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蚁群算法的数学模型
蚂蚁在运动过程中，运动转移的方向由各条路径上的信息量浓度决定。为方便记录可用来记录第 k 只蚂蚁当前已走过的所有节点，这里可以称存放节点的表为禁忌表；这个存放节点的集合会随着蚂蚁的运动动态的调整。在算法的搜索过程中，蚂蚁会智能地选择下一步所要走的路径。
设 m 表示蚂蚁总数量，用表示节点 i 和节点 j 之间的距离，表示在 t 时刻连线上的信息素浓度。在初始时刻，m只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。在 t 时刻，蚂蚁 k 从节点i转移到节点 j 的状态转移概率为

其中，表示蚂蚁 k 下一步可以选择的所有节点，C 为全部节点集合；为信息启发式因子，在算法中代表轨迹相对重要程度，反映路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的影响程度，该值越大，蚂蚁间的协作性就越强；可称为期望启发式因子，在算法中代表能见度的相对重要性。是启发函数，在算法中表示由节点i 转移到节点 j 的期望程度，通常可取。在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式进行搜索前进。
在蚂蚁运动过程中，为了避免在路上残留过多的信息素而使启发信息被淹没，在每只蚂蚁遍历完成后，要对残留信息进行更新处理。由此，在t+n时刻,路径(i,j)上信息调整如下
(2-2)
(2-3)
在式中，常数 表示信息素挥发因子,表示路径上信息量的损耗程度,的大小关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，则可用代表信息素残留因子,表示一次寻找结束后路径(i,j)的信息素增量。在初始时刻,表示第 k 只蚂蚁在本次遍历结束后路径(i,j)的信息素。
由于信息素更新策略有所不同，学者Dorigo M 研究发现了三种不同的基本蚁群算法模型，分别记为“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型、“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型及“蚁密系统”(Ant-Density)模型，三种模型求解 方式存在不同。
“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型
第k只蚂蚁走过 (2-4)
“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型
第k只蚂蚁在t和t+1之间走过 (2-5)

“蚁密系统”(Ant-Density)模型
第k只蚂蚁在t和t+1之间走过 (2-6)
从上边各公式可以看出三种模型的主要区别是：“蚁量系统”和“蚁密系统”中，信息素是在蚂蚁完成一步后更新的，即采用的是局部信息；而在“蚁周系统”中路径中信息素是在蚂蚁完成一个循环后更新的，即应用的是整体信息。在一系列标准测试问题上运行的实验表明，“蚁周系统”算法的性能优于其他两种算法。因此，对蚂蚁系统的研究正朝着更好地了解“蚁周系统”特征的方向发展。