方程（组）与不等式（组）第7讲一元二次方程.doc

第7讲 一元二次方程及其应用
考点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程的概念
只含有① 个未知数，且未知数的最高次数是② 的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).
一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想是③ ，主要方法有：直接开平方法、④ 法、公式法、⑤ 法等.

考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
根的判别式的定义
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为⑥ .
判别式与根的关系
(1)b2-4ac＞0一元二次方程⑦ 的实数根；
(2)b2-4ac=0一元二次方程⑧ 的实数根；
(3)b2-4ac＜0一元二次方程⑨ 实数根.
根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1+x2=-,x1·x2=.

考点3 一元二次方程的应用
正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
基础过关
命题点1 一元二次方程的解法
1.一元二次方程x2+px-2＝0的一个根为2，则p的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
2.一元二次方程x2-x-2=0的解是( )
A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2
3.一元二次方程x2-3x=0的根是 .
4.解方程：x2+3x-2＝0. 5. x2+4x-1=0.

方法归纳：解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.
命题点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
1一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是( )
A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≤1
2.已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2等于( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
3.若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数.则k＝ .
4.设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则+的值为
方法归纳：利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根.

命题点3 一元二次方程的应用
1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6
C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6
2.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为________
3.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

4.如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？

5.将进货单价40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知 这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，请问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

方法归纳：列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义.
能力提升
1.方程x2-(m+6)x+m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1+x2＝x1x2，则m的值是( )
A.-2或3 B.3 C.-2 D.-3或2

2.已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根，求k的值

3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

4.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

过关检测
1.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k＜-2 B.k＜2 C.k＞2 D.k＜2且k≠1
4.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A.144(1-x)2=100 B. 100(1-x)2=144
C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144
5.方程x2-3x+2=0的根是 .
6.一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= .
7.方程x2+2kx+k2-2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为 .
8.一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m.
9.解方程：
(1)3x(x-2)=2(2-x)；

(2)解方程：x2-5x-6=0.

10.学校去年年底的绿化面积为5 000平方米，预计明年年底增加到7 200平方米，求这两年的平均增长率.