资源描述
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
第I卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足，则=( )
（A）1 (B) (C) (D)2
（2）=( )
（A）- (B) (C) (D)
（3）设命题p:，，则p为( )
（A） （B）
（C） （D）
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
（A）0.648 （B）0.432 (C)0.36 (D)0.312
（5）已知M（）是双曲线C:上的一点，是C的两个焦点，若,则的取值范围是( )
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
（6）《九章算术》是我过古代内容极为丰富的数
学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，
下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意
思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一
个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米
堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少
？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约
为3，估算出墙角的米约有（ ）
（A）14斛 （B）22斛
(C) 36斛 (D) 66斛
(7)设D为所在平面内一点, =3,则（ ）
（A）=- （B）=
（C）=- （D）=
（8）函数的部分图像如图所示，则的单调递增区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
(10) 的展开式中，的系数为（ ）
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 60
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，
该几何体的表面积为16+20，则r=（ ）
（A）1
(B) 2
(C) 4
(D) 5
（12）设函数其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是（ ）
（A） (B) (C) (D)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每题5分。
（13）若函数为偶函数，则a=
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
（15）若x,y满足约束条件则的最大值为
（16） 平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为数列{}的前n项和 已知
（I）求的通项公式。
（II）设，求数列的前n项和。
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为菱形，，E，F是平面ABCD同一侧的两点，，，BE=2DF，
（I）证明：平面；
（II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中
(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+那一个适宜作为年销售量y关于年销售量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题；
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线V=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线C：与直线交于M，N两点。
（I）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（II）轴上是否存在点P，使得当变动时，总有 ? 说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）当为何值时，轴为曲线的切线；
（II）用min表示，中的最小值，设函数h=min{}(>0),请讨论h()零点的个数
请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙于点E。
（I）若点D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线：
（II）若,求的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I）求的极坐标方程；
（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积。
(24)（小题满分10分）修4-5：不定式选讲
已知函数
（I）当a=1时，求不等式的解集：
（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
参考答案：
一、1.A 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.C 11.B 12.D
二、13. 1 14. 15. 3 16.
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