模型与建模.doc

第一章 数学模型
一. 模 型
为了一定的目的，人们对原型的一个抽象
例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象
二. 数 学 模 型
用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。
例1：牛顿定律
物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。
D
A
C
B
A
B
C
D
引入变量 x(t)表示在t时刻物体的位置，F表示合外力大小，m表示物体质量。则受力物体满足如下运动规律，数学模型

例2：哥尼斯堡七桥问题
问题：能否从某地出发，
通过每座桥恰好一次，回到原地？
由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。
三. 数学模型的特征
1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。
2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。
3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。

第二章 数学建模举例
数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。
下面给出几个数学建模的例子，重点说明：
如何做出合理的、简化的假设；
如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；
如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。

例 1. 管道包扎
问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：
1. 直圆管，粗细一致。
2. 带子等宽，无弹性。
3. 带宽小于圆管截面周长。
4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.
参量、变量： W ：带宽，C：圆管截面周长，q：倾斜角
（倾斜角）包扎模型
（截口）包扎模型
进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？
设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.
带长模型
问题:
1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?
2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)

例2. 桌子摆放
问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？
建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。
假设：
1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。
2.地面的起伏是连续变化的。
3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。
参数，变量。
1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？
记 xA ， xB、 xC、 xD分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。
则 当xA =xB= xC=xD =0时，桌子的四个脚同时着地。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？
定位：桌子的对称中心O位于平面坐标原点
移动：桌子围绕中心转动。 记q为 AC与X轴的夹角, 则可用q表示桌子移动的位置。q0££. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。
令 f(q)= xA(q ) + xC(q ), g(q)= xB(q )+ xD(q )
如果在位置 q*桌子四脚落地, 则有 f(q*) = g(q*) = 0.
根据假设 2 知 f(q) 和 g(q)是连续函数，
根据假设 3 有 f(q) · g(q)º0， " q.
根据假设1有 f(q1)=g(q0) 和 g(q1)=f(q0), 其中 q1=q0+ 900

模型：
已知f(q) 和 g(q)是连续函数，f(q) · g(q)º0， " q.
若 f(q0) = 0, g(q0) > 0, 则存在q*使得f(q*) = g(q*)=0。
证明：因为 f(q1)=g(q0)>0, g(q1)=f(q0)=0, 其中q1=q0+ 900
令 h(q) = f(q) - g(q), 则 h(q) 连续且 h(q0) < 0, h(q1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在q*, q0£q *£ q1, 使得 h(q*) =0. 又由f(q*) · g(q*)º0，得f(q*) = g(q*)=0。
问题：
1. 将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。
2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。

例 3：交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？
假设
1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。
2. 车距相同，启动延迟时间相等。
3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。
4. 秩序良好，不堵车。
参数，变量： 车长L，车距D，加速度a，启动延迟T， 在时刻 t 第 n 辆车的位置 Sn（t）
用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当Sn(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
模 型
1.停车位模型： Sn（0）=–(n-1)(L+D)
2. 启动时间模型: tn =(n-1)T
3. 行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, t>tn
参 数 估 计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s
解: Sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n£19 且 t19=18<30=t 成立。
答案: 最多19辆车通过路口.
改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。
最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒， 长安街上v*=40公里/小时=11米/秒， 环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒
取最高限速 v*=11m/s， 达到最高限速时间tn*=v* /a +tn =5.5+n-1
限速行驶模型:
Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tn *–tn )2+v*(t-tn*), t>tn*
=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*>t>tn
= Sn(0) tn>t
解：Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n£17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。
结 论: 该路口最多通过17辆汽车.
问题
1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10. 调查的位置，走向，车道数，时间。
调查数据（至少三次）： 绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。
20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。
30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。
2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。

