一次函数二.docx

第课时　

1.理解一次函数的概念,以及一次函数与正比例函数之间的关系.
2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题.

在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.

经历利用一次函数、正比例函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点增强认识现实世界的意识和能力.

【重点】
1.一次函数的概念.
2.根据已知信息写出一次函数表达式.
【难点】
理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.

【教师准备】　课件1~9.
【学生准备】　复习正比例函数的定义.

导入一:
【课件1】　问题:某登山队大本营所在地的气温为15 ℃,海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们所处位置的气温是y ℃.试用解析式表示y与x的关系.
分析:从大本营向上,当海拔每升高1 km时,气温从15 ℃就减少6 ℃,那么海拔增加x km时,气温从15 ℃减少6x ℃.因此y与x的函数关系式为y=15-6x(x≥0).
当然,这个函数也可表示为y=-6x+15(x≥0).
当登山队员由大本营向上登高0.5 km时,他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃).
这个函数与我们上课时所学的正比例函数有何不同?它又是什么函数呢?我们这节课将学习这些问题.
[设计意图]　为完善认识与深刻理解一次函数做准备,促使学生对一次函数的特征进行思考.
导入二:
1.知识回顾.
(1)什么是正比例函数?
(2)函数有哪些表示方法?
(3)你能举出几个正比例函数的例子吗?
2.思考.
【课件2】　列出下列函数关系式.
(1)已知等腰三角形的周长为30,底边长为y,腰长为x,试写出y与x之间的函数关系式;
(2)小红的爸爸把10000元存入银行,如果年利率是1.98%,x年后取出的本息和为y(元)(不计利息税),试写出y与x之间的函数关系式;
(3)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x分钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y与x之间的函数关系式;
(4)某种商品每件的进价是100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为y(元),试写出y与x之间的函数关系式.
前面我们学习了函数的基本概念,以及函数的表示和正比例函数,本课时我们将学习一种最基本的函数——一次函数.
[设计意图]　通过复习,让学生进一步巩固上课时所学的内容;利用函数表达式,培养学生列函数表达式的能力,同时也为引出下面的内容奠定基础.

活动1　新知探究
　　[过渡语]　函数可以用来刻画数量之间的关系,一次函数是一种重要的函数,现在我们就来探究一次函数.
思路一
1.一起探究.
【课件3】　在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中,小刚家到学校的路程为3.5 km,小刚骑车的速度为0.2 km/min.设小刚距学校的路程为s km,离开家的时间为t min.
一起探究:
(1)写出s与t之间的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
(2)写出t的取值范围.
(3)对比正比例函数,它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点?
分清已知量与未知量之间的相互关系,再用变量(字母)表示未知量是探究函数关系的关键.
引导学生利用图示法进行分析,合理确定自变量的取值范围.
一般地,解决行程类的问题时,常常借助如下图示来分析.

