席静——圆的标准方程教学设计.doc

《圆的标准方程》教学设计
济源四中 席静
一、教材分析
《圆的标准方程》是人教版高中数学必修2第四章第一节的内容，属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始。本节是在前一章学习《直线与方程》的基础上，继续用代数方法来研究几何问题，为后续圆锥曲线的学习打下了基础，因此它在整个解析几何中起着承前启后的作用。
二、学情分析
1．心理特征分析：
高一学生心理正逐步走向成熟；已有独立思考的意识；勇于思索，对自己感兴趣的问题特别关注；喜欢进行合作学习。
2．学习能力分析：
具备一定的观察思考能力、探索创新能力及分析解决问题的能力；有较强的求知欲。
3．已有的知识经验：
学生对圆的概念及基本性质有了初步的认识；对数形结合的思想有了初步的体验。
4．学习障碍分析：
对解析几何的解题方法不太熟练，对曲线方程不够了解，探究问题能力、合作交流意识有待加强。
三、教学目标
(1) 知识与技能目标：
①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会根据已知条件求圆的标准方程；③会判断点与圆的位置关系。
(2) 过程与方法目标：
①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想和待定系数法的理解； ③培养学生自主探究的能力。
(3)情感态度目标：
①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣；③培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
四、教学重、难点及解决策略：
1.重点: 圆的标准方程的推导及应用。
2.难点： (1)由已知条件求圆的标准方程；(2)判断点与圆的位置关系。
3.解决策略：教师启发诱导、任务驱动、跟踪指导，学生自主探究、合作交流、小组展示，师生共同解决问题，从而达到突破重、难点的目的。
五、教学过程（整个教学过程是由若干个问题组成的问题链来驱动的，总共分为五个环节。）
复习提问
导入新课
课堂小结
拓展延伸
深入探究
获得新知
应用举例
巩固提高
反馈训练
形成能力

