高中数学成才之路必修3模块综合素能拔高检测.doc

模块综合素能拔高检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层不等可能抽样
C．所有层用同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽同样多个体，每层都是等可能抽样
[答案]　C
[解析]　由分层抽样的定义可知，选C.
2．下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定性，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个　　 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　C
[解析]　不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概型中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；
抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；
任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误；又①正确．∴选C.
3．如图是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是(　　)

A．i<10 B．i>10
C．i<20 D．i>20
[答案]　B
[解析]　最后一次执行循环体时i的值为10，又条件不满足时执行循环体，∴i＝11>10时跳出循环．
4．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为(　　)

[答案]　C

5．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下面说法正确的是(　　)
A．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为，③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
[答案]　A
[解析]　由于随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是：每个个体被抽到的概率都相等，所以无论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是.
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1当x＝3的值时，先算的是(　　)
A．3×3＝9
B．0.5×35＝121.5
C．0.5×3＋4＝5.5
D．(0.5×3＋4)×3＝16.5
[答案]　C
[解析]　按递推方法，从里到外先算0.5x＋4的值．
7．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为(　　)
A.　 　 B.　 　
C.　 　 D.
[答案]　D
[解析]　设2个人分别在x层，y层离开，则记为(x，y)基本事件构成集合Ω＝{(2,2)，(2,3)，(2,4)…(2,10)
(3,2)，(3,3)，(3,4)…(3,10)
⋮
(10,2)，(10,3)，(10,4)…(10,10)}，
所以除了(2,2)，(3,3)，(4,4)，…，(10,10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P＝＝.
解法2：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为，故不在这一层离开的概率为.
8．下列程序计算的数学式是(　　)

[答案]　C
[解析]　本题是一个递推累加问题，由T＝T*i经过循环依次得到1！，2！，3！，…，n！，由s＝s＋1/T实现累加．故选C.

[答案]　C

10．下面一段程序的目的是(　　)

[答案]　B
[解析]　程序中，当m≠n时总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．
11．在所有两位数(10～99)中任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[答案]　C

12．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y＝xα　x∈[0，＋∞)是增函数的概率为(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　当x依次取值－3，－2，－1,0,1,2,3时，对应的y的值依次为：3,0，－1,0,3,8,15，
∴集合A＝{－1,0,3,8,15}，
∵α∈A，∴使y＝xα在x∈[0，＋∞)上为增函数的α的值为3,8,15，故所求概率P＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．
[答案]　
[解析]　设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－1＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2<3，∴－<k<，
又当弦长|AB|≥2时，
∵圆半径r＝，∴圆心到直线的距离d≤，
即≤，∴k2≤1，∴－1≤k≤1.
由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率P(M)＝＝.
14．把七进制数305(7)化为五进制数，则305(7)＝______(5)．
[答案]　1102
[解析]　∵305(7)＝3×72＋5＝152，
又152＝30×5＋2,30＝6×5＋0,6＝1×5＋1,1＝0×5＋1，∴152＝1102(5)，即305(7)＝1102(5)．
15．若以连续掷两次骰子得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16外的概率是________．
[答案]　
[解析]　基本事件组成集合Ω＝{(m，n)|1≤m≤6,1≤n≤6，m，n∈N}中共36个元素．
事件A＝“点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16外”的对立事件中含有基本事件(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，
∴P(A)＝1－＝.
16．在半径为1的圆周上有一定点A，以A为端点任作一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为________．
[答案]　
[解析]　如图，作半径为1的圆的内接正六边形ABCDEF，则其边长为AB＝AF＝1，当另一端点落在上时，弦长小于1，当另一端点落在上时，弦长大于1，由几何概型定义可知，概率P＝.

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(08·广东文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
[解析]　(1)∵＝0.19，∴x＝380.
(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为(y，z)，
由(2)知y＋z＝500，且y、z∈N，
基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11个，
事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个，
∴P(A)＝.
18．(本题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
[分析]　对于(1)可利用各组的频率和等于1，从而可求第四小组的频率；而(2)则是利用组中值求平均分；(3)利用古典概型的概率公式可求其概率．
[解析]　(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.03.
其频率分布直方图如图所示．

(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
所以，估计这次考试的合格率是75%.
利用组中值估算这次考试的平均分，可得：
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的平均分是71分．
(3)[40,50)与[90.100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人，将[40,50]分数段的6人编号为A1，A2，…A6，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B2，B3)}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A2，A3)…(A5，A6)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共18个，故概率P＝＝.
19．(本题满分12分)有人提出如下的圆周率的近似算法：在右图的单位正方形内均匀地取n个点Pi(xi，yi)(i∈{1,2，…，n})，然后统计出以xi、yi、1为边长的三角形中锐角三角形的个数m，则当n充分大时，π≈，试分析这种算法是否正确．

[解析]　根据题中提出的算法， 有0<xi<1,0<yi<1，所以以xi，yi,1为边长的三角形中，长为1的边所对的角A为最大角，当且仅当0°<A<90°时，以xi，yi,1为边长的三角形为锐角三角形，x＋y>1，此时点P在以O为圆心，1为半径的圆的外部，即图中阴影部分．所以在图中的单位正方形内任意取一点Pi，满足以xi，yi,1为边长的三角形为锐角三角形的概率为P＝阴影部分的面积/单位正方形的面积＝1－，当n充分大时，≈P＝1－，
∴π≈4＝，所以题中给出的圆周率的近似算法是正确的．
20．(本题满分12分)编写程序求1～1000的所有不能被3整除的整数之和．
[解析]　S＝0
i＝1
WHILE　i<＝1000
r＝i MOD 3
IF　r<>0　THEN
S＝S＋i
END IF
i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
21．(本题满分12分)一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，求关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率．
[解析]　基本事件共36个，
∵方程有实根，∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，
又∵m，n∈N，∴m＋n≥4，
其对立事件是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，
∴所求概率为P＝1－＝.
22．(本题满分14分)某化工厂的原料中含有两种有效成份A和B.测得原料中A和B的含量如下表所示：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi：A(%)
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
yi：B(%)
67
54
72
64
39
22
58
43
46
34
用x表示A的含量，用y表示B的含量．计算结果保留4位小数．
(1)作出散点图；
(2)求出回归直线方程：＝ax＋b；
(3)计算回归直线＝ax＋b对应的Q＝yi－(axi＋b)]2，并和另一条直线＝a′x＋b′(a′＝2a，b′＝2b)对应的Q′＝yi－(a′xi＋b′)]2比较大小．
(可使用计算器)
[解析]　(1)散点图见下图

(2)把数据代入公式，计算可知，＝17.4，＝49.9，
＝3182，iyi＝9228，
b＝＝≈3.5324，
a＝－b≈－11.5635，
回归线方程为＝3.5324x－11.5635.
(3)经计算：Q＝yi－(axi＋b)]2＝353.8593，
Q′＝yi－(2axi＋2b)]2＝27175.6120，
∴Q<Q′.