2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷.doc

2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各式中与（﹣a2）3相等的是（　　）
　 A． a5 B． a6 C． ﹣a5 D． ﹣a6

2．下列方程中，有实数解的是（　　）
　 A． =﹣1 B． =﹣x C． =0 D． =0

3．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
　 A． y=（x+1）2 B． y=（x﹣3）2 C． y=（x﹣1）2+2 D． y=（x﹣1）2﹣2

4．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（　　）
　 A． 两条直角边成正比例 B． 两条直角边成反比例
　 C． 一条直角边与斜边成正比例 D． 一条直角边与斜边成反比例

5．在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（　　）
　 A． CD=CB B． OB=OD C． OA=OC D． AC⊥BD

6．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　）

　 A． S1=S3 B． S2=2S4 C． S2=2S1 D． S1•S3=S2•S4

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：+40=　　　　　　．

8．使代数式有意义的实数x的取值范围为　　　　　　．

9．如果方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是　　　　　　．

10．布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么摸到一红一白两球概率为　　　　　　．

11．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是　　　　　　．

12．已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是　　　　　　．

13．如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于　　　　　　．

14．已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于　　　　　　．

15．已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设=，=．那么=　　　　　　．（用向量、的式子表示）．

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，如果BC=3，CD=2，那么cos∠DCB=　　　　　　．

17．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=　　　　　　米．

18．把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为　　　　　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．化简：+，并求当x=时的值．

20．解方程组：．

21．已知直线x=m（m＞0）与双曲线y=和直线y=﹣x﹣2分别相交于点A、B，且AB=7，求m的值．

22．如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

23．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证：=；
（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．

24．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

25．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

2015年上海市静安区、青浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各式中与（﹣a2）3相等的是（　　）
　 A． a5 B． a6 C． ﹣a5 D． ﹣a6

考点： 幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解答： 解：（﹣a2）3=﹣a6．
故选D．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．

2．下列方程中，有实数解的是（　　）
　 A． =﹣1 B． =﹣x C． =0 D． =0

考点： 无理方程；分式方程的解．
分析： 对所给的方程逐一分析、判断，即可解决问题．
解答： 解：∵，
∴x2﹣4=0，
∴x=﹣2或2；
经检验：x=2是原方程的增根，
∴原方程的解为x=﹣2，
故选C．
点评： 该题主要考查了无理方程或分式方程的求解、判断问题；解题的关键是借助无理方程或分式方程的有关定理、定义，来灵活分析、判断、求解．

3．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
　 A． y=（x+1）2 B． y=（x﹣3）2 C． y=（x﹣1）2+2 D． y=（x﹣1）2﹣2

考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 先根据二次函数的性质得到抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），再利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
解答： 解：抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（　　）
　 A． 两条直角边成正比例 B． 两条直角边成反比例
　 C． 一条直角边与斜边成正比例 D． 一条直角边与斜边成反比例

考点： 反比例函数的定义；正比例函数的定义．
分析： 直角三角形的面积一定，则该直角三角形的两直角边的乘积一定．
解答： 解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S．则
S=ab．
∵S为定值，
∴ab=2S是定值，
则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．
故选：B．
点评： 本题考查了反比例函数和正比例函数的定义．反比例函数上点的坐标的横、纵坐标的乘积是定值．

5．在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（　　）
　 A． CD=CB B． OB=OD C． OA=OC D． AC⊥BD

考点： 菱形的判定．
分析： 根据等腰三角形的性质可得BO=DO，再添加条件AO=CO，可得四边形ABCD是平行四边形，又AB=AD，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可进行判定．
解答： 解：添加条件AO=CO，
∵AB=AD，AC平分∠DAB，
∴BO=DO，
∵AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．

点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．

6．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　）

　 A． S1=S3 B． S2=2S4 C． S2=2S1 D． S1•S3=S2•S4

考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S△ABD=S△ACD，
∴S1=S3，故命题正确；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴=（）2=，
则S2=2S4正确．故命题错误；
C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．
∵△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴==，即=，
∴=，
则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，
即S2=2S1，故命题正确；
D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，
则S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，
S△ABC=BC•MN=×2y•3z=3yz，
则S1=S3=3yz﹣2yz=yz，
则S1•S3=y2z2，
S2•S4=y2z2，
故S1•S3=S2•S4正确．
故选B．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，高线的比等于相似比，正确表示出S1、S2、S3、S4，是解决本题的关键．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：+40=　　．

