2024年数学考点版.doc

单项选择：
1．函数的定义域是（ D ）．
A． B． C． D． 且
2．函数 在x = 0处连续，则k = ( C )．
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）．
A．B． C． D．
4．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）能够进行．
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
5. 设线性方程组的增广矩阵为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．
A．， B．，+ 1
C．， D．，
7.当初，下列变量为无穷小量的是（ A ）．
A． B． C． D．
8.若，则f (x) =（ C ）．
A． B．- C． D．-
9.设是可逆矩阵，且，则（ C ）.
A． B． C． D．
10.设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是（ B ）．
A． B． C． D．
填空：
1．设函数，则．
2．设某商品的需求函数为，则需求弹性-
3.积分 0
4．设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解X=
5. 已知齐次线性方程组中为矩阵，则 3 ．
6．已知某商品需求函数为q = 180 – 4p, p为该商品价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 2 ．
7．曲线在点处的切线斜率是．
8． 0 ．
9．设为阶可逆矩阵，则(A)= n ．
10．设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解．
微积分计算题：
1．设，求．

2．计算积分 ．

3.设，求．
因为

因此
4. 计算积分 ．
解：

代数计算题：

1．设矩阵A =，计算 ．
解：因为
且

因此

2．求线性方程组的一般解．
解：因为增广矩阵

因此一般解为 （其中是自由未知量）。
3. 设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1．解：因为AB ==
(AB I ) =

因此 (AB)-1=
4. 求线性方程组的一般解．解：因为系数矩阵

因此一般解为 （其中，是自由未知量）
应用题：
1．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
=
当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即
C()=
又平均成本函数为

令 ， 解得= 3 (百台)
该问题确实存在使平均成本最低的产量. 因此当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)。
2. 设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：（1）当初的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？
解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
，，
．
因此，，
，
．
（2）令 ，得（舍去）．
因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，因此当20时，平均成本最小.

（一）填空题
1..
2.设，在处连续，则.
3.曲线在的切线方程是 x-2y+1=0 .
4.设函数，则.
5.设，则.
（二）单项选择题
1. 函数的连续区间是（ D ）
A． B．
C．
D．或
2. 下列极限计算正确的是（ B ）
A. B.
C. D.
3. 设，则（B ）．
A． B． C． D．

4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续
D．函数f (x)在点x0处可微
5.当初，下列变量是无穷小量的是（ C ）.
A． B． C． D．
(三)解答题
1．计算极限
（1）

（2）
原式=

（3）
原式=
=
=
（4）
原式==
（5）
原式=
=

（6）
原式=
=
= 4

2．设函数，
问：（1）当为何值时，在处有极限存在？
（2）当为何值时，在处连续.
(1)
当
(2).
函数f(x)在x=0处连续.

3．计算下列函数的导数或微分：
（1），求

（2），求

（3），求

（4），求

=
（5），求
∵
∴
（6），求
∵
∴
（7），求
∵
=
∴
（8），求

（9），求

=
=
=
（10），求

4.下列各方程中是的隐函数，试求或
（1），求
方程两边对x求导：

因此
（2），求
方程两边对x求导：

因此

5．求下列函数的二阶导数：
（1），求

（2），求及

（一）填空题
1.若，则.
2. sinx+c .
3. 若，则 .
4.设函数.
5. 若，则.
（二）单项选择题
1. 下列函数中，（ D ）是xsinx2的原函数．
A．cosx2 B．2cosx2
C．-2cosx2 D．-cosx2
2. 下列等式成立的是（ C ）．
A． B．
C． D．
3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（　C ）．
A．， B． C． D．
4. 下列定积分计算正确的是（ D ）．
A． B．
C． D．
5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）．
A． B．
C． D．
(三)解答题
1.计算下列不定积分
（1）
原式=
=
（2）
原式=
=
（3）
原式=
（4）
原式=
（5）
原式=
=
（6）
原式=

