数学高考锦集结论.doc

高考数学常用结论集锦(2006.5)
1.德摩根公式 .

2

3. 若Ａ={},则Ａ的子集有个,真子集有(－1)个,非空真子集有(－2)个
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式;② 顶点式 ;③零点式.
三次函数的解析式的三种形式①一般式
②零点式

5.设那么
上是增函数；
上是减函数.
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

6.函数的图象的对称性:
①函数的图象关于直线对称
②函数的图象关于直对称.
③函数的图象关于点对称
函数的图象关于点对称

7.两个函数图象的对称性:
①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
②函数与函数的图象关于直线对称.
特殊地: 与函数的图象关于直线对称

③函数的图象关于直线对称的解析式为

④函数的图象关于点对称的解析式为
⑤函数和的图象关于直线y=x对称.
8.分数指数幂 （，且）.
（，且）.
9. .

10.对数的换底公式 .推论 .
对数恒等式（）
11.( 数列的前n项的和为).

12.等差数列的通项公式；

13.等差数列的变通项公式

对于等差数列，若，(m,n,p,q为正整数)则。

14.若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

其前n项和公式 .
15.数列是等差数列,数列是等差数列=
16．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：
前n项的和
当n为偶数时，，其中d为公差；

当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）。

17．若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，
则。
18.等比数列的通项公式；
等比数列的变通项公式
其前n项的和公式或.
19. 对于等比数列，若(n,m,u,v为正整数)，则
也就是：。如图所示：
20. 数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

21. 同角三角函数的基本关系式 ，=，
.
22. 正弦、余弦的诱导公式

即:奇变偶不变,符号看象限,如

23. 和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
24. 二倍角公式 .
.（升幂公式）
（降幂公式）
.
25.万能公式:,
26.半角公式:
27. 三函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；若ω未说明大于0,则
函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
28. 的单调递增区间为单调递减区间为
，对称轴为,对称中心为
29. 的单调递增区间为单调递减区间为，
对称轴为,对称中心为
30. 的单调递增区间为，对称中心为
31. 正弦定理 
32. 余弦定理;; .

33.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
(3)=(为的夹角)

34.三角形内角和定理 在△ABC中，有
.
35.平面两点间的距离公式
=(A，B).

36.向量的平行与垂直 设a=,b=，且b0，则
a∥bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
37.线段的定比分公式  设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
38.若则A,B,C共线的充要条件是x+y=1
39. 三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

40.点的平移公式 (图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为).
41.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）注意等号成立的条件
(5)
42.极值定理 已知都是正数，则有
（1）如果积是定值，那么当时和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时积有最大值.
43.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
44.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
.
或.
45.无理不等式（1）
（2）.
（3）.
46.指数不等式与对数不等式 (1)当时,

; .
(2)当时,
;
47.斜率公式 （、）
直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为=
48.直线方程的五种形式:

（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
（4）截距式
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
49.两条直线的平行和垂直 （1）若，
①;②.
(2)若,,
①；②；
50.夹角公式 .(，,)
(,,).
直线时，直线l1与l2的夹角是.
直线l1到l2的角是(，,)
51.点到直线的距离 (点,直线：).
52．两条平行线的间距离
(直线：).
53. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
54.圆中有关重要结论:
(1)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为
(2)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为
(3) 若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B
则直线AB的方程为
(4) 若P(,)是圆外一点, 由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为
55.椭圆的参数方程是.

56.椭圆焦半径公式 ，.

56.椭圆的准线方程为,椭圆的准线方程为
57.椭圆的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为
58.P是椭圆上一点,F,F 是它的两个焦点,∠FP F=θ
则△P F F的面积=
59.双曲线的准线方程为
双曲线的准线方程为
60. 双曲线的渐近线方程为
双曲线的的渐近线方程为
61.P是双曲线上一点,F,F 是它的两个焦点,∠FP F=θ
则△P F F的面积=
62.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
63. P(,)是抛物线上的一点,F是它的焦点,则|PF|=+
64. 抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角
65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的斜率）.
若（弦端点A由方程 消去x得到，,为直线的斜率）.则

66.圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.

