阻尼动力吸振器的吸振机理及其试验验证.pdf

第4 6卷第4期武汉科技大学学报V o l.4 6,N o.42 0 2 3年8月J o u r n a l o fW u h a nU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yA u g.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 2-1 0-1 9 基金项目:国家自然科学基金面上项目(5 2 0 7 5 2 9 2);2 0 2 2年三峡大学研究生教学改革研究培育项目(S D Y J 2 0 2 2 0 3).作者简介:田红亮(1 9 7 3-),男,三峡大学教授,博士生导师.E-m a i l:t h l 1 9 7 3 2 0 0 3a l i y u n.c o m 通讯作者:杨蔚华(1 9 7 5-),女,三峡大学副教授,博士.E-m a i l:y w h u a c t g u 1 2 6.c o mD O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 6 7 4-3 6 4 4.2 0 2 3.0 4.0 0 7阻尼动力吸振器的吸振机理及其试验验证田红亮1,田戚可人2,杨蔚华1,方子帆1,董元发1(1.三峡大学机械与动力学院,湖北 宜昌,4 4 3 0 0 2;2.三峡大学电气与新能源学院,湖北 宜昌,4 4 3 0 0 2)摘要:采用矩阵复指数算法推导正弦激励力作用下二自由度系统主质量位移振幅的解析解,对所有幅频特性曲线都交于2个固定点进行了严格证明,并通过MA T L A B数值仿真和悬臂梁振动试验进行解析解的验证。结果表明:当阻尼比等于零时,主系统幅频特性曲线有2个开口向上峰,当阻尼比趋近于无穷大时,主系统幅频特性曲线只有1个开口向上峰;2个固定点均具有极大值但非最大值;数值仿真与悬臂梁的振动试验结果非常接近,相对误差为-3.8 6 4%5.7 2 9%,验证了所推导的一系列解析解的正确性。关键词:阻尼动力吸振器;二自由度系统;矩阵复指数算法;位移振幅;幅频特性曲线中图分类号:TH 1 1 3.1 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 4-3 6 4 4(2 0 2 3)0 4-0 2 8 9-0 7 振动广泛存在于人们的日常生活和生产中,工程设计人员应用振动原理制造了许多机械设备,如振动筛、振动沉桩机等。同时,振动也带来了负面影响,不仅导致机械设备的疲劳损坏和工作寿命缩短,还会造成严重的噪声污染。某些机械设备的工作速度在一个比较大的范围内变动,需要安装吸振器来消除振动。阻尼动力吸振器因结构简单、抑振频带宽、吸振效果稳定等优点而得到众多研究者的关注。S h i等1通过特征方程求解出阻尼动力吸振器的弹簧刚度,但得出的刚度值是一个复数,不尽合理。王卫峰等2针对某一特定频率下的振动问题,优化了阻尼动力吸振器的参数。L i u等3研究了附带一个可变刚度动力吸振器的阻尼钻孔杆的稳态位移振幅。L e i等4采用H2优化方法,推导出颗粒阻尼动力吸振器的最优、最小和最大阻尼比。王金朝等5给出颗粒阻尼动力吸振器的主质量位移动力放大系数的解析式。程耀东等6给出阻尼动力吸振器的主系统位移振幅的无量纲表达式。周子博等7提出了一种含放大机构的三要素型动力吸振器模型,利用公式F0s i n t=F0ej t研究基于H优化准则的系统参数最优解析解,然而此公式与欧拉公式s i n t=(ej t-e-j t)/(2 j)或ej t=c o s t+j s i n t都矛盾。目前涉及阻尼动力吸振器的文献以材料性能、结构和试验研究方面的居多,这些研究重点关注的是吸振器的安装位置、质量分布、参数以及降噪效果等,而忽视了从吸振机理出发建立其振动本构关系。例如:没有建立主系统位移振幅与多个参数间的准确解析表达式,这就极大影响了人们对阻尼动力吸振器吸振机理的完整认识和掌控,严重制约了阻尼动力吸振器在工程中的广泛应用;只考虑了阻尼比=0和=+时主系统的幅频特性曲线都通过2个固定点,对于阻尼比为其他值的情况,没有证明主系统幅频特性曲线也都通过这2个固定点,同时,现有文献认为是阻尼动力吸振器的阻尼比,事实上既不是阻尼动力吸振器的阻尼比,也不代表任何对象的阻尼比;没有给出的精确数学表达式。