例 4：人员疏散
建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。
假 设
1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。
2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。
3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。
参 数：第 k 间教室人数为 nk+1, 教室距离为 Lk, 门宽为D，行进速度为 v，人体间隔为 d。
如果只有第k间教室有人需要撤离，第 k间教室疏散时间为 Tk
模 型
K=1 情形：T1=(n1d+L1)/v
K=2 情形：
当第二间教室人不需等待时， 即 (L2+D)³(n1+1)d， T12= T2=(n2d+L1+L2+D )/v,
当第二间教室人需要等待时， 即 ( L2 +D)<(n1+1)d, 等待时间 T= (n1+1)d/v- ( L2 +D)/v,
T12= T2 +T=[(n1+ n2+1 )d+L1] /v,
讨 论
模型：T=(nd+L)/v,
分析：v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗.
令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!!
补充 假 设 4. 人体厚度相同w
模型 T=(n(d+w)+L)/v,
分析 若d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？
继续补充假设 5. 速度与间隔有关v=v（d）
模型 T=[n(d+w)+L]/v(d),
其中v=v(d)应满足v(d)是d的单调非减函数，v(0)=0 且 当d充分大时， v=vmax.
结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。
讨论：
1. 给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ，使得疏散的时间最短。
2. 通过实验观测给出函数v(d).
观测数据：间隔d（厘米）—运动速度v（米/秒）
拟合函数
Matlab程序
x=[2.5 50 100 200 500];
y=[1.9 3.4 4.9 5.6 6.1]; %数据点
b0=[2 3]; %参数初值
fun=inline(‘b(1).*x./(b(2)+x)’,’b’,’x’); %拟合函数
[b, r, j]=nlinfit(x,y,’fun’,b0) %非线性拟合函数的系数、残差
nlintool(x,y,’fun’,b0) %拟合曲线图

问题
1. 如果n=400，L=30m，w=0.2m, 求最短的疏散时间。
2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.

例5. 赛程安排
五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。
B 1
C 9 2
D 3 5 7
E 6 8 10 4
A B C D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE

间隔场次数
A B C D E
1 0 4 0 1
2 2 1 0 1
2 2 0 1 1

问题：赛程如何做到公平安排？
如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？

例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。求出售猪的最佳时间使得净收益最大。

假设：
1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。
2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。
3. 猪饲养的花费每天不变。
4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。

变量和参量：
猪的初始重量w0磅，出售时猪的重量w磅，猪的日增重量 g磅，猪的饲养时间 t天，猪的市场价格 p（美元/磅），出售价格（单价）的日减少量 r（美元），每天饲养猪的花费 k（美元）。t 天内饲养猪的花费C（美元），售猪所获得的总收益R（美元），最终获得的净收益P（美元）。

净收益=总收益-总花费总收益 R = p w 总花费 C = k t , 重量 w = w0+g t ,单价p = p0 –rt ,
模型： P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt

参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445
则 P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t
净收益对时间的依赖关系 P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2.

求出售时间使净收益最高。数学问题：求函数的极大值
令 P‘(t)=0 则有 0.8 t - 2×0.05 t = 0 得 t = 8
P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2
结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元

1.模型对参数的灵敏度分析：结果对参数的敏感程度。
结论所依赖的参数： 猪的初始重量w0， 猪的现实价格p0， 猪的饲养花费k，
猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。
1 价格变化率 r 对售猪时间t 的影响:
价格 p(t)=0.65 – r t,
净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t
最大值点 t = (7-500r)/(25r)
r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012
t 15 11.1 8.0 5.5 3.3

增重率 g 对售猪时间 t 的影响.
重量 w(t)=200 + g t
净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t
最大值点 t = 5(13g–49)/(2g)
g 4 4.5 5 5.5 6
t 1.875 5.28 8 10.23 12.08

将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对改变量的形式更自然也更实用。
如果r改变了△r，则的相对改变量为△r/r。且导致t有改变量△t，相对改变量为△t/t
于是相对改变量的比值为 △t / t 比上△r / r

