二次函数小综合.doc

勤学早九年级数学（上）第22章《二次函数》专题一点通（三）
二次函数小综合
1．已知抛物线y＝x2－2x＋3经过点B(3，6)，与y轴交于点A(0，3)．若点M是直线AB：y＝x＋3下方抛物线上的一点，且S△ABM＝3，求点M的坐标

2．如图，抛物线y＝－x2＋4ax－3经过点M(2，1)，交x轴于A、B，交y轴负半轴于C，平移CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP＝CM，求点P的坐标

3．如图，抛物线y＝－x2＋4与x轴交于A、B两点，点Q为抛物线在第二象限上的一点，且∠AQB＝90°，求Q点的坐标

4．如图，二次函数y＝x2－x－2的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C，点M在第一象限的抛物线上，CM交x轴于点P，且PA＝PC，求点M的坐标

5．如图，抛物线与x轴交于A、B，点P为顶点，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由

6．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD，抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由

7．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D．如图，过点E(1，1)作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标

8．如图，抛物线y＝x2－4x＋3过点A(3，0)、B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D
(1) 求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值
(2) 在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

9．如图，已知抛物线y＝x2－3x经过B(4，4)，将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标

10．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，将直线BC向下平移，与抛物线交于点B′、C′（B′与B对应，C′与C对应），与y轴交于点D．当点D是线段B′C′的三等分点时，求点D的坐标

11．若直线y＝2x＋t与函数的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是____________________

12． 将函数y＝x2－2x－3图象沿y轴翻折后，与原图像合起来，构成一个新函数的图象．若直线y＝x＋m与新图象有四个公共点，求m的取值范围

勤学早九年级数学（上）第22章《二次函数》专题一点通（三）
二次函数小综合参考答案
1．解：设M(m，m2－2m＋3)
过点M作MN∥y轴交AB于N
则N(m，m＋3)
∴S△ABM＝[m＋3－(m2－2m＋3)]×3＝3，解得m1＝1，m2＝2
∴M(1，2)或(2，3)
2．解：将M(2，1)代入y＝－x2＋4ax－3中，得
－4＋8a－3＝1，a＝1
∴y＝－x2＋4x－3
令x＝0，则y＝－3
∴C(0，－3)
∵DP＝CM
∴点P的纵坐标为－4
令y＝－4，则－x2＋4x－3＝－4，解得
∵P在对称轴右侧
∴P(，－4)
3．解：设Q(m，－m2＋4)
连接OQ
∵∠AQB＝90°，O为AB的中点
∴OQ＝AB
令y＝0，则－x2＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝2
∴AB＝4，OQ＝2
∴m2＋(－m2＋4)2＝4，解得或m＝±2
∵Q为第二象限
∴Q(，1)
4．解：令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2
∴A(－1，0)、B(2，0)
令x＝0，则y＝－2
∴C(0，－2)
设P(m，0)
∵PA＝PC
∴(m＋1)2＝m2＋4，解得m＝
∴P(，0)
直线CP的解析式为
联立，解得或（舍去）
∴M()
5．解：令y＝0，则，解得x1＝2，x2＝6
∴A(2，0)、B(6，0)
令x＝0，则y＝
∴C(0，)
∵
∴P(4，)
直线PB的解析式为
∵
∴PB∥OD
根据平移可知：D(2，)或(－2，)
6．解：令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3
∴A(－1，0)、B(3，0)
令x＝0，则y＝3
∴C(0，3)
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4
∴D(1，4)
∴BC＝，BD＝，CD＝
∵CD2＋BC2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
① 当PC∥BD时，P(4，－5)
② 当P在第一象限时
∵CD＝
过点B作BE∥CD且BE＝
∴△ECB≌△DBC（SAS）
∴∠PCB＝∠CBD
∵OC＝OB＝3
∴∠OCB＝∠CBO＝45°
∴∠EBx＝45°
∴E(4，1)
∴直线CE的解析式为
联立，解得x1＝2.5，x2＝0（舍去）
∴P(，)

7．解：设对称中心为(a，b)
∵A(－1，0)、E(1，1)
∴M(2a＋1，2b)、N(2a－1，2b－1)
∵M、N都在抛物线上
∴，解得
∴M(3，－2)、N(1，－3)
8．解：直线AC的解析式为y＝－x＋3
设P(x，x2－4x＋3)，则D(x，－x＋3)
∴PD＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝
当时，线段PD的长度有最大值为
(2) ∵PA＝PB
∴P在直线CB上时，|MA－MC|有最大值
∴M(2，－3)
9．解：m＝1，D(2，－2)
10．解：直线BC的解析式为y＝－3x＋3
设直线B′C′的解析式为y＝－3x＋t
联立，整理得x2－x＋t－3＝0
设B′(x1，y1)、C′(x2，y2)
则x1＋x2＝1，x1x2＝t－2
∵D是线段B′C′的三等分点
∴x2＝－3x1或x1＝－3x2
当x2＝－3x1时，x1－3x1＝1，x1＝
∴x2＝
∴t－2＝，t＝
当x1＝－3x2时，－3x2＋x2＝1，x2＝
∵x2＞0
∴x2＝不符合题意，舍去
∴D(0，)

11．解：t＝－3或t＞－2
12．解：