函数关系式的求法——待定系数法.doc

函数关系式的求法——待定系数法
广州市黄埔区九佛中学 平儿辉
【教学目标】：
1、理解一次函数、反比例函数、二次函数的函数关系式的表示方法；
2、熟练的求一次函数、反比例函数、二次函数的解析式；
3、通过学习，进一步体会“待定系数法”这一重要的数学方法。

【教学重点、难点】：
利用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数的解析式。

【学情分析】：
本节课是在学习了一次函数、反比例函数、二次函数的基础上进行的复习课教学，目的是通过本节课的系统复习，让学生掌握用待定系数法求三种函数的解析式的方法。该班学生基础较差，成绩排在全级的倒数，特别是男生，只有少数同学对数学感兴趣，同时不够细心，本班学生分析问题欠全面，缺乏自信心，学习没有较强的动力，甚至还有几个学生由于智力原因无法学习，连最基础的知识也没办法掌握，故本节课从基础入手，设置的A组题重在让大多数同学掌握基础知识和基本技能，同时为让一部分优等生吃饱，还设置了B组、C组题，使不同层次的学生均有所收获。

【教学过程】
环节一：知识回顾：
1、初中阶段学过的三个函数的关系式及它们的图象分别是什么图形？
1）、一次函数(正比例函数)的一般形式是 ( )，它的图象是 。
2）、反比例函数的一般形式是 ，它的图象是 。
3）、二次函数的一般形式是 ，它的图象是 。
二次函数的顶点式是 ，它的顶点坐标是 。
二次函数的交点式是 ，它与x轴的交点坐标是 。
4）、 叫求函数关系式。
2、基本练习：

图（2）
根据下列函数的图象（条件）求相应的函数关系式：

图（1）

(1）解：设所求的函数关系式是 (2）解：设所求的函数关系式是
∵函数图象经过点A（ ），B（ ） ∵函数图象经过点A（ ）
把A、B两点坐标分别代入函数解析式得： 把A点坐标代入函数解析式得：

解得：
∴所求的函数关系式是 。
解得：
∴所求的函数关系式是 。
3、已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），它的图象过点（2，-1），求其解析式。
(提示解法1：用顶点式。提示解法2：先通过对称性写出该函数图象经过的第三个点的坐标，只须列出方程（组）)
解法1：设该二次函数的解析式（顶点式）为 解法2：该函数图象经过三个点

把图象经过的点 代入可列出方程： 代入二次函数一般式，可列出方程组：

4、 利用几何画板演示求二次函数解析式的必备条件：
通过几何画板的演示可以知道：过任意一点或两点不能确定二次函数的图象，过不在同一直线的三点可以确定唯一的二次函数的图象（交点式为特殊情况），过二次函数的顶点和任一点也可确定唯一的二次函数的图象。

小结：（用待定系数法求函数解析式的条件）：
若需求出函数解析式中的n个系数-------必须已知该函数图象上的n个点的坐标
（n为正整数）

【设计意图】：利用题组带知识点的形式，通过学生对相关知识的回顾，让学生对所学的知识有一个整体印象，并明确：1、要求函数关系式，其实就是要确定它们关系式中的未知系数，从上面的练习可以知道，所求的关系式中有多少个待定系数，就要建立几个方程，就要知道该函数图象上的几个点。2、待定系数法求函数关系式的步骤。

环节二：练习
A组题（只需列出方程（组））：
1. 如图，求双曲线的函数解析式。列出方程：

2. 已知点A（2，1）、B（0，3）是一次函数图象上的两个点，求这个一次函数的解析式。　
解： 列出方程组：

环节三：例题学习
例题1. 如图, 已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A、B两点，且点B的纵坐标为，过点A作轴于点C，.
求：（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式.
分析：
（1）求反比例函数的解析式，只须求中的值，即
找到该函数图象上1个点的坐标，由题意可知A（2，1）；
（2）求一次函数的解析式只须求出A，B两点的坐标，点A可求，
而点B又在反比例函数的图象上，故可求。

例题2. 已知二次函数的图象如下图所示，求这个二次函数的解析式。

分析：
根据题意，选择合理的方法，并对各种方法进行比较。
解法1（列三元方程组，只列式）：
解法2（设顶点式，只列式）：
解法3（设交点式，完整求出答案）：

【设计意图】：通过两道例题的分析和教师的规范板书，让学生进一步明确对考题分析的规范性和重要性，以及用待定系数法求函数关系式的步骤，特别是求二次函数的解析式，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。

环节四：分层练习
A组题
1. 一个正比例函数的图象经过点（2，），它的表达式为( )
A. B. C. D.
2．二次函数的图象经过点M(-1,0)，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
3.若点（4，m）在反比例函数(x≠0)的图象上，则m的值是　　．
4. 若一次函数的图象经过点P(1,4)，则该函数图象的解析式为 ；
O
A
P
B
x
y

5. 如图，在反比例函数的图象上
有一点，过P点作轴于点，轴于
点，且矩形的面积为4，则该反比例函数的解析式为 ．
6. 已知点A（2，1）、B（0，3）是一次函数图象上的两个点，求这个一次函数的解析式。　　

7. 已知抛物线的顶点坐标为（1，2），它的图象过点（2，-1），求其解析式。

B组题
1. 反比例函数（k >0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 ．
y
x
O
3
x=1

图B（2）
图B(3）
2. 抛物线的图象如下图所示， 则此抛物线的解析式为 ．

l
图B（1）

3. 如上图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.

C组题
1. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

2. 抛物线的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）

3.如图，平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于、两点．
（1）求出、两点的坐标；
y
x
O
A
B
C
（1，1）

（2）有一开口向下的抛物线经过点、，且其顶点在⊙C上，试确定此抛物线的解析式．

【设计意图】：通过三个题组的训练，让学生进一步熟悉用待定系数法求函数关系式的步骤，特别是根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式。其中A组题要求全体同学掌握，教师在学生练习的同时进行巡回批改和个别辅导，同时投影学生的典型错误并进行点评。而B组和C组供学有余力的同学完成，课后再进行辅导和点评。

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