分析上图,容易得出s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中3.5,0.2是常量,s与t是变量.
因为3.5-0.2t≥0,解得t≤17.5.所以t的取值范围为0≤t≤17.5.
2.做一做.
【课件4】　
1.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.60元/平方米;有汽车的房主再交车库使用费,每月80元.设有车房主的住房面积为x m2,每月应缴物业管理与车库使用费的总和为y元,则用x表示y的函数表达式为　　　　. 
2.向一个已装有10 dm3水的容器中再注水,注水速度为2 dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为　　　　. 
3.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,减常数105,所得差是G的值.用h表示G的函数表达式为　　　　. 
提出问题:上面情境中,可以用怎样的关系式表示?请与你的同桌交流.
引导学生分析得出:
1.y=1.6x+80　2.y=2x+10　3.G=h-105
说明:教学中应引导学生注意,在这三个问题里,函数表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的.
3.大家谈谈.
想一想:这些函数表达式的形式有什么共同特点?与同学交流你的看法.
引导学生从关系式的形式上找共同点.
师生共同归纳得其特点:它们的形式一样,函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.
总结:一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
提问:当b=0时,一次函数会变成什么样的函数?
对于一次函数y=kx+b,当b=0时,它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式.
思考:一次函数和正比例函数的联系与区别分别是什么?
归纳:一次函数解析式y=kx+b的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.正比例函数是特殊的一次函数.
[设计意图]　通过问题的探究,使学生理解一次函数的形式以及它与正比例函数的关系,进一步理解“从特殊到一般”解决问题的方法.
[知识拓展]　(1)一次函数中,自变量的次数是1.
(2)形如x=a或y=b(a,b是常数)的函数称为常数函数,如x=1,y=2等.
(3)正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b=0,因此正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
思路二
【课件5】　弹簧下端悬挂重物,弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数,已知一根弹簧在不挂重物时长6厘米.在一定的弹性限度内,每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米,求这个函数关系式.
学生独立尝试后,和同桌交流.
明确:这里涉及物重和弹簧长度两个变量,变量与变量之间的关系为:弹簧总长度=弹簧伸长长度+弹簧原长.
当挂x千克重物时,弹簧长度y=0.3x+6.
师:观察下面6个函数:①y=30-2x;②y=10000+10000×1.98%×x=10000+198x;③y=20-0.2x;④y=100×20%x=20x;⑤s=570-95t;⑥y=0.3x+6.它们具有怎样的共同特征?你能用一个表达式表示这个共同特征吗?
学生交流讨论,逐个举手回答.
明确:师生共同归纳可得上述函数的关系式都是关于自变量的一次整式,这样的关系式为一次函数,可统一表示为y=kx+b的形式,其中k,b为常数,且k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
教师利用多媒体演示幻灯片.
【课件6】　判断正误.
(1)一次函数是正比例函数;(✕)
(2)正比例函数是一次函数;(􀳫)
(3)x+2y=5是一次函数;(􀳫)
(4)2y-x=0是正比例函数.(􀳫)
学生独立尝试后,和同桌交流结果,逐个举手回答.
教师利用多媒体点击答案,验证学生解答的正确性.
明确:根据一次函数和正比例函数的概念可知正比例函数是一次函数的特例,因此正比例函数一定是一次函数,当一次函数关系式中的常数项为0时,一次函数才是正比例函数;一个函数关系式能够转化成y=kx+b(k≠0)的形式,它就是一次函数;一个函数关系式能够转化成y=kx(k≠0)的形式,它就是正比例函数.
【课件7】　已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时,y是x的一次函数?当m取什么值时,y是x的正比例函数?
学生独立尝试后,推选代表上黑板板演,然后再全班互评.
明确:师生共同归纳学生板演的结果,并总结.
解:要使此函数是一次函数,必须满足m+1≠0,即m≠-1;
要使此函数是正比例函数,必须满足m+1≠0,m2-1=0,解得m=1.
[设计意图]　通过情境的设置,让学生能列出实际问题中的函数关系式,并通过观察函数的特点,总结出一次函数的特点,而且在教学过程中边讲边练,加深学生对新知识的理解和掌握.
活动2　巩固新知
　　[过渡语]　根据一次函数的特点,我们可以判断一个函数是否为一次函数.
1.做一做.
【课件8】　在下列函数中,哪些是一次函数?请指出一次函数中的k和b的值.
(1)y=3x+6;　　　(2)y=-13x+2;
(3)y=x+3x; (4)y=-0.4t;
(5)w=3-2z; (6)y=2x2+6x-9.
引导学生根据一次函数的定义进行判断,并确定k和b的值.
指名回答.
得出:(1)(2)(4)(5)是一次函数.(1)k=3,b=6;(2)k=-13,b=2;(4)k=-0.4,b=0;(5)k=-2,b=3.
2.例题讲解.

【课件9】　
　(教材第88页例3)如图所示,△ABC是边长为x的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗?如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.
(2)当h=3时,求x的值.
(3)求△ABC的面积S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗?
分析:(1)根据等腰三角形三线合一的性质,求得BD=12x,然后再利用勾股定理表示出高,再进行判断;(2)把h=3代入函数关系式中求得x的值.(3)直接利用三角形的面积公式求出S的值,然后加以判断.
引导学生分析之后,学生自主完成.
解:(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线,所以BD=12x.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得:
h=AD=AB2-BD2= x2-14x2=32x,
即h=32x.
所以h是x的一次函数,且k=32,b=0.
(2)当h=3时,有3=32x.
解得x=2.
(3)因为S=12AD·BC=12×32x·x=34x2,即S=34x2,所以S不是x的一次函数.
[设计意图]　通过“做一做”进一步巩固一次函数的有关知识,培养学生的判断能力;通过例题的讲解,使学生能够利用所学知识解决实际问题.