67.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
68.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，
则四点P、A、B、C是共面．
69. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=（a＝，b＝）.
70.直线与平面所成角(为平面的法向量).
71.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.
72.设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
73.若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;
(当且仅当时等号成立).
74.空间两点间的距离公式 若A，B，则
=.
75.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).
76.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
77.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
78.
（长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.
79. 面积射影定理
(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).
80.球的半径是R，则其体积是,其表面积是．
81.
82.分类计数原理（加法原理）.
83.分步计数原理（乘法原理）.
84.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．
85.排列恒等式 （1）;（2）;（3）; （4）;（5）.
86.组合数公式 ===(，∈N*，且).
87.组合数的两个性质(1) = ;(2) +=
88.组合恒等式（1）;（2）;
（3）; （4）
（5）=;（5）.
89.排列数与组合数的关系是： .
90.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式：.
91.等可能性事件的概率.
92.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
93.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
94.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
95.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
96.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
97.函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
98.导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
99.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数
②；
③； ；
100.n个数据,则它们的平均数为,
方差=
（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.
(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.
(3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本.
(4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.
二、抽样方法：
（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.
(2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.
三、两种抽样方法的区别与联系：

类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽取过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取

总体中个体数较少
分层
抽样
将总体分成几层进行抽取
各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样
总体有差异明显的几部分组成
四、重要结论：
个体数N的总体中抽取一个样本容量为n的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于.
五、典型例题剖析：
例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.
解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：
（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P=，
（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生.
个体α第一次没被抽到的概率是, 个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率是.
根据相互独立事件同时发生的概率公式, 个体α第二次被抽到的概率是P=×=.(也可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P==)
个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P= P+ P=+=.
由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于)
点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于,“任一个个体α在整个抽样过程中被抽到的概率”为.
例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，
求 ① 每个个体被抽到的概率，
②　若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，
③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.
解：① 因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P==
② 因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P=
③ 用分层抽样方法：按比例=分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×=4个，36×=6个，60×=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P==.
注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为.
点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等.且为.
例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为，求这个样本容量.
解：设样本容量为n，则=，所以n=300.
点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为这一结论的逆用.
例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.
(1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.
(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
解：(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.
(2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现.
点评：简单随机抽样的特点：
(1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的.
(2) 它是从总体中逐个地进行抽取.
(3) 它是一种不放回抽样.
例5、 某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?
解：可用两种方法：
方法一：（抽签法）
（1）编号： 将1200名学生进行随机编号为1，2， …，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.
（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌.
（3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本.
方法二：（随机数表法）
（1）编号： 将1200名学生进行编号分别为0000，0001，…， 1199，
（2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始)
(3) 读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止.
(4) 抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.
点评：抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法，本问题显然用随机数表法更方便一些，因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取.
例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？
解：采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为400,中、青、老职工的比例为5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×=200人, 应抽取青年职工为400×=120人,
应抽取青年职工为400×=80人.
点评：因为总体由三类差异较明显的个体构成，所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.

临考热身篇

一、选择题：
1．不等式的解集是 （ D ）
A．（-1，3） B．（-3，1）（3，7）
C．（-7，-3） D．（-7，-3）（-1，3）
2．已知a是非0实数，则“a>1”是“”的 （ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等差数列中，若，则的值为（ C ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．在中，，则是 （ C ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．函数的图象大致是 （ D）

　A． 　B． 　C． 　　D．
6．已知直线a、b都在平面M外，a、b在平面M内的射影分别是直线a1、b1，给出下列四个命题：① ② ③
④其中不正确的命题的个数是： （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数的定义域为[a，b]，值域为，则b-a的最大值和最小值之和为（ B）
A． B． C． D．
8．如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成的弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于： （ C ）
A． B． C． D．
9．已知符号函数，则方程的所有解的和是（D ）
A．0 B．2 C． D．
10．已知函数的反函数，若，则的最小值为（ B）
A．1 B． C． D．
11．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成6名课外兴趣味小组，如果按性别分层随机抽样，试问组成课外兴趣小组的概率是 （ A ）
A． B． C． D．
12．实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则 的取值范围是 （ A ）
A B C D
13．已知直线（a，b不全为0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 （B ）
A．66条 B．72条 C．74条 D．78条
14．某新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：
名
地
地
离
距
名
(km)