针对以上问题,本文采用矩阵复指数算法,求解在正弦激励力作用下二自由度系统主质量位移振幅的解析解,对所有幅频特性曲线都交于2个固定点进行证明,然后令这2个固定点的纵坐标相等且为极大值点,以获得阻尼比的解析解,并进行二自由度系统的振动试验研究,来验证本文所推导出的一系列解析解的正确性。1 阻尼动力吸振器的吸振机理如图1所示,主系统由质量m1和弹簧k1组成,质量m1受正弦激励力Fs i n t。为了在相当武汉科技大学学报2 0 2 3年第4期宽的工作速度范围内使主系统的振动减小到所要求的幅度,设计了由质量m2、弹簧k2和黏滞阻尼器c组成的动力吸振系统。图1 附带质量-弹簧-阻尼动力吸振器的质量-弹簧主系统F i g.1 M a s s-s p r i n g m a i ns y s t e m w i t h m a s s-s p r i n g-d a m p e rd y n a m i cv i b r a t i o na b s o r b e r 主系统和阻尼动力吸振器组成了一个二自由度系统,其运动微分方程为m100m2x 1x 2 +c-c-ccx1x2+k1+k2-k2-k2k2x1x2=F0s i n t(1)式中:x1为质量m1的位移,x2为质量m2的位移。将式(1)看作以下矩阵复变指数函数微分方程的虚部:m100m2z 1z 2 +c-c-ccz1z2+k1+k2-k2-k2k2z1z2=F0ej t(2)故x1=I mz1,x2=I mz2。设方程式(2)的一个特解为z1=z1ej t,z2=z2ej t(3)将式(3)代入式(2):z1=F(k2-m22+jc)(k1-m12)(k2-m22)-m2k22+jc(k1-m12-m22)=|z1|e-j(4)故z1=|z1|e-jej t=|z1|ej(t-),x1=|z1|s i n(t-)。质量m1的稳态响应的位移振幅A满足A=z1=F(k2-m22)2+c22(k1-m12)(k2-m22)-m2k222+c22(k1-m12-m22)2(5)A2=Fk12m1k2m2k1-m12k12+4m1c24m22k1m12k11-m12k1m1k2m2k1-m12k1-m2m1m1k2m2k1m12k12+4m1c24m22k1m12k11-m12k1-m2m1m12k12(6)则质量m1的位移振幅的放大因子为M=(2-r2)2+42r2(1-r2)(2-r2)-2r22+42r2(1-r2-r2)2(7)式中:=m2m1为阻尼动力吸振器质量与主系统质量的比;=21=m1k2m2k1为阻尼动力吸振器固有频率与主系统固有频率的比,其中2=k2m2,1=k1m1;=c2m21=c2m2m1k1为阻尼比;r=1=m1k1为激励频率与主系统固有频率的比。4个量纲为1的变量、r两两相互独立。由式(7)得42r2(1-r2-r2)2M2-1=(2-r2)2-(1-r2)(2-r2)-2r22M2(8)当具备式(9)条件时,对于任意给定的,式(8)恒成立。(1-r2)(2-r2)-2r22M2=(2-r2)2(1-r2-r2)2M2=1(9)由式(9)得(1-r2)(2-r2)-2r22(1-r2-r2)2=(2-r2)2(1 0)式(1 0)成立的第一种情形为(1-r2)(2-r2)-2r21-r2-r2=2-r2(1 1)由式(1 1)得(r2-1)(r2-2)-2r2=(r2+r2-1)(r2-2)(1 2)将式(1 2)移项后合并同类项,得-2r2=r2(r2-2)=r4-r22(1 3)因此有r4=0(1 4)0922 0 2 3年第4期田红亮,等:阻尼动力吸振器的吸振机理及其试验验证由式(1 4)得r=0,这是平凡解,故舍去式(1 1)。式(1 0)成立的第二种情形为(1-r2)(2-r2)-2r21-r2-r2=-(2-r2)(1 5)由式(1 5)得(2+)r4-2(1+2+2)r2+22=0(1 6)式(1 6)的2个不相等的正实数根分别为rS=1+2+2-(1-2)2+(2+)42+(1 7)rT=1+2+2+(1-2)2+(2+)42+(1 8)采用MAT L A BR 2 0 0 9 b软件进行数值仿真,以=0.0 5、=1为例,此时主系统的幅频特性曲线如图2所示。可以看到,所有稳态响应的幅频特性曲线都交于点S和点T,表明这2个点所对应的频率比r值和质量m1的稳态响应振幅与阻尼动力吸振器的黏滞阻尼c无关。另外,当=0时,幅频特性曲线有2个开口峰;当=+时,幅频特性曲线只有1个开口峰,且r=1时,纵坐标M=2 0,不同于文献8 中图3.2 1的纵坐标等于1 0。