高中数学人教版必修课后习题答案电子档.docx

高 中 数 学 必 修 5 课 后 习 题 答 案

(1)n
7
n |0(n = 2m 1,m = N*)

第二章 数列

2.1 数列的概念与简单表示法
练习 (P31)
1、
1
5
2
12
…
…
…
5 项分别
2、前
是 ：
69
21
33
…
…
…
153

1,0, 1,0, 1 .
( 1

n | 1 (n = 2m 1,m = N*)
3、例 1 (1) a = 〈| n (n = 2m, m = N*) ；
|n


(2) a = 〈
(|2(n = 2m, m = N*)

说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可 能的通项公式表达形式不唯一的例子.

n 2n 1
4、 (1) a = 1 (n = Z+ )；

(2) a = (n = Z+ )； n 2n

1
(3) a = (n = Z+ )
n n1
2 2

习题 2.1 A 组(P33)
1、 (1) 2,3,5,7,11,13,17,19；
(2) 2, 6,2 2,3, 10,2 3, 14, 15,4,3 2；
(3) 1,1.7,1.73,1.732, …1.732050； 2,1.8,1.74,1.733, …,1.732051.
2、 (1) 1, 1 , 1 , 1 , 1 ； (2) 2,5,10,17,26 .
4 9 16 25
a = (1)n+1n2；
n
3、 (1) (1)， 4， 9， ( 16 )， 25， ( 36 )， 49；

(2) 1， 2， ( 3 )， 2， 5， ( 6 )， 7； a = n . n
4、 (1) 1 ,3,13,53,213； (2) 1 ,5, 4 , 1 ,5 .
2 4 5 4
5、对应的答案分别是： (1) 16,21； a = 5n 4；(2) 10,13； a = 3n 2；(3)24,35； a = n2 + 2n . n n n
6、 15,21,28； a = a + n . n n1

习题 2.1 B 组(P34)
1、前 5 项是 1,9,73,585,4681.
该数列的递推公式是： a = 1+ 8a , a = 1 .通项公式是： a = 8n 1 . n+1 n 1 n

2、 a = 10 人 (1+ 0.72%) = 10.072； a = 10 人 (1+ 0.72%)2 = 10.144518； 1 2
a = 10 人 (1+ 0.72%)3 = 10.217559； a = 10 人 (1+ 0.72%)n .
3 n
3、 (1) 1,2,3,5,8； (2) 2, 3 , 5 , 8 , 13 .
2 3 5 8

2.2 等差数列

练习 (P39)
1 、表格第一行依次应填： 0.5， 15.5， 3.75；表格第二行依次应填： 15， 一11， 一24 .
2、 a = 15 + 2(n 一 1) = 2n +13， a = 33 . 3、 c = 4n n 10 n

4、 (1)是，首项是 a = a + md ，公差不变，仍为 d； m+1 1
(2)是，首项是 a ，公差 2d； (3)仍然是等差数列；首项是 a = a + 6d ；公差为 7d .
1 7 1
5 3 7 5 5 3 7 . 5 1 9
5、 (1)因为 a 一 a = a 一 a ，所以 2a = a + a 同理有 2a = a + a 也成立；

(2) 2a = a + a (n > 1)成立； 2a = a + a (n > k > 0) 也成立.
n n一1 n+1 n n一k n+k

习题 2.2 A 组(P40)

1、 (1) a = 29； (2) n = 10； (3) d = 3； (4) a = 10 . 2、略 . n 1
3、 60。. 4、 2℃； 一11℃； 一37℃ . 5、 (1) s = 9.8t； (2) 588 cm， 5 s.

习题 2.2 B 组(P40)

1、(1) 从表中的数据看， 基本上是一个等差数列， 公差约为 2000， a = a + 8d = 0.26 人105 2010 2002
再加上原有的沙化面积 9 人105 ，答案为 9.26 人105；
(2) 2021 年底，沙化面积开始小于 8人105 hm2 .
2、略 .

2.3 等差数列的前 n 项和

练习 (P45)
1、 (1) 一88； (2) 604.5.
(59
n |6n + 5
2、 a = 〈|12 , n = 1
|l 12 , n > 1
3、元素个数是 30，元素和为 900.

习题 2.3 A 组(P46)

1、 (1) n(n +1)； (2) n 2； (3) 180 个，和为 98550； (4) 900 个，和为 494550.
2、 (1)将 a = 20,a = 54,S = 999 代入 S = ，并解得 n = 27；
1 n n n 2
将 a = 20,a = 54,n = 27 代入a = a + (n - 1)d ，并解得 d = 17 .
1 n n 1 13
(2)将 d = 1 , n = 37,S = 629代入a = a + (n - 1)d， S = ，
3 n n 1 n 2
| 2(1) n = 629 1 n
得〈(| ；解这个方程组，得 a = 11,a = 23 .