A
B
C
D
E
A

5
7
8
5
B

3
5
2
C

5
4
D

4
E

请问：最短的管线长为 （ B ） A．13 B．14 C．15 D．17
15．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。在下面的五个点中，“好点”的个数为（C）
A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个
16．某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是 （ D ）
A． B． C． D．
17．设命题P：函数f(x)= (a>0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q：不等式|x－1|－|x+2|<4a对任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是
（C）
A．<a≤1 B。≤a<1 C．0<a≤或a>1 D。0<a<或a≥1
二、填空题
18．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n等于 4
19．半径为2的球内接四面体A-BCD，AB、AC、AD两两互相垂直，则++的最大值为 8 。
20．雅典奥运会的第三天共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏的，则这天奏国歌的不同顺序____120____种
21．已知函数f(x)=Acos2(ωx+)（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____ 100 ______
22．A、B两点之间有5条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于7的方法共有 5
23．对任意两实数a、b、，定义运算“*”如下：
的值域为
24．已知函数，若的单调减区间是 （0，4），则在曲线的切线中，斜率最小的切线方程是 。
25．有一组数据：的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11，第一个数关于的表达式是，第个数关于的表达式是。
26．如下图，它满足：
（1） 第n行首尾两数均为n ；
（2）表中的递推关系类似杨辉三角.
则第n行（n≥2）第2个数是。
三、解答题
27． 若中，a，b，c分别是的对边，且，
（1） 求；
（2） 若，的面积为，求b+c的值。
解：（1）由得：，
可得：，，。
（2）
，。
28．已知
且（1）求； （2）求
解：（1）由

（2）由
则
由
在时，
矛盾，故舍去.
在可取. 因此
29． 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记。
（1） 求的概率；
（2） 若前两次均出现正面，求的概率。
解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则
（2）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为。

30．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。
（1） 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小；
（2） 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠（即原价的90%）。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。
解（1）设该厂应隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管与其它费用
，平均每天支出的费用为，则

即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x） 购买一次面粉，平均每天支出的费用为。

利用单调性可证在上递增。
时取得最小值，即，
该厂应接受此优惠条件。
31．已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.
（Ⅰ）求PC与平面PBD所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？
若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由.
解： （Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接PO。
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。
∵BD∩PD=D， ∴AC⊥平面PBD。
∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。
∵PD=AD=2，则OC=，PC=2。

在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴
∴PC与平面PBD所成的角为30°

（Ⅱ）过D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD，
DF平面PBD， ∴AC⊥DF。

又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。
在Rt△PDO中，∠PDO=90°，
∴PO·DF=PD·DO。 ∴
（Ⅲ）假设存在E点，使PC⊥平面ADE.
过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M，
连接AE、AM.
由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC. ∵PC∥EM，∴AD⊥EM.
要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE. 即使EM⊥AE.
设BM=，则EM=，EB=. 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3－4
在Rt△ABM中，∠ABM=90°. ∴AM2=4+.
∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2. ∴－=0. ∵，∴=1.
∴E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
32．如图，平面PAD平面ABCD，PAD是正三角形，
ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成角。
（1） 求的值；
（2） 求二面角P-MC-D的大小；
（3） 当AD的长为多少时，点D到平面PMC的距离为2。
解：（1）取AD中点H，则，面PAD平面ABCD，
面ABCD，PC与面ABCD所成的角为。
设AD=a，则，，。
（2）连结HM，由∽可得：。
，由三垂线定理得，
是二面角P-MC-D的平面角。
，。
二面角P-MC-D的平面角为
由可得：AD=。
33．曲线有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为.
（1）求；
（2）曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵当x=1±时 f(x)有极小值及极大值
∴f′(1±)=0 即1±为3ax2+2bx+c=0两根

