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第二章 数列
2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1.＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，所以b＝±1.
答案：C
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32 B．16 C．12 D．8
解析：＝q3＝＝2，
所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(23)＝24＝16.
答案：B
3．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A. B.或
C. D．以上都不对
解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，所以m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝2，
所以等比数列为，x1，x2，4，
所以q3＝＝8，所以q＝2，
所以x1＝1，x2＝2，
所以n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
所以＝＝.
答案：A
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n B．n10 C．100n D．n100
解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.
答案：A
5．等比数列{an}中，an∈R*，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A．10 B．20 C．36 D．128
解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝
log2(a1·a2·a3·…·a8)＝
log2(a4a5)4＝4log232＝20.
故选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
解析：由an＋1＞an⇒a1qn＞a1qn－1，
因为a1＜0，
所以qn＜qn－1⇒qn＜0对任意正整数n都成立．
所以q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.
答案：0＜q＜1
7．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝______________．
解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，
所以an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，
即(an＋3)是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，
所以该数列的通项an＝2n＋1－3.
答案：2n＋1－3
8．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：因为{an}单调递增，所以q>0，
又a＝a10>0，所以an>0，q>1，
由条件得2＝5，
即2＝5，
所以q＝2或q＝(舍)，
由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，
所以a1＝q＝2，故an＝2n.
答案：2n
三、解答题
9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
解：法一：设该数列的公比为q，项数为2n，则S偶＝qS奇⇒＝85＋170，
所以22n－1＝255.所以2n＝8.
故这个数列的公比为2，项数为8.
法二：设该数列的公比为q，项数为2n，则
S奇＝＝85，
S偶＝＝170.
所以n＝4，q＝2.
10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．
解：设三个数为，a，aq(a，q>0)，
由题，
所以⇒a2＝21×＝36，
所以a＝6，q＝2或，
所以三个数为3，6，12或12，6，3.
B级 能力提升
1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
2．等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记f(n)＝a1·a2·…·an，则当f(n)最大时，n的值为________．
解析：由于an＝317×，易知a9＝317×＞1，a10＜0，0＜a11＜1，又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9值最大，此时n＝9.
答案：9
3．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；
bn＝(an－1＋4bn－1)．
an＝(4an－1＋bn－1)，
所以an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝
(a0－b0)·.
因为a0－b0＝，
所以an－bn＝·.
依题意知·＜1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
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