(3)将 a = 5 , d = - 1 , S = -5代入 S = na + n(n - 1) d ，并解得 n = 15； 1 6 6 n n 1 2
将 a = 5 , d = - 1 , n = 15代入a = a + (n - 1)d ，得 a = - 3 .
1 6 6 n 1 n 2
(4)将 d = 2,n = 15,a = - 10 代入a = a + (n - 1)d ，并解得 a = -38； n n 1 1
将 a = -38,a = - 10,n = 15 代入 S = ，得 S = -360 .
1 n n 2 n
3、 4.55104 m. 4、 4.
5 、这些数的通项公式： 7(n - 1)+ 2，项数是 14，和为 665. 6、 1472.

习题 2.3 B 组(P46)
1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的 . 代入等差数列前 n 项和公式，求出 5 年内的总 共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案： 292 元.
2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供 2 个证明方法供参考.
(1)由 S = 6a +15d， S = 12a + 66d， S = 18a +153d 6 1 12 1 18 1

可得 S + (S - S ) = 2(S - S ) .
6 18 12 12 6

(2) S - S = (a + a + + a ) - (a + a + + a ) 12 6 1 2 12 1 2 6

同样可得： S - S = S + 72d ，因此 S + (S - S ) = 2(S - S ) .
18 12 6 6 18 12 12 6
3、 (1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分；
所以到下午 6 时，最后一辆车行驶了 1 小时 40 分.
(2)先求出 15 辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶 4 小时，以后车辆行驶时间依次 递减，最后一辆行驶 1 小时 40 分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前 n 项和公式，
这个车队所有车的行驶时间为 S = 15 = 85 h.
2 2

a = 2k +1 =
a
a a
3 = 5 =
a a
1 3
，则
= q2 (k ≥1) .

乘以车速 60 km/h，得行驶总路程为 2550 km.
ln(n +1)J n n(n +1) n n + 1
4、数列 〈( 1 )卜 的通项公式为 a = 1 = 1 - 1

n 1 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1
类似地，我们可以求出通项公式为 a = 1 = 1 ( 1 - 1 )的数列的前 n 项和.
所以 S = (1 - 1 ) + ( 1 - 1) + (1 - 1 ) + + ( 1 - 1 ) = 1- 1 = n

n n(n + k) k n n + k

2.4 等比数列

练习 (P52)
1、
2、由
被 感 染
8

0.08
4
16
2
2 或 - 2
一 个 首
50
0.2
2
0.0032
为


题意可知，每一轮 的计算机台数构成
项为 a = 80 ，公比
1

q = 20 的 等 比 数

列，则第 5 轮被感染的计算机台数a 为 a = a q4 = 80 根 204 = 1.28根107 .
5 5 1
3 、 (1)将数列{a }中的前 k 项去掉，剩余的数列为 a , a , . 令 b = a , i = 1,2, ，则数 n k +1 k +2 k +i
列 a , a , 可视为 b , b , .
k +1 k +2 1 2
{b }是等比数列，即a , a , 是等比数列.
因为 bi+1 = = q(i ≥1) ，所以，
n k +1 k +2
b a
i k +i
(2) {a }中的所有奇数列是a , a , a , n 1 3 5
2k -1
所以，数列 a , a , a , 是以 a 为首项， q 2 为公比的等比数列.
1 3 5 1
(3) {a }中每隔 10 项取出一项组成的数列是a , a , a , ，
n 1 12 23

则 a12 = a23 = = a11k +1 = = q11 (k ≥1)
a a a
1 12 11k -10
所以，数列 a , a , a , 是以 a 为首项， q11 为公比的等比数列.
1 12 23 1
猜想：在数列{a }中每隔m (m 是一个正整数)取出一项，组成一个新的数列，这个数列
n
是以 a 为首项， qm+1 为公比的等比数列.
1
4、(1)设{an }的公比为 q ，则 a5(2) = (a1q4 )2 = a1(2)q8 ，而 a3 . a7 = a1q2 . a1q6 = a1(2)q8

5 1

所以 a5(2) = a3 . a7 ，同理 a5(2) = a1 . a9

(2)用上面的方法不难证明 an(2) = an一1 . an+1 (n > 1) . 由此得出， an 是 an一1 和 an+1 的等比中项. 同理： 可证明， an(2) = an一k . an+k(n > k > 0) . 由此得出， an 是 an一k 和 an+k 的等比中项 (n > k > 0) .
5、 (1)设 n 年后这辆车的价值为a ，则 a = 13.5(1一 10%)n . n n
(2) a = 13.5(1一 10%)4 必 88573 (元) . 用满 4 年后卖掉这辆车，能得到约 88573 元. 4

习题 2.4 A 组(P53)

1、 (1)可由 a = a q3 ，得 a = 一1， a = a q6 = (一1)人 (一3)6 = 一729 .
4 1 1 7 1
也可由 a = a q6， a = a q3 ，得 a = a q3 = 27 人(一3)3 = 一729
7 1 4 1 7 4