∴b=－3a , c=－6a
又∵f(x)在x=1处切线的斜率为

（2）假设存在P(x0, y0)，使得f(x)的图象关于P中心对称，
则f(x0+x)+f(x0－x)=2y0
即－(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0
化解得
∵对于任意x∈R等式都成立
∴x0=1, y0=.易知P（1，）在曲线y=f(x)上.
∴曲线上存在P（1，）使得f(x)的图象关于中心对称
34．已知函数，且函数的图像关于原点对称，其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。
（1） 求的解析式；
（2） 是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由。
解：（1）的图像关于原点对称，恒成立，即恒成立，。，
又的图像在x=3处的切线方程为，
即，据题意得：解得：，

（2）由得x=0或。
又，由得，且当或时，，当时。
所以，函数在和上递增，在上递减。
于是，函数在上的极大值和极小值分别为
，而，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间
35．已知一次函数f（x）的图像关于直线x-y=0对称的图像为C，且f（-1）=0，若点（n+1，在曲线C上，并有。
（1） 求曲线C的方程；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 设，若恒成立，求实数M的取值范围。
解：（1）设f（x）=kx+b（k0），则曲线C的方程为。
f(-1)=0,-k+b=0 ①
又点（n+1，在曲线C上，即（2，1）在曲线上。
② 由①②得：k=b=1 C：x-y-1=0。
（2）点（n+1，在曲线C上，，而。
，
（3）。
关于n单调增。。
故恒成立，则
36．已知：=（c，0）（c>0）,,最小值为1.若动点P同时满足下列条件①②其中③动点P的轨迹C过点B(0,-1).
(1) 求c的值;
(2) 求曲线C的方程;
(3) 过点M(0,2)的直线与曲线C的轨迹交于A,B两点,求的取值范围.
解:(1) ,
当时, 的最小值为1,,,.
(2),, 曲线C的方程为.
（3）设直线的方程为:.(*)
由得:

,又,.
当k不存在时, =3,所以.
37．如图所示，已知A，B为椭圆和双曲线的公共顶点。P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且有，设AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为。
（Ⅰ）求证；；
（Ⅱ）设分别为椭圆和双曲线的右焦点，
若 PF2∥QF1 ，求的值。
解（Ⅰ）：设点P，Q的坐标分别为
则，即
所以
类似地
设O为原点，则
∵ ∴， ∴三点O，P，Q共线
∴，由①②得
（Ⅱ）证明：因点Q在椭圆上，有
由知
即，从而……③
又点P在双曲线上，有…………④
由③④解得
因，∴，故
所以
由①得
同理
另一方面
类似地
所以
38．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。
（1） 若数列首项，且满足，求数列的通项公式；
（2） 对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3） 令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。
解（1）而可得
，，是首项为，公差为的等差数列，
，
（2）即：
而
=故可得
存在等差数列,使对一切正整数都成立。
（3）由（2）知1 ……… ①
……… ②
①-②得：

，递增 ，且。
满足条件的最小的正整数M的值为6
39．过P（1，0）做曲线的切线，切点为Q1，设Q1在轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为求证：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
解：（Ⅰ）若切点是，
则切线方程为
当时，切线过点P（1，0）即得
当时，切线过点即得
∴数列是首项为，公比为的等比数列. …6分
（Ⅱ）

（Ⅲ）记，
则
两式相减

40．已知函数 .
（1）求及的值；
（2）是否存在自然数，使对一切都成立，若存在，求出自然数的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较和 的大小．
解（1）；．
（2）假设存在自然数,使对一切都成立.
由,得 ，
当时，不等式显然不成立．
当时，，
当n=1时，显然,
当时，= 成立，则 对一切都成立．
所以存在最小自然数。
（3）． 由（），所以，，……，，
相乘得 ，∴ 成立．

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