考点： 分数指数幂；零指数幂．
分析： 根据分数指数幂的运算法则进行计算．
解答： 解：原式=+1=+1=．
故答案是：．
点评： 本题考查了分数指数幂和零指数幂．任何不等于0的数的0次幂都等于1．

8．使代数式有意义的实数x的取值范围为　　．

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式的被开方数是非负数．
解答： 解：依题意得 2x﹣1≥0，
解得 ．
故答案是：．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

9．如果方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．

考点： 根的判别式．
分析： 由方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△=b2﹣4ac=0，即可得方程9﹣4m=0，解此方程即可求得答案．
解答： 解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m=9﹣4m=0，
解得：m=．
故答案为：．
点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

10．布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个球，那么摸到一红一白两球概率为　　．

考点： 列表法与树状图法．
分析： 列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可求出摸到一红一白两球概率．
解答： 解：画树形图得：

共有4×3=12种可能，所以摸到一红一白两球概率为=．
故答案为：
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

11．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是　a＜﹣3　．

考点： 二次函数的性质．
分析： 根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．
解答： 解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
点评： 考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．

12．已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x=﹣1，由此可知这个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是　（﹣3，3）　．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 先确定点（1，3）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），然后根据抛物线的对称性求解．
解答： 解：点（1，3）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），
所以这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．
故答案为（﹣3，3）．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．

13．如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于　　．

考点： 平行线分线段成比例．
专题： 计算题．
分析： 直接根据平行线分线段成比例进行计算．
解答： 解：∵DE∥AB，
∴====．
故答案为．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

14．已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于　9cm2　．

考点： 三角形的重心．
分析： 首先根据题意画出图形，由三角形重心的性质得出AG：GD=2：1，利用比例的性质结合三角形的面积公式得到S△AGC=S△ABC，然后代入数值计算即可．
解答： 解：如图，∵点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，
∴AG：GD=2：1，
∴S△AGC=2S△CGD，S△AGC=S△ACD，
∵D为BC中点，
∴S△ACD=S△ABC，
∴S△AGC=×S△ABC=S△ABC=×27=9（cm2）．
故答案为：9cm2．

点评： 此题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据题意得出S△AGC=S△ABC是解题的关键．

15．已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设=，=．那么=　﹣　．（用向量、的式子表示）．

考点： *平面向量．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由三角形中线的性质，求得==，再利用三角形法则求解即可求得答案．
解答： 解：如图，∵在△ABC中，AD是边BC上的中线，=，
∴==，
∴=﹣=﹣．
故答案为：﹣．

点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，如果BC=3，CD=2，那么cos∠DCB=　　．

考点： 解直角三角形．
分析： 根据题意画出图形，将cos∠DCB转化为cos∠DBC解答．
解答： 解：如图，
∵∠BCA=90°，BC=3，CD=2，
∴BD=AD=4，
∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴cos∠DCB=cos∠DBC==．
故答案为．

点评： 本题考查了解直角三角形，熟悉直角三角形的性质和三角函数的定义是解题的关键．

17．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=　　米．

考点： 解直角三角形的应用．
分析： 利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．
解答： 解：设OH=x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO=2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，
∴BO=3xm，
则AO+BO=2x+3x=3m，
解得；x=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．

18．把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），将△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为，那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为　（﹣，0）　．

考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 新定义．
分析： 根据题意判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC=30°，根据T﹣变换角为60°，得到经过T﹣变换后点C所对应的点在x轴上，计算得到答案．
解答： 解：∵B（﹣，2），C（0，2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=30°，
绕点A逆时针旋转60°后，B′A⊥y轴，
则点C′在x轴上，
T﹣变换比为，AC=3，
∴AC′=2，
OC′=，
∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣，0）．