1.一次函数的定义:
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
2.学习一次函数要注意的问题:
(1)函数为一次函数⇔其关系式为y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的形式;
(2)一次函数关系式的结构特征:
①k≠0;
②自变量的次数是1;
③常数项b为任意实数.
(3)一般情况下自变量的取值范围是任意实数.

1.(2016·武汉中考)下列函数:①y=x;②y=x4;③y=4x;④y=2x+1.其中一次函数的个数是 (　　)
　　A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①y=x是一次函数,故①符合题意;②y=x4是一次函数,故②符合题意;③y=4x中自变量次数不为1,故不是一次函数,故③不符合题意;④y=2x+1是一次函数,故④符合题意.综上所述,是一次函数的个数有3个.故选C.
2.一次函数y=23x+2中,当x=9时,y值为 (　　)
A.-4 B.-2 C.6 D.8
解析:把x=9代入y=23x+2,得y=23×9+2=8.故选D.
3.下列函数中,既是一次函数,又是正比例函数的是 (　　)
A.y=-3x2-1 B.y=2x-1
C.y=5x D.y=-2x
解析:A.自变量为2次,不是一次函数,故此选项错误;B.符合一次函数定义,是一次函数,但不是正比例函数,故此选项错误;C.自变量在分母中,不是一次函数,故此选项错误;D.符合正比例函数定义,是正比例函数,故此选项正确.故选D.
4.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是图中的 (　　)
A　　　B
C　　 D
解析:根据函数的定义,知一次函数和正比例函数都属于函数的范畴;一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k≠0,自变量次数为1.当b=0时,则成为正比例函数y=kx,所以正比例函数是一次函数的特殊形式.故选A.
5.已知y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数,则m的值是 (　　)
A.-3 B.3 C.±3 D.±2
解析:由y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数,得|m|-2=1,m-3≠0,解得m=-3(m=3不符合题意,要舍去).故选A.
6.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是 (　　)
A.S是R的一次函数
B.S是R的正比例函数
C.S与R2成正比例关系
D.以上说法都不正确
解析:由题意得S=πR2,所以S与R2成正比例关系.故选C.
7.已知函数y=2x-1中,若x=a时的函数值为1,则a的值是 (　　)
A.-1 B.1 C.-3 D.3
解析:将x=a,y=1代入,得2a-1=1,解得a=1.故选B.
8.已知一次函数y=2x-3.
(1)当x=-2时,求y;
(2)当y=1时,求x;
(3)当-3<y<0时,求x的取值范围.
解析:(1)直接把x=-2代入y=2x-3可得答案;(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,再解方程即可;(3)由题意可得不等式组-3<2x-3<0,再解不等式组2x-3>-3,2x-3<0即可.
解:(1)把x=-2代入y=2x-3中,得y=-4-3=-7.
(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,解得x=2.
(3)∵-3<y<0,∴-3<2x-3<0,∴2x-3>-3,2x-3<0,解得0<x<32.
9.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数,是否为正比例函数.
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).
解析:(1)根据路程=速度×时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积公式可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高×月数.
解:(1)y=60x,y是x的一次函数,也是正比例函数.
(2)y=πx2,y不是x的一次函数,不是正比例函数.
(3)y=50+2x,y是x的一次函数,不是正比例函数.

