解直角三角形1A3.doc

第24章解直角三角形单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1.在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=ccosB；⑤a=btanA；⑤a=bcotA，其中正确的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4个
2.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于(     )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），则tan∠OAB的值为（  　）．
A. B. C. D.
4.cos30o=（   ）
A. B. C. D.
5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）
A.30海里 B.30海里  C.60海里 D.30海里
6.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度为（　　）
A. 米 B.米 C.米 D.米
7.周末，小明和小华法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（3≈1.7）（　　）
A、141米 B、101米 C、96米    D、86米
8.如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡顶A处的俯角为15°，山脚处B的俯角为60°，已知该山坡的坡度i=1： 3 ，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点HBC在同一条直线上，且PH⊥BC，则A到BC的距离为（   ）
A.10 米 B.15米 C.20 米 D.30米
9.下列是张悦、王强和赵涵的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了”．王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”赵涵：“火车站在电影院正北方向的200米处．”，则医院与火车站相距（   ）
A、100 米 B、200米 C、300米 D、500米
10.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（   ）
A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米

5题 7题 8题 10题
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA=20cm， =50cm，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是________。
12.如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则cot∠EAB的值为________ 
13.如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了42m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=________ m（结果保留根号）．
14.已知α是锐角且tanα=， 则sinα+cosα=________
15.在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗杆高为________m．
16.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE=________，点D到直线BC的距离等于________．
17.sin260°+cos260°﹣tan45°=________．
18.4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在直线同一上，则AB两点的距离是________米．

11题 12题 13题 16题 18题
三、解答题（共5题；共35分）
19.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．

20.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题.

21.某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）

22.如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．

23. 如图，小敏在测量学校一幢教学楼AB的高度时，她先在点C测得教学楼的顶部A的仰角为30°，然后向教学楼前进12米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73）

四、综合题（共1题；共10分）
24.（2012•盘锦）某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥．如图，是这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯AB、CD和一段平行于地面的平台CB构成．已知∠A=37°，天桥高度DH为5.1米，引桥水平跨度AH为8.3米．
(1)求水平平台BC的长度；
(2)若两段楼梯AB：CD=10：7，求楼梯AB的水平宽度AE的长．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）

答案解析
一、单选题
1、【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则利用锐角三角函数的定义分别代入求解即可．
【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，
则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=．
因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，
故正确的是：②，③，④共3个．
故选：C．

【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
2、【答案】A
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】先根据cosA=得到，再根据正切的定义即可求得结果.
【解答】∵∠C=90°，
∴
∴
故选A.
3、【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】∠OAB为锐角，所以tan∠OAB>0，，，所以tan∠OAB=，
故选择C。
【点评】用正切函数的定义可以直接求出。
4、【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.
，故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
5、【答案】A
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．
在Rt△PAC中，∵PA=60海里，∠PAC=30°，
∴CP=12AP=30海里．
在Rt△PBC中，∵PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=2PC=302海里．
即海轮所在的B处与灯塔P的距离为302海里．
故选：A．

【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，求得CP=12AP=30海里，再解Rt△PBC，得到PB=2PC=302海里．
6、【答案】C
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由于某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，
则目高以上旗杆的高度h1=12×tan30°=4（米），
旗杆的高度h=h1+1.6=1.6+4（米）．
故选C．
【分析】此题可由仰角的正切函数求得目高以上旗杆的高度，再加上目高即得旗杆的高度．
7、【答案】D
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设AG=x米．
在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，
∴FG=AG=x米，
同理在Rt△AEG中，∵∠AGE=90°，∠AEG=30°，
∴EG=3AG=3x米．
∵EF=EG﹣FG，
∴3x﹣x=70，
解可得：x=35（3+1）≈94.5；
故AB=AG+BG≈94.5+1≈96．
答：塔AB的高大约为96米．
故选D．

【分析】首先设AG=x米．本题涉及到两个直角三角形△AGF、△AGE，应利用其公共边AG构造等量关系，借助EF=CD=EG﹣FG=70米，构造方程关系式，进而可求出答案．
8、【答案】A
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图作AM⊥BC于M，设AM=x．
∵tan∠ABM= 33 ，
∴∠ABM=30°，
∴AB=2AM=2x，
∵∠HPB=30°，
∴∠PBH=90°﹣∠HPB=60°，
∴∠ABP=180°﹣∠PBH﹣∠ABM=90°，
∴∠BPA=∠BAP=45°，
∴AB=BP=2x，
在Rt△PBH中，∵sin∠PBH= PHPB ，
∴ 32 = 302x ，
∴x=10 3 ．
故选：A．
【分析】作AM⊥BC于M，设AM=x，先证明PB=AB=2x，在RT△PBH中利用sin∠PBH= PHPB 解决问题．
9、【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】【解答】解：作DE⊥BE于点E，如右图所示， ∵OA=500米，AB=100米，OC=300米，CD=200米，
∴DE=300米，BE=400米，
∴BD= 米，
故选D．