图2 主系统的幅频特性曲线(=0.0 5,=1)F i g.2A m p l i t u d e-f r e q u e n c yc u r v e so f t h em a i ns y s t e m(=0.0 5,=1)下面分两种情况讨论二自由度系统主质量位移振幅的解析解。1)2个固定点的纵坐标相等由式(9)的第二式得M=11-r2-r2(1 9)根据式(1 6)可设以下函数:f(r)=(2+)r4-2(1+2+2)r2+22(2 0)由式(2 0)得f(0)=220,f(rS)=f(rT)=0(2 1)f11+=-(1+)20(2 2)由抛物线开口向上的性质得0rS11+rT(2 3)由式(1 9)和式(2 3)得M(rS)=11-r2S-r2S(2 4)M(rT)=1r2T+r2T-1(2 5)对于工程问题,不要求主系统的位移振幅一定等于0,只要其小于允许的数值就可以,因此,为使主系统在相当宽的频率范围内工作,阻尼动力吸振器的设计参数可满足M(rS)=M(rT)(2 6)由式(2 4)(2 6)得r2S+r2T=21+(2 7)由式(1 7)和式(1 8)得r2S+r2T=2(1+2+2)2+(2 8)联立式(2 7)和式(2 8)得=11+(2 9)将式(2 9)分别代入式(1 7)和式(1 8):rS=11+1-2+(3 0)rT=11+1+2+(3 1)将式(3 0)代入式(2 4),将式(3 1)代入式(2 5),得M(rS)=M(rT)=2+(3 2)2)2个固定点的纵坐标相等且为极大值点 放大因子M的极大值点r满足dMdr=0(3 3)根据式(3 3)和复合函数求导法则有dM2dr=2MdMdr=0(3 4)由式(7)可见,M2的表达式比M的表达式(含二次根式)简单,故可用式(3 4)代替式(3 3),以大大简化计算量。由式(7)得192武汉科技大学学报2 0 2 3年第4期M2=(r2-2)2+42r2(r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2(3 5)可 以 设M2=u(r)v(r),则dM2dr=u(r)v(r)-u(r)v(r)v2(r),结 合 式(3 4)dM2dr=0,有dM2dr=u(r)v(r)-u(r)v(r)v2(r)=0u(r)v(r)=u(r)v(r),即(r2-2)2+42r2 (r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2=(r2-2)2+42r2(r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2(3 6)根据式(3 5)和式(3 6),有(r2-2)2+42r2 (r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2=M2(3 7)式(3 7)左边2个对激励频率比r的一阶导数分别为(r2-2)2+42r2=4r(r2-2+22)(3 8)(r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2=4r(r2-1)(r2-2)-2r2(2r2-2-2-1)+82r(r2+r2-1)(3r2+3r2-1)(3 9)由式(1 5)得(r2-1)(r2-2)-2r2=-(r2-2)(r2+r2-1)(4 0)将式(4 0)代入式(3 9):(r2-1)(r2-2)-2r22+42r2(r2+r2-1)2=4r(r2+r2-1)22(3r2+3r2-1)-(r2-2)(2r2-2-2-1)(4 1)将式(1 9)、式(3 8)和式(4 1)代入式(3 7)后化简得(r2-2+22)(r2+r2-1)=22(3r2+3r2-1)-(r2-2)(2r2-2-2-1)(4 2)式(4 2)进一步简化为42(r2+r2)=(r2-2)(3r2+r2-2-2-2)(4 3)将式(2 9)代入式(4 3):42(1+)r2=r2-1(1+)2(3+)r2-3+21+(4 4)将式(3 0)代入式(4 4),得极大值点S对应的阻尼比S=8(1+)33-2+(4 5)将式(3 1)代入式(4 4),得极大值点T对应的阻尼比T=8(1+)33+2+(4 6)由式(4 5)和式(4 6)得=2S+2T2=38(1+)3(4 7)式(4 7)不 同 于 文 献 6中 式(3.5-1 5):=38(1+)。