第2课时
活动1　新知探究
1.一起探究
2.做一做
3.大家谈谈
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
活动2　巩固新知
1.做一做
2.例题讲解

一、教材作业
【必做题】
1.教材第88页练习第1,2题.
2.教材第89页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第89页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是 (　　)
A.路程一定时,时间y和速度x的关系
B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形
C.正方形的面积y与它的边长x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
2.如果y是x的正比例函数,x是z的一次函数,那么y是z的 (　　)
A.正比例函数
B.一次函数
C.正比例函数或一次函数
D.不构成函数关系
3.已知函数y=3x+1,当自变量增加3时,相应的函数值增加 (　　)
A.10 B.9 C.3 D.8
4.若一次函数y=kx-5,当x=-2时,y=7,则k的值是 (　　)
A.6 B.-1 C.-6 D.1
5.y=kx+b是一次函数,则k为 (　　)
A.一切实数 B.正实数
C.负实数 D.非零实数
【能力提升】
6.将一次函数y=3(x-2)+1写成y=kx+b的形式,则 (　　)
A.k=3,b=1 B.k=-2,b=1
C.k=3,b=-5 D.k=3,b=-2
7.若y=(m-3)x|m|-2+m+n是一次函数,则m=　　　　;若它为正比例函数,则m=　　　　,n=　　　　. 
8.我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 ℃.某时刻测量我市地面温度为20 ℃.设高出地面x km处的温度为y ℃,则y与x的函数关系式为　　　　,y　　　　x的一次函数(填“是”或“不是”). 
9.函数:①y=-15x;②y=2x-1;③y=12x;④y=x2+3x-1;⑤y=x+4;⑥y=3.6x.其中一次函数有　　　　;正比例函数有　　　　.(填序号) 
10.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
(1)某种大米的单价是2.2元/kg,当购买x kg的大米时,花费为y元;
(2)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球,其速度每秒增加3 m,小球的速度y(m/s)与时间t(s)之间的关系;
(3)周长为10 cm的长方形的一边长为x cm,其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系.
【拓展探究】
11.已知y=(k-1)x|k|+(k2-4)是一次函数.
(1)求k的值;
(2)求x=3时,y的值;
(3)求y=0时,x的值.
12.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?
【答案与解析】
1.B(解析:A.设路程是s,则根据题意知s=xy,时间y和速度x不是一次函数关系,故本选项错误;B.根据题意,知10=2(x+y),即y=-x+5,符合一次函数的定义,故本选项正确;C.根据题意,知y=x2,自变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误;D.根据题意,知x2+y2=25,变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误.)
2.C(解析:由题意得y=kx,x=k1z+b,则y=kk1z+kb.①当b≠0时,y是z的一次函数.②当b=0时,y是z的正比例函数.综上所述,y是z的一次函数或正比例函数.)
3.B(解析:因为y=3x+1,所以当自变量增加3时,y1=3(x+3)+1=3x+1+9,相应的函数值增加9.)
4.C(解析:依题意,得-2k-5=7,解得k=-6.)
5.D(解析:根据一次函数的定义,可知若y=kx+b是一次函数,则k≠0.)
6.C(解析:y=3(x-2)+1=3x-6+1=3x-5,所以k=3,b=-5.)
7.-3　-3　3(解析:∵y=(m-3)x|m|-2+m+n是一次函数,∴|m|-2=1,m-3≠0,∴m=-3,若为正比例函数,则m+n=0,得-3+n=0,即n=3.)
8.y=-6x+20　是(解析:高出地面x km处的温度为y ℃,则y与x的函数关系式为y=-6x+20,y是x的一次函数.)
9.①②⑤⑥　①⑥(解析:根据一次函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的函数是一次函数,可知①y=-15x,②y=2x-1,⑤y=x+4,⑥y=3.6x是一次函数,根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数,知①y=-15x,⑥y=3.6x是正比例函数.)
10.解:(1)由题意,得y=2.2x,y是x的一次函数,且是正比例函数.　(2)由题意,得y=3x,y是x的一次函数,且是正比例函数.　(3)由题意,得y=x(5-x),y不是x的一次函数,也不是正比例函数.
11.解:(1)由题意可得|k|=1,k-1≠0,解得k=-1.　(2)当x=3时,y=-2x-3=-9.　(3)当y=0时,0=-2x-3,解得x=-32.
12.解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=±1.又∵m+1≠0即m≠-1,∴当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.　(2)根据正比例函数的定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=±1,n=-4,又∵m+1≠0即m≠-1,∴当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.