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《正弦定理》教学设计
一 教学内容分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问和特殊三角形中边角关系，通过“作高法”证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二 学情分析
此次上课班级为平行班中的高一（10）班，学生最大的优点就是能够尽自己最大努力跟随老师的步伐，不足之处就是基础知识薄弱，计算能力较差，自学能力不强。
根据以上情况，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三 设计思想
本节课采用探究式课堂教学模式。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。
四 教学目标
1．知识与技能：正弦定理的发现与证明（几何法）；定理的应用。
2．过程与方法：课前预习，课上教师创设情境，由特殊到一般引导学生大胆猜想并利用已有的知识证明猜想。
3．情感态度与价值观：培养学生独立思考习惯，提高合作交流能力，归纳总结能力。
五 教学重点与难点
教学重点：正弦定理的内容及基本应用。
教学难点：正弦定理的猜想及推导。
六 教学过程
（一）创设情境，激发动机。
A（月球）

B（柏林） C（好望角）
(图 1)
17世纪两位法国天文学家先在柏林测量月亮与地面的仰角 ,再到与柏林几乎位于同一条子午线上的好望角测量仰角,再计算两地之间的距离（柏林与好望角的）,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思考，激发学生的求知欲。
（二）数学实验，大胆猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例，
学生：通过测量及计算，观察，，的关系。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，。
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，
（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，。
A A B

B C B C A C
(图 2)
教师：从上述结果来看，特殊三角形边和它所对角的正弦的比相等。多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：==
设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？
学生：思考
①在RtABC中，如图3设BC=a,AC=b,AB=c,
B
a
A
C
c
b
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，。 （图3）
②在锐角三角形中，如图4设，，
作：，垂足为

（图4）
在中，

在中，

同理，在中，

③在钝角三角形中，如图5设为钝角，，，
作交的延长线于

（图5）
在中，

在中，

同锐角三角形证明可知

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学课下思索还有没有其它的证明方法。
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其它的边和角；
② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其它的边和角。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）运用定理，解决例题
题型一：已知两角及一边，解三角形。
师生：先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
练习1：在中，已知，，，解三角形。
题型二：已知两边及其中一边的对角，解三角形。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，
思考：通过这个问题的解决我们发现，如果已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？并解释出现一解，两解，无解的原因。
练习2：在中，已知，，，解三角形。
注：大边对大角。
【利用定理，解决引例】
（五）尝试小结
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：
①已知三角形中两角及一边，求其他元素；
②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）数学思想：由特殊到一般，数形结合，分类讨论。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（六）作业
1 必做题
2 选做题（高考题）

设计思路
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
1 创设情境，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，
2 数学实验，大胆猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高学生实验操作、分析思考和抽象概括能力，激发学生的好奇心和求知欲，体会到数学实验的归纳和演绎推理。
3 证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度出发证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理意识。
4 定理应用，解决问题
通过例题及练习，加深对定理内容及应用范围的理解。