.
【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.
【典例9】（2018届合肥三模）已知函数有两个极值点 (为自然对数的底数).
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
解析：（1）由于，则，
设，则.
令，解得.
所以当时，；当时，.
1

所以.
①当时，，所以函数单调递增，没有极值点；
②当时，，且当时，；当时，.
此时，有两个零点，不妨设，则，
所以函数有两个极值点时，实数的取值范围是；
【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.
（2）由（1）知，为的两个实数根，，在上单调递减.
下面先证，只需证. ……﹝应用数形结合，挖掘拐点不等关系﹞
由于，得，
所以.
设，则，
所以在上单调递减，
所以，，所以.
由于函数在上也单调递减，所以.
要证，只需证，
即证. ……﹝利用单调性放缩，化多元为一元﹞
设函数，则.
设，则，
所以在上单调递增，，即.
所以在上单调递增，.
故当时，，则，

1

所以，亦即.
【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得出.