当=0.2 5且在点S和点T处分别具有水平切线时,主系统的幅频特性曲线如图3所示。由图3(a)可见,点S处具有水平切线,该点对应的极大值M=3,略小于最大值3.0 5 1,而文献6认为点S具有某个响应曲线的最大值,是不合理的。由图3(b)可见,点T处具有水平切线,该点对应的极大值M=3,略小于最大值3.0 3,而文献6 认为点T具有某个响应曲线的最大值,也是不合理的。上述两个极大值皆略小于最大值。由图3(c)可见,对于=S和=T对应的这两条幅频特性曲线,在相当宽的频率范围内主系统振幅小于允许值,达到了系统减振的目的。(a)=S=0.2 0 6 6,点S具有极大值而非最大值2922 0 2 3年第4期田红亮,等:阻尼动力吸振器的吸振机理及其试验验证(b)=T=0.2 3 0 9,点T具有极大值而非最大值(c)4种阻尼比对应的幅频特性曲线图3 主系统的幅频特性曲线(=0.2 5且在点S和点T处分别具有水平切线)F i g.3A m p l i t u d e-f r e q u e n c yc u r v e so f t h em a i ns y s t e mw h e n=0.2 5a n d t h e r e a r eh o r i z o n t a l t a n g e n t s a t p o i n t sSa n dTr e s p e c t i v e l y2 几个解析解的证明2.1 幅频特性曲线通过2个固定点由式(9)第一式和第二式可得 M2=(2-r2)2(1-r2)(2-r2)-2r22=1(1-r2-r2)2(4 8)式(4 8)等号右边2项皆与无关,即当满足式(9)条件时,主系统的幅频特性曲线通过2个固定点。2.2=+时的幅频特性曲线无水平切线当=+时,由式(4 8)得 M=11-r2-r2=11-r2-r2,r11+(4 9)M关于激励频率比r的一阶导数为dMdr=2(1+)r(r2+r2-1)2,r11+(5 0)当dMdr=0时,r=0,位于图3(c)中=+对应的幅频特性曲线最左边的起始点,属于平凡解,此外,曲线再无水平切线。由于r=m1k1,故激励频率=0,由式(1)可知此时主系统不受激励力,不予考虑。式(4 9)可变形为M=11-(m1+m2)2k1n=k1m1+m2(5 1)式中:n为系统的固有频率。由式(5 1)可见,若阻尼为无穷大,质量m1与m2之间无相对运动,就得到了一个由质量m1+m2和弹簧k1组成的单自由度系统。在r的表达式中,用n代替,则得rn=n1=11+n=k1m1+m2(5 2)式(5 2)与式(5 1)相同。r=rn为函数M的无穷间断点。2.3=0时的幅频特性曲线无水平切线当=0时,根据式(4 8),不妨假设M的一个解为M=r2-2(r2-1)(r2-2)-2r2(5 3)令式(5 3)的分母等于0,此时图1所示的二自由度系统关于频率比r的特征频率方程为r4-(1+2+2)r2+2=0(5 4)二自由度系统的2个不相等固有频率n 1、n 2满足rn 1=n 1/1=1+2+2-(1-2)2+(2+)4+222(5 5)rn 2=n 2/1=1+2+2+(1-2)2+(2+)4+222(5 6)r=rn 1和r=rn 2为函数M的2个无穷间断点。根据式(5 3)和式(3 3),有r2-2(r2-1)(r2-2)-2r2=(r2-2)(r2-1)(r2-2)-2r2(5 7)式(5 7)简化为392武汉科技大学学报2 0 2 3年第4期(r2-2)(2r2-2-2-1)=(r2-1)(r2-2)-2r2(5 8)式(5 8)进一步简化为(r2-2)2+4=0(5 9)由于=m2m10,=m1k2m2k10,故关于r的方程式(5 9)无实数解,从而式(5 3)不满足式(3 3),故幅频特性曲线无水平切线。将式(4 0)代入式(5 8)得(r2-2)(3r2+r2-2-2-2)=0(6 0)式(6 0)是式(4 3)当=0时的特例。2.4 0+时的幅频特性曲线没有无穷间断点令式(7)等号右边项的分母为0,即(1-r2)(2-r2)-2r22+42r2(1-r2-r2)2=0(6 1)可得(1-r2)(2-r2)-2r2=0(6 2)1-r2-r2=0r2=11+(6 3)将式(6 3)代入式(6 2):(1-r2)(2-r2)-2r2=-(1+)20(6 4)由式(6 4)知,式(6 2)不成立,进而式(6 3)亦不成立,故关于r的方程式(6 1)无实数解,所以在0+的条件下,式(7)没有无穷间断点。