（7）
∵(+)
(-) 1
(+) 0
∴原式=
（8）
∵ (+) 1
(-)
∴ 原式=
=
=

2.计算下列定积分

（1）
原式=
=
（2）
原式==
（3）
原式=
=
（4）
∵ (+)
(-)1
(+)0
∴ 原式=
=
（5）
∵ (+)
(-)
∴ 原式=
=
（6） ∵原式=
又∵ (+)
(-)1 -
(+)0
∴
=
故：原式=
（一）填空题
1.设矩阵，则的元素.
2.设均为3阶矩阵，且，则= -72 .
3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是 A,B可互换 .
4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.
5. 设矩阵，则A=.
（二）单项选择题
1. 如下结论或等式正确的是（ C ）．
A．若均为零矩阵，则有
B．若，且，则
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若，则
2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵故意义，则为（ A ）矩阵．
A． B．
C． D．
3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（　C ）． `
A．， B．
C． D．
4. 下列矩阵可逆的是（ A ）．
A． B．
C． D．
5. 矩阵的秩是（ B ）．
A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题
1．计算
（1）
解：原式=
（2）
解：原式=
（3）
原式=

2．计算
原式==
3．设矩阵，求。
解：=
4．设矩阵，确定的值，使最小。
解：

因此当初，秩最小为2。
5．求矩阵的秩。
解：

因此秩=2
6．求下列矩阵的逆矩阵：

（1）
解：

因此。

（2）A =．
解：

因此。

7．设矩阵，求解矩阵方程．

四、证明题
1．试证：若都与可互换，则，也与可互换。
证明：∵ ，
∴

即 ，也与可互换

2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。
证明：∵

∴ ，是对称矩阵。
3．设均为阶对称矩阵，则对称的充足必要条件是：。
证明：充足性
∵ ，，
∴
必要性
∵ ，，
∴
即为对称矩阵。
4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。
证明：∵ ， ∴ 即 是对称矩阵。

（一）填空题
1.函数在区间内是单调减少的.
2. 函数的驻点是，极值点是，它是极小值点.
3.设某商品的需求函数为，则需求弹性
4.行列式.
5. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x
2. 已知需求函数，当初，需求弹性为（ C ）．
A． B．
C． D．
3. 下列积分计算正确的是（ A）．
A．　B．　　　
C．　 D．
4. 设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是（ D ）．
A． B．
C． D．
5. 设线性方程组，则方程组有解的充足必要条件是（ C ）．
A． B．
C． D．
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程：
(1)
原方程变形为：
分离变量得：
两边积分得：
原方程的通解为：
（2）
解：分离变量得：
两边积分得：
原方程的通解为：
2. 求解下列一阶线性微分方程：
（1）
解：原方程的通解为：

（2）
解：原方程的通解为：
3.求解下列微分方程的初值问题：
(1) ,
解：原方程变形为：
分离变量得：
两边积分得：
原方程的通解为：
将代入上式得：
则原方程的特解为：
(2),
原方程变形为：
原方程的通解为：

将代入上式得：
则原方程的特解为：
4.求解下列线性方程组的一般解：
（1）
解：原方程的系数矩阵变形过程为：
因为秩()=2<n=4，因此原方程有无穷多解，其一般解为：
（其中为自由未知量）。

（2）
解：原方程的增广矩阵变形过程为：

因为秩()=2<n=4，因此原方程有无穷多解，其一般解为：
（其中为自由未知量）。

5.当为何值时，线性方程组

有解，并求一般解。
解：原方程的增广矩阵变形过程为：

因此当初，秩()=2<n=4，原方程有无穷多解，其一般解为：

6．为何值时，方程组

解：原方程的增广矩阵变形过程为：
讨论：（1）当为实数时，秩()=3=n=3，方程组有唯一解；
（2）当初，秩()=2<n=3，方程组有无穷多解；
（3）当初，秩()=3≠秩()=2，方程组无解；
7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：①当初的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量为多少时，平均成本最小？
解：①平均成本函数为：（万元/单位）
边际成本为：
∴ 当初的总成本、平均成本和边际成本分别为：

（万元/单位）
（万元/单位）
②由平均成本函数求导得：
令得唯一驻点（个），（舍去）
由实际问题可知，当产量为20个时，平均成本最小。
（2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少．
解：由
得收入函数
得利润函数：
令
解得： 唯一驻点
因此，当产量为250件时，利润最大，
最大利润：(元)

（元）即利润将减少25元。
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低．
解：①产量由4百台增至6百台时总成本的增量为
(万元)
②成本函数为：

又固定成本为36万元，因此
(万元)
平均成本函数为：
(万元/百台)
求平均成本函数的导数得：
令得驻点，（舍去）
由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达成最低。
（4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益
，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解：①求边际利润：
令得：（件）
由实际问题可知，当产量为500件时利润最大；
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润的增量为：