专题辅导系列八---导数综合问题的难点剖析.doc

招考通高三数学假期复习专题系列之提高篇 导数综合问题的难点剖析
招考通高三数学假期复习专题系列之提高篇（八）
——导数综合问题的难点剖析
江苏省海安高级中学——罗湘军
导数是函数学习的延续，是高考中的重要内容，常常以函数为载体设置综合题，而往往具有较大的难度，学生难以熟练驾驭.而在解决导数综合问题时，合理挖掘其中蕴含的数学思想是解题的关键，下面借助例题就导数综合问题中的常见的考察形式从数学思想运用的角度做一个深入的分析.
一. 典例分析
1．分类讨论思想
例1已知函数（不同时为零的常数），导函数为.
(1)求证：函数在内至少有一个零点；
(2)若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
解析：(1) 因为， ，，．
由于不同时为零，所以，故结论成立．
(2) 因为=为奇函数，所以, 所以，
又在处的切线垂直于直线，所以，即．
因为　所以在上是増函数，在
上是减函数，由解得，如图所示，
当时，，即，解得；
当时， ，解得；
当时，显然不成立；
当时，，即，解得；
y
O
1
x
-1
当时，，故．
所以所求的取值范围是或．
分析：分类讨论是导数综合问题中最常见的考察形式，对学生数学思维的要求较高，导数问题中比较常见的讨论是就导函数中系数的正负情况，极值点
的大小比较，极值点与给定区间的位置关系等等展开讨论，解题时要养成良好的习惯，譬如画出导函数的图象，以形助数，将抽象的问题形象化.
2．函数与方程思想的运用，进行合理转化
例2 已知函数f(x)＝x3－x，
(1)求曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
(2)设a＞0 .如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，证明：－a＜b＜f(a).
解析：(1)求函数f(x)的导数：.
曲线在点处的切线方程为：，
即
(2)如果有一条切线过点，则存在t，使，
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记，则.
当变化时，，变化情况如下表：

增
极大值
减
极小值
增
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根.
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即－a＜b＜f(a).
分析：本题的解题的关键在于对“过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线”这句话的理解，它等价于“方程有三个相异的实数根”，而方程有三个不等的实根又可被被等价于“函数与x轴有三个不同的交点”，将一条较为复杂的问题转化为常见的问题，达到了解题的目的.
3．构造函数，以数助形
例3 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
解析：令，
，
．
当时，．
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
∴函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．
由，可得当时恒成立．
，由，得．
下面证明当时恒成立．
令，则
，
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
分析: 本题中函数和是否存在“隔离直线”的前提是对两个函数图象的位置关系的判定，通过作差构造函数得到了两个函数图象有且仅有一个公共点，进而猜想“隔离直线”是否为公切线，将问题转化为证明和的恒成立问题.
二．辅助训练
1．设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c．
由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．
考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2．
x
（－∞，－2）
－2
（－2，2）
2
（2，＋∞）
h ′（x）
＋
0
－
0
＋
h（x）
增
c＋16 （极大值）
减
c－16（ 极小值）
增
所以 故－16<c<16．
（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c，（*）
所以x3－12x>－16，
即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． …………7分
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．
所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4．
2．已知函数为奇函数，且在处取得极大值2.
（1）求函数的解析式；
（2）记，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像的直线的下方，求的取值范围。
解：（1）由（≠0）为奇函数，
∴，代入得， ，∴，且在取得极大值2.
∴ 解得，，∴
（2）∵，
∴
因为函数定义域为（0，+∞），所以
（1）当，时，，函数在（0，+∞）上单调递减；
（2）当时，，∵，∴
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
（3）时，，令，得，∵，
∴，得，
结合，得；
令，得，同上得，，
∴时，单调递增区间为（，），单调递减区间为（，+∞），
综上，当≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.
（3）当时，，
令，
，令=0，，得，（舍去）.
由函数定义域为（0，+∞），则当时，，当时，
∴当时，函数取得最小值1-.
故的取值范围是（1，+∞）.
招考通 第 6 页 2025/2/3