2.5 阻尼比的定义式由式(7)和式(5)得2r2-r2=c k2-m22(6 5)由式(7)下面和r的定义式得2-r2=m1(k2-m22)m2k1(6 6)将式(6 6)代入式(6 5)得阻尼比的定义式:=m1c 12m2k1=c2m21=c2m2m1k1(6 7)式(6 7)不同于文献9 中的定义式=c2k2m2。3 试验验证二自由度系统振动试验方案如图4所示。振动试验装置主要包括以下几个部分:质量-弹簧主系统、质量-弹簧-阻尼动力吸振器、正弦激励装置、比利时LM S公司T e s t.L a b9 B型振动测试和分析系统、S C A D A S型移动获取装置等。用夹具将偏心电机安装在轻质悬臂梁的中部。偏 心电机的电源线连接T e s t.L a b9 B中调压器的功率输出端,在阻尼动力吸振器上构筑调节螺母,在轻质悬臂梁的中部螺孔中安装阻尼动力吸振器并拧紧螺母。图4 二自由度系统振动试验方案F i g.4V i b r a t i o nt e s t s c h e m eo f 2-D O Fs y s t e m 试验步骤如下:采用工作频率05 0H z的随机激励,通过调节激励信号的电压(U=0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1、2、3、4、5V)达到改变振动加速度的目的;用力锤垂直击打轻质悬臂梁,每次有效捶打次数至少3次;由阻抗头测得力信号和加速度信号,计算频率响应函数曲线。二自由度系统振动测试结果如图5所示。由图5(a)可见,系统第1、3、4阶模态的阻尼比分布(a)阻尼比的试验测量值(b)幅频特性曲线的实测结果和理论结果图5 二自由度系统的振动试验结果F i g.5V i b r a t i o nt e s t r e s u l t so f 2-D O Fs y s t e m4922 0 2 3年第4期田红亮,等:阻尼动力吸振器的吸振机理及其试验验证均相对集中。大体上,高阶模态的阻尼比相对较大,因此其振动响应分量能够快速衰减。由图5(b)可见,阻尼动力吸振器对主系统的减振效果显著,并且安装吸振器后系统的位移振幅理论值与通过试验得到的位移振幅非常接近,相对误差为-3.8 6 4%5.7 2 9%。阻尼动力吸振器与轻质悬臂梁发生非弹性碰撞,轻质悬臂梁振动的幅度显著降低,振动业已转移至附带的阻尼动力吸振器上,阻尼动力吸振器不断从主系统中吸收、消耗和扩散振动能量,最终达到抑制主系统振动响应的目的。4 结语本文求解了正弦激励力作用下二自由度系统主质量位移振幅的解析解,并运用固定点方法对所有幅频特性曲线都交于2个固定点进行了严格证明。理论计算值与试验结果很接近,表明本文所推导出的一系列解析解有一定的普适性。正弦激励力作用下二自由度系统主质量位移振幅解析解的构建有助于推导主系统有阻尼的动力吸振器最优参数的一般解,还有助于探索提高动力吸振器快速耗能性能和抑振效果的途径。参考文献1 S h iX,P o l y c a r p o uAA.M e a s u r e m e n t a n dm o d e l i n go fn o r m a lc o n t a c ts t i f f n e s sa n dc o n t a c td a m p i n ga tt h em e s os c a l eJ.J o u r n a lo fV i b r a t i o na n dA c o u s-t i c s,2 0 0 5,1 2 7(1):5 2-6 0.2 王卫峰,丁智平,贺才春,等.有阻尼吸振器参数优化与应用J.湖南工业大学学报,2 0 1 5,2 9(5):4 0-4 4.3 L i uXL,L i uQ,W uS,e t a l.R e s e a r c ho nt h ep e r-f o r m a n c eo fd a m p i n g b o r i n g b a r w i t hav a r i a b l es t i f f n e s sd y n a m i cv i b r a t i o na b s o r b e rJ.T h eI n t e r-n a t i o n a l J o u r n a lo fA d v a n c e d M a n u f a c t u r i n gT e c h-n o l o g y,2 0 1 7,8 9:2 8 9 3-2 9 0 6.4 L e iXF,WuCJ.I n v