高二2020年下期数学周考(216)教师版.docx

永州市四中高二2020年下期数学周考(2.16)
考试时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：秦博古

姓名： 学号：
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（          ）
A． B． C． D．
2．展开式中，含项的系数为（ ）
A．45 B．30 C．60 D．75
3．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为(　　)
A．X=4 B．X=5 C．X=6 D．X≤4
4．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件{第二个四面体向下的一面出现奇数}；{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法：
①； ②； ③； ④，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．永州火车站进站口有个闸机检票通道口，若某一家庭有个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭个人的不同进站方式有（ ）种.
A． B． C． D．
6．设随机变量的分布列为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
8．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（ ）
A．21 B．63 C．189 D．729
9．设是一个离散型随机变量，其分布列为：

－1
0
1

0.5

则等于
A．1 B． C． D．
10．篮子里装有3个红球，4个白球和5个黑球,球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B= “取出一个红球，一个白球”，则=( )
A． B． C． D．
11．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛,已知每局甲取胜的概率为0.6,乙取胜的概率为0.4,那么最终甲胜乙的概率为（ ）
A．0.36 B．0.216 C．0.432 D．0.648
12．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（ ）
A．120 B．72 C．12 D．36
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．名学生报名参加项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为 .
14．有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为 (用式子表示).
15．的展开式中的系数为__________.
16.从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)= .(结果用式子表示即可)

三、解答题(共70分)
17．（10分）求的展开式中的有理项．

18．（12分）甲、乙、丙三名学生参加某电视台举办的国学知识竞赛，在本次竞赛中只有过关和不过关两种结果，假设甲、乙、丙竞赛过关的概率分别为，且他们竞赛过关与否互不影响.
（1）求在这次国学知识竞赛中，甲、乙、丙三名学生至少有一名学生过关的概率；
（2）记在这次国学知识竞赛中，甲、乙、丙三名学生过关的人数为，求随机变量的分布列.

19．（12分）某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

20．（12分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？

21．（12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写出结果，不写过程）；
（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．

22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.

参考答案
一、 单选题(每小题5分，共60分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
C
A
D
D
A
C
C
B
D
B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 1024 14.
15. 6 16.
1．C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以
2．D 【解析】在中，，因此展开式项的系数是.故选D.
3．C 【解析】第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故. 故选C.
4．A 【解析】故①④对，
故②对，
事件不可能同时发生，，故③错 故选：A。
5．D 【解析】可分三类：第一类是一人一个通道口进，第二类是有两人同一通道口进，第三类是3人从同一通道口进，共有方法数为，故选D．
6．D 【解析】根据已知以及分布列的概率和为1的性质求的a=,选D.
7．A 【解析】由条件概率得=故答案为：A.
8．C 【解析】由题意，解得，∴，令，解得，∴的系数为． 故选C．
9．C 【解析】
由得，解得，
又，，所以，故选C.
10．B 【解析】

选B.
11.D 【解析】由题意，每局中甲取胜的概率为，乙取胜的概率为，
则使得甲胜乙，则包含着甲胜前两局或甲胜第一、三局或甲胜二、三局三种情况，
根据互斥时间的概率和相互独立了的计算的公式得：
，故选D.
12．B 【解析】第一步：先摆黄玫瑰和红玫瑰，摆法有种；第二步：再摆白玫瑰，由于黄玫瑰和红玫瑰之间有4个位，则有摆法种，所以这5盆玫瑰花的不同摆放种数是种．故选B．

二、填空题
13． 【解析】由题意可知，每名学生都有种报名方法，因此，名学生的报名方法的种数为. 故答案为：.
14． 【解析】由题意随机变量X服从超几何分布，则取二级品1台时. 则取二级品0台时，故 即答案为.
15．6 【解析】展开式通项为，令，，故的系数为．
16． 【解析】“由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有种.如果都不相邻的位偶数有种，即先排好个偶数，然后奇数在前面的个空位中任排.如果相邻，与不相邻，即捆绑起来，方法数有种，即先将捆绑起来，然后排好个偶数，接着将与插空到前面个空位中.由此求得“1,3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有种，其它情况有种.根据超几何分布概率计算公式有.
三、解答题
17．第4项，和第10项，
【解析】∵ ，
令，即，且．
∴或．
当时，，；
当时，，．
∴的展开式中的有理项是：第4项，和第10项，．
18．12．（1）（2）见解析
【解析】（Ⅰ）分别记事件、、为甲、乙、丙在竞赛中过关，则依题意得，事件、、相互独立，且，，．
则这三名学生至少有一名学生在竞赛中过关的对立事件为，其概率为

故这三名学生至少有一名学生竞赛过关的概率
（Ⅱ）依题意得可取，，，
； ；
；
则的分布列为

19．【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝， P(ξ＝60)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
30
40
50
60
P

20．【解析】（1）； （2）； （3）；（4）840； （5）； （6）.
【详解】
（1）根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，
②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，
则三名女生不能相邻的排法有A44×A53＝24×60＝1440种；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，
②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，
则四名男生相邻的排法有A44×A44＝24×24＝576种；
（3）根据题意，分2种情况讨论：
①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，
②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，
则此时有5×5×120＝3000种站法，
则一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720种站法；
（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，
要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．
（5）根据题意，分2步进行分析：
①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，有C42 C32种选取方法，
②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，
则有种不同的安排方法；
（6）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个男生就座，还有3个空座位，
分2步进行分析：
①，将4名男生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，
②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有种排法．
21．【解析】（Ⅰ）由茎叶图可得．
（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P（X）

（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A＝“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B＝“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．
则．
22．（1）见解析；（2）
【解析】（1）当时，的所有可能取值是．
的概率分布为，
．
（2）设和是从中取出的两个点．
因为，所以仅需考虑的情况．
①若，则，不存在的取法；
②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．
综上，当时，的所有可能取值是和，且
．
因此，．