(一) 复习提问，导入新课（小组讨论、展示，教师补充）
（圆的图片欣赏）
问题1：观察圆的形成过程，回答：具有什么性质的点的轨迹称为圆？构成圆的两个要素是什么？
教师：在课件上演示圆的形成过程
学生：观察、思考、回答上述问题。
平面内与定点距离等于定长的点的轨迹称为圆；圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。
设计意图：我以图片吸引学生，以问题导入新课，意图在于通过对已学知识的回顾，为本节课的学习做好铺垫，同时也激发了学生学习新知识的兴趣和欲望，把学生的思维吸引到研究圆的方程来。
O
M(x，y)
(二)深入探究，获得新知 y
C(a，b)
问题2：怎样推导圆心C(a,b),半径为r的圆的方程呢？
x
1．设点：设圆上任一点M坐标为(x，y)。
2．写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程： 由两点间的距离公式得：
4．化简方程：将上式两边平方得： (1)
5．引导学生自己证明，方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的标准方程。
设计意图：新课标指出：数学教学是师生互动与共同参与的过程。这里，在我的启发引导下，让学生通过观察、探究、交流，亲身经历数学知识的形成过程，有助于学生形成扎实的数学基础和良好的思维品质。
问题3：当圆心在原点时，圆的方程是什么？圆的方程形式有什么特点？
（学生讨论交流，教师适时点拨）
（1）当圆心在原点即C(0，0)时，方程为
（2）圆的方程形式特点：
是二元二次方程，左边是x，y与实数差的平方和；方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数；
含a，b，r三个参数，必须有三个独立的条件才可以确定一个圆。。
问题4：通过求圆的方程，你能归纳出求曲线方程的一般步骤吗？
求曲线方程的一般步骤为：建系→设点→列式→代入→化简→证明
设计意图：问题4的设计是想让学生加深对圆的标准方程的理解，问题5的解决为后面推导圆锥曲线的方程打下了基础。
(三)应用举例，巩固提高（本环节我分为直接应用和灵活应用两个层次）
直接应用：
1．写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为3； （2）经过点P(5，－1)，圆心在点C(8，－3)
2．写出下列圆的圆心坐标和半径
（1） （2）
设计意图：我设计的两个小题，都比较基础，学生很容易完成，这样不但增加他们学习的兴趣和信心，还能加深其对圆的标准方程的理解和应用，为后面的例题学习做了准备。
灵活应用：
例1、 写出圆心为 A(2,-3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点P(5，－7) ，Q(－3，1)与圆的位置关系。
教师引导学生思考，结合圆的定义，得点与圆关系的判断方法。
设计意图：例1是坐标法思想的体现，共有两问，第一问是给出圆心坐标和半径让学生快速写出圆的标准方程，是由几何到代数；第二问是判断点与圆的位置关系，是由代数到几何。具体方法如下：
方法一：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则
若d＞r点在圆外； 若d=r点在圆内； 若d＜r点在圆内。
方法二：圆的标准方程的左边表示圆上的点到圆心距离的平方，右边表示半径的平方，通过比较的大小关系也能判断点与圆的位置关系。即点的坐标代入方程，比较左右两边的大小。
例2、△ABC的三个顶点坐标分别为A(5，1)，B(7，－3)，C(2， － 8)，求它的外接圆方程。
教师引出待定系数法。总结就是三步：设、列、求。这种方法易于思考，易于列式，难于计算，这就需要同学们有扎实的计算能力，也需要同学们平时多多练习。
问题6：结合图形思考，本例题还有其他的解法吗？（学生讨论交流，小组展示）
解法二：由圆的定义可知，要求圆的方程需求出圆的圆心和半径。求出三条线段AB、BC、AC中其中两条的中垂线，联立方程组的圆心M坐标，圆心到圆上的点的距离即为半径。引导学生总结出圆的标准方程的第二种求法——几何法。
设计意图：
让学生总结出圆的标准方程的两种求法——待定系数法和几何法。要求学生在解题过程中能择优应用，进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想。
例3 、己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解法一：待定系数法：设出方程，根据题中条件列出三个式子，求出系数a、b、r。
解法二：几何法 ：
利用圆的性质做等价转化，即弦的中垂线经过圆心。联立方程求出圆心和半径。
解法三：
圆心在直线l:x-y+1=0上，设圆心C坐标（一个未知数表示），利用圆的定义圆心到圆上任意一点的距离即为半径。再根据半径相等列式，求出未知数。
设计意图：我预设了3种方法，它既是对圆的标准方程求法的进一步巩固、强化和提高，又一次为学生的发散思维创设了空间，最后安排学生讨论交流，使学习气氛达到高潮。
（四）、反馈训练，形成方法
当堂检测：求满足下列条件的圆的方程：
(1)已知点A（2，3），B（4，9）, 以线段AB为直径的圆；
(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);
(3)圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切；
(4)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；
（学生独立完成，暴露出问题，教师及时纠正）
设计意图：我设计四个小题作为巩固性训练，使学生掌握不同条件下的求圆的方程的求法，要求学生限时、独立完成，让学生体验学习数学的乐趣、成功的喜悦，从而增强学好数学的信心。
（五）、小结反思，拓展延伸
（一）课堂小结
学生：思考交流，小组展示。
教师：及时补充。要体现三个方面：
（1）、知识：圆的标准方程形式和方程的结构特点。
（2）、方法：求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)几何法．
推导圆的标准方程的方法
判断点与圆的位置关系的方法
（3）、思想 数形结合思想
设计意图：在这个环节里，先由同学们组内交流、小组展示，使学生在互相交流中获得更多的学习经验，最后由老师作全面总结，这样，学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固。
（二）布置作业
作业1、课本第120页：1、3、4
作业2、思考题：
将圆的标准方程展开，我们将会得到什么的方程？是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的方程？
设计意图：在此，我设计两个作业作为本节课的巩固和延伸，完成作业一 ，达到巩固本节知识的效果；完成作业二，为下节课学习圆的一般方程做好预习工作，从而起到温故知新的作用。
六、板书设计分析
为了使整个版面思路清晰，层次分明，能抓住学生的注意力，我设计板书如下：
圆的标准方程
一、复习提问
二、圆的标准方程：

1．推导
2．特征
3．圆心在原点时，方程为
三、应用举例
1.直接应用
2.灵活应用
例1 例2 例3
提炼升华：
1．点与圆的位置关系；
2．求圆的标准方程的方法：待定系数法、几何法；
3．数形结合思想
四、反馈练习

五、课堂小结

六、布置作业
七、教学评价分析：
1. 为了激发学生的主体意识，本节课我采用了“问题探究”教学法。即把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式。
2.在问题的设计中，我用一题多解的探究方式，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破。
3.每个环节都力争给学生创造一种思维情景，一种主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题的同时锻炼了思维能力、培养了学习兴趣、增强了学好数学的愿望与信心。
以上是我对本节课的教学设想，实际教学中会生成一些新的资源，我会及时调整我的预案,以求达到最佳的教学效果。