e s t i g a t i n g t h eo p t i m a l d a m p i n gp e r f o r m a n c eo fac o m p o s i t ed y n a m i cv i b r a t i o na b-s o r b e rw 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c h a n g4 4 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:T h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sf o rt h em a i nm a s sd i s p l a c e m e n ta m p l i t u d eo fat w o-d e g r e e-o f-f r e e-d o ms y s t e mu n d e rs i n u s o i d a le x c i t a t i o nw e r ed e r i v e db yu s i n gt h em a t r i xc o m p l e xe x p o n e n t i a la l g o-r i t h m.I tw a s s t r i c t l yp r o v e d t h a t a l l a m p l i t u d e-f r e q u e n c yc u r v e s i n t e r s e c t a t t w o f i x e dp o i n t s,a n d t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sw e r ev e r i f i e d t h r o u g hMAT L A Bn u m e r i c a l s i m u l a t i o na n dv i b r a t i o n t e s t so f a c a n-t i l e v e rb e a m.T h er e s u l t ss h o wt h a tt h ea m p l i t u d e-f r e q u e n c yc u r v eo ft h em a i ns y s t e mh a st w ou p-w a r d-o p e n i n gp e a k sw h e nt h ed a m p i n gr a t i o i s z e r o,a n dh a so n l yo n eu p w a r d-o p e n i n gp e a kw h e nt h ed a m p i n gr a t i oa p p r o a c h e s i n f i n i t y.B o t h f i x e dp o i n t sh a v e t h e e x t r e m u m sb u t n o t t h em a x i m u mv a l u e s.T h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ev e r yc l o s et ot h ev i b r a t i o nt e s tr e s u l t sa n dt h er e l a t i v ee r r o r i s-3.8 6 4%5.7 2 9%,w h i c hp r o v e s t h ev a l i d i t yo f t h ed e r i v e da n a l y t i c a l s o l u t i o n s.K e yw o r d s:d a m p e dd y n a m i cv i b r a t i o na b s o r b e r;t w o-d e g r e e-o f-f r e e d o ms y s t e m;m a t r i xc o m p l e xe x p o-n e n t i a l a l g o r i t h m;d i s p l a c e m e n t a m p l i t u d e;a m p l i t u d e-f r e q u e n c yc u r v e 责任编辑 尚 晶592