点评： 本题考查的是坐标与图形变化，理解新定义和旋转的概念是解题的关键，注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．化简：+，并求当x=时的值．

考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=代入进行计算即可
解答： 解：原式=+
=+
=．
当x=时，
原式===．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

20．解方程组：．

考点： 高次方程．
分析： 将方程②借助因式分解来降次、转化；再次联立方程①，得到两个低次方程组；解方程组即可解决问题．
解答： 解：，
由（2）得（x﹣2y）（y﹣1）=0，x﹣2y=0或y﹣1=0，
原方程可化为．
解两个方程组得：．
点评： 该题主要考查了高次方程的解法问题；解高次方程的一般策略是运用因式分解法，化高次方程为低次方程，然后求解．

21．已知直线x=m（m＞0）与双曲线y=和直线y=﹣x﹣2分别相交于点A、B，且AB=7，求m的值．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 根据题意求得A、B的坐标，然后根据AB=7列出关于m的方程，解方程即可求得m．
解答： 解：∵直线x=m（m＞0）与双曲线y=和直线y=﹣x﹣2分别相交于点A、B，
∴点A、B的坐标分别为（）、（m，﹣m﹣2），
∵AB=7，
∴，
整理得m2﹣5m+6=0，解得m1=2，m2=3．
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，
所以m的值为2或3．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标符合反比例函数的解析式，同时也符合一次函数的解析式．

22．如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 过点B作BF⊥DE于点F，可得四边形ABFE为矩形，先在△BCF中求出CF的长度，然后在△BDF中求出DF的长度，最后DF﹣CF可求得CD的长度．
解答： 解：过点B作BF⊥DE于点F，
则四边形ABFE为矩形，
在△BCF中，
∵∠CBF=40°，∠CFB=90°，BF=AE=24m，
∴=tan40°，
∴CF=0.84×24≈20.16（m），
在△BDF中，
∵∠DBF=45°，
∴DF=24m，
则CD=DF﹣CF=24﹣20.16=3.84≈3.8（m）．
故旗杆CD的长为3.8m．

点评： 本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．

23．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证：=；
（2）如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．

考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；
（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得=，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则==，即可证得=，则所证结论即可得到．
解答： 证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴=，=，
又∵DE=EF，
∴=，
∴=；

（2）∵CF2=FG•FB，
∴=，
又∵∠CFG=∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴=，∠FCE=∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠CBF，
∴∠FCE=∠EFG，
又∵∠FEG=∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴==，
∴=，即CG•CE=BC•DE．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．

24．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
解答： 解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得
，解得．
二次函数的解析式y=x2﹣4x；
（2）y=x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4），
这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，
顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）；
（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，
如图：
作MG⊥PC于G，设G（a，a+m）．
由角平分线上的点到角两边的距离相等，
DM=MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中，

Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG=DC=4，MG=DM=2，
，
化简，得8m=36，
解得m=．
点评： 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质．

25．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

考点： 相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
专题： 综合题．
分析： （1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；
（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABM=∠APB．
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△APB，
∴=，
∴=，
∴y=x﹣．
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5．
∵y＞0，
∴x﹣＞0，
∴x＞2，
∴函数的定义域为2＜x≤5；

（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．
∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，
∴MP=3，AM=1，
∴BM==，BP==2．
∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，
∴MH==，
∴BH==，
∴tan∠EBP==；

（3）①若EB=EC，
则有∠EBC=∠ECB．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，
∴∠AMB=∠DPC．
在△AMB和△DPC中，
，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM=DP，
∴x﹣y=5﹣x，
∴y=2x﹣5，
∴x﹣=2x﹣5，
解得：x1=1，x2=4．
∵2＜x≤5，
∴AP=x=4；
②若CE=CB，
则∠EBC=∠E．
∵AD∥BC，
∴∠EMP=∠EBC=∠E，
∴PE=PM=y，
∴PC=EC﹣EP=5﹣y，
∴在Rt△DPC中，
（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，
∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，
∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，
整理得：3x2﹣10x﹣4=0，
解得：x3=，x4=（舍负）．
∴AP=x=．
终上所述：AP的值为4或．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．

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