【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据勾股定理可以求得BD的长，从而可以解答本题．
10、【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ = 即 = ，
∴楼高=10米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
二、填空题
11、【答案】4：25
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵三角尺与其影子相似，
∴这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是 ，
故答案为：4：25．
【分析】由题意知三角尺与其影子相似，它们的面积比就等于相似比的平方计算即可．此题考查相似三角形的应用，注意相似三角形的面积比就等于相似比的平方．
12、【答案】43
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为1，⊙E的半径为x，即⊙A的半径为1，
结合题意，在Rt△ABE中，AB=1，AE=1+x，BE=1﹣x；
故有（1+x）2=（1﹣x）2+1；
解得，
x=14 ，
即BE=34 ，
所以cot∠EAB=43 ．
故答案为：43 ．
【分析】结合题意，主要利用勾股定理在正方形中的应用，设正方形的边长为1，⊙E的半径为x，分别表示出Rt△ABE的三边，列出方程，求解即可得出⊙E的半径为，从而得出cot∠EAB的值．
13、【答案】　（4+ 433）　
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作y轴的垂线，垂足为点C．
在Rt△ABC中，∵AB=42 ， ∠BAC=45°，
∴AC=BC=4．
在Rt△OBC中，∵∠OBC=30°，
∴OC=BC•tan30°=433 ，
∴AO=AC+CO=4+433 ．
故答案为（4+433）．

【分析】过点B作y轴的垂线，垂足为点C．由方向角的定义可知∠BAC=45°，解Rt△ABC得出AC=BC=4；由方向角的定义知∠OBC=30°，解Rt△OBC得到OC=433 ， 所以OA=AC+CO=4+433 ．
14、【答案】
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由tanα= 知，如果设a=3x，则b=4x，
结合a2+b2=c2得c=5x．
所以sinα= ，
sinα+cosα= ．
故答案为．
【分析】根据tanα=， 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出斜边长的表达式，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinα与cosα的值，进而求解即可．
15、【答案】10
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为xm，则
160：80=x：5，
解得：x=10．
故答案是：10．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
16、【答案】11；11
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，BD为其对角线，
∴∠EBD=30°，
∵∠BED=90°，BD=22，
∴DE=11，
同理：D到直线BC的距离为11．
故答案为：11，11．

【分析】根据菱形的对角线平分第组对角可得∠EBD=30°，再根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半即可求得DE的长，同理可求得D到直线BC的距离．
17、【答案】0
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=（ ）2+（ 12 ）2﹣1=0．
故答案为：0．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
18、【答案】200 3 +200
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA= CDAD ，
∴AD= 20033 =200 3 ，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD+DB=200 3 +200，
故答案为：200 3 +200．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
三、解答题
19、【答案】解：在△ABC与△AMN中，
ACAB=3045=59，AMAN=10001800=59，∴ACAB=AMAN，又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴BCMN=ACMN，即45MN=301000，
解得：MN=1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．
20、【答案】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
AC= BCtanA =2 3 ，
则EF=AC=2 3 ，
∵∠E=45°，
∴FC=EF•sinE= 6 ，
∴AF=AC﹣FC=2 3 ﹣ 6
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21、【答案】解：在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米，
∴AD=CDtan∠ACD=1000 3 米，
在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴BD=CDtan∠BCD=3000 3 米，
∴AB=BD﹣AD=2000 3 米．
答：此时渔政船和渔船相距2000 3 米．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离．
22、【答案】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，

在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF= DFBD = 12 ，cos∠DBF= BFBD = 32 ，
∵BD=6，
∴DF=3，BF=3 3 ，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=3 3 ，CF=BE=CD﹣DF=1，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3 3 ，
∴AB=3 3 +1．
答：铁塔AB的高为（3 3 +1）m．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
23、【答案】 解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB．
又在Rt△ABC中，
∵tan30°= = ，
∴ = ，即BC= AB．
∵BC=CD+BD，
∴ AB=CD+AB，
即（ ﹣1）AB=12，
∴AB=6（ +1）≈16.4．
答：教学楼的高度约为16.4米．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BC﹣BD=12，构造方程关系式，进而即可求出答案．
四、综合题
24、【答案】（1）解：延长DC交AH于F，
根据题意得，四边形BCFA为平行四边形，
故BC=AF，BA=CF，
∵BA∥CF，
∴∠HFC=∠A=37°，
在RT△DHF中，DH=5.1，
∴HF= 5.134 ═6.8（m），
∴BC=AH﹣HF=1.5（m）
（2）解：如图

作CG⊥AH于G，得CG=BE，
∵CG∥DH，
∴△FCG∽△FDH，
∴ FCFD=CGDH ，
∵AB：CD=10：7，
∴ 1017=CG5.1 ，
∴CG=3，
∴AE= BEtan∠A =4米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）延长DC交AH于F，根据题意得，四边形BCFA为平行四边形，在RT△DHF中，求出HF，则可得出BC的长度．（2）先判断出△FCG∽△FDH，然后根据AB：CD=10：7，可得出 1017 = CG5.1 ，继而可解出CG的长度，也可得出AE的长．