令△r→0，按照导数的定义，我们有
称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。

对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r)
在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5
价格变化率降低1%将导致时间延长3.5%
时间与增重量的关系 t = 5(13g–49)/(2g)
在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06
增重率增加1%将导致出售时间延长3%
2. 模型的稳健性
一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精确，但其结果仍是可信的。虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但是足够近似的，从而可以在实际问题中应用。 因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。
1. 参数 r, g 的变化对净收益 P 的影响
固定r，令g=4.5和5.5，可得出售时间t为5.28和10.23。 分别代入模型
P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t
可得最优净收益为131.2，135.8 只相差2美元
固定g，令g=.009和.011，可得出售时间t为11.1和5.5。 分别代入模型
P(t)=(0.65- rt)(200+5t)-0.45t
可得最优净收益为135.6，131.6 只相差2美元
视净收益值 P 对参数 r, g 的变化是稳健的
2. 假设对模型的影响
关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。
以这些数据（w0=200，w’=5，p0=0.65，p’=0.01）为依据确定何时售出时，要注意到在未来的几周内w’和p’可能不会保持常数，因此也不会是时间的线性函数。
这时，经收益的增长率P‘=w’p+wp’-0.45
其中w’p+wp’代表猪价的增长率。
第二项代表因价格下降而损失的价值。
第一项代表由于猪增重而增加的价值。
模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。
另一方面，只要时间不长，在这段时期内w’和p’ 的变化就不会太大。
由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。
这时，按照前面的数据所得到的8天出售的结果对净收益值P来说也是稳健的。
不难算出，在3天到13天之间出售的净收益的数值都在132美元之上，
与最优的收益只损失了不到2美元。
净收益对天数的依赖关系

在今后的几天内，如果猪的增重量降低10%或者出售价格增加了10%
（出售时间将会提前），
在第8天出售时净收益的损失量也是稳健的，不会超过1美元
结论：我们现在能说的只是至少要等8天再出售。
对较小的 p’（接近0），模型建议我们等较长的时间再出售。
但我们的模型对较长的时间不再有效。
因此，解决这个问题的最好的方法是
将猪再饲养一周的时间，
然后重新估计w0, w’, p0和 p’，再用模型重新计算。
问题1. 在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏度分析。
分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响。
如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60美分，会使猪按7磅/天增重。
那么是否值得改变饲养方式？
求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。
问题 2. 假设猪的价格保持稳定。设 p(t)=0.65-0.01t+0.00004t2.
表示 t 天后猪的价格（美元/磅）。
1. 画图表示 p(t) 及我们原来的价格函数。解释为什么原来的价格函数可以作为 p(t) 在接近零时的近似。
2.求最佳的售猪时间。
3.参数0.00004表示价格的平稳率。对这个参数求其灵敏度。分别考虑最佳的售猪时间和相应的收益。
4. 对 2 中的结果和例题中所得的最优解进行比较。讨论我们关于价格的假设的稳健性。
五. 建模要点
1．明确研究目标，力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索;
2．用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 这是建模成功与否的关键, 体现了建模工作的想象力和创造力;
3．进行正确的推理，在无法进行严格的数学推导时, 可以使用“不严格”的数学, 代之以对问题的分析, 归纳,类比, 猜测, 尝试, 事后检验；
4．尽量使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果。
5．在建模中，数学决不仅仅是工具,要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。数学建模绝不仅仅以应用数学解决一个实际问题为目标，我们更希望揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法。
六. 建模过程流程

学习建模重在参与
1. 要会“翻译”。扩充知识面，既能将实际问题用数学语言表达，又能将数学结论用“常人”能懂得的语言表达。
2. 要会实践。培养洞察力，能一眼抓住问题的关键；培养联想力，触类旁通，能透过某些不同的实际问题的表面看到共同的数学特性；学会在实践中提出问题，搜集资料，组建模型，解决问题。

3.要会思考。应用已学到的数学知识和方法进行数学分析，培养综合，归纳，抽象，化简等数学思维方式。
4. 要会计算，学会使用软件，设计程序，借助计算机解决实际问题。
5. 通过数学建模的学习和实践, 发现数学知识的不足,发现数学思考方法的不足，激励对数学学习和研究的积极性和主动性。