(2)由 〈(|a1q = 18 ，解得 〈(|a1 = 2(27) ，或 〈(|a1 = 一2(27) |la1q3 = 8 |lq = 3 |lq = 一 3
(3)由 〈(|a1q4 = 4 ，解得 q2 = 3， |la1q6 = 6 2

还可由 a , a , a 也成等比数列，即 a2 = a a ，得 a = a 9 .
5 7 9 7 5 9 9 a 4
5
(4)由 〈(|a1q4 一 a1 = 15 |la1q3 一 a1q = 6
①
②

①的两边分别除以②的两边，得

q2 + 1
q

= ，由此解得 q = 或 q = 2 . 2 2

当 q = 1 时，
2

a = 一16 . 此时 a = a q2 = 一4 .
1 3 1

当 q = 2 时， a = 1 . 此时 a = a q2 = 4 .
1 3 1

2、设 n 年后，需退耕a ，则{a }是一个等比数列，其中a = 8(1+10%), q = 0.1 . n n 1
那么 2005 年需退耕a = a (1+ q)5 = 8(1+10%)5 必 13 (万公顷)
5 1
3、若{a }是各项均为正数的等比数列，则首项 a 和公比 q 都是正数. n 1

由 a = a qn一1 ，得 a = a qn一1 = a q n2(一)1 = a (q2(1) )(n一1) .
n 1 n 1 1 1
那么数列{a }是以 a 为首项， q 2(1)为公比的等比数列.
n 1
4、这张报纸的厚度为 0.05 mm，对折一次后厚度为 0.05×2 mm，再对折后厚度为 0.05×22

a b a b a b 2 ab ( a b )2

mm，再对折后厚度为 0.05×23 mm. 设 a 0.05，对折 n 次后报纸的厚度为a ，则a 是一个
0 n n
等比数列，公比 q 2 . 对折 50 次后，报纸的厚度为
这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约3.84108m )，所以能够在地球和月 球之间建一座桥.
5、设年平均增长率为 q, a 105， n 年后空气质量为良的天数为a ，则a 是一个等比数列.
1 n n

由 a 240 ，得 a a (1 q)2 105(1 q)2 240 ，解得 q 240 1 0.51
3 3 1 105

6、由已知条件知， A , G ab ，且 A G ab ≥ 0 2 2 2 2
所以有 A≥ G ，等号成立的条件是 a b . 而 a,b 是互异正数，所以一定有 A> G .
7、(1) 2； (2) ab(a2 b2 ) . 8、 (1) 27， 81； (2) 80， 40， 20， 10.

习题 2.4 B 组(P54)

1、证明：由等比数列通项公式，得a a qm1， a a qn1 ，其中 a , q 0
m 1 n 1 1

所以
a a qm1
m 1 qmn
a a qn1
n 1
2、(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳 14 的原子核数为 1 个单位，年衰变率为 q，

n 年后的残留量为a ，则a 是一个等比数列. 由碳 14 的半衰期为 5730
n n
则 a a q5730 q5730 1 ，解得 q ( 1 ) 573( 1)0 0.999879
n 1 2 2
(2)设动物约在距今 n 年前死亡，由a 0.6 ，得a a q 0.999879n 0.6 . n n 1
解得 n 4221，所以动物约在距今 4221 年前死亡.
3、在等差数列 1， 2， 3，…中，
a n
有 a a 17 a a ， a a 50 a a
7 10 8 9 10 40 20 30
a s
由此可以猜想，在等差数列a 中
a q
n
ap
a k
k p q s n
(第 3 题)
若 k s p q(k , s, p, q N* ) ，则 ak as ap aq .
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 O
问题：由等差数列a 的图象，可以看出 ak k， as s
a p a q
n
p q

a a p q k s p q .
根据等式的性质，有 ak as k s ，所以 a a a a
p q

q5 = 10 一 1 = 4 亭 q10 = 16
S

猜想对于等比数列{an }，类似的性质为：若 k + s = p + q(k , s, p, q = N* ) ，则 ak . as = ap . aq .

2.5 等比数列的前 n 项和

练习 (P58)
1 1
1、 (1) S = a (1一 q6 )1 = 3(1一 26 ) = 189 . (2) S = a 一 a q1n = 一2.7 一 (一 )903 = 一 91 .
6 1 一 q 1 一 2 n 1 一 q 1 一 (一 1) 45
3

2、设这个等比数列的公比为 q

所以 S = (a + a + + a ) + (a + a + + a ) = S + q5 S = (1+ q5 )S = 50
10 1 2 5 6 7 10 5 5 5

同理 S15 = S10 + q10 S5 .

因为


S = 10 ，所以由①得
5

S

5

代入②，得 S = S + q10 S = 50 + 16〉10 = 210 .
15 10 5
3、该市近 10 年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项a = 2000，公比 q = 1.1 1
设近 10 年的国内生产总值是 S ，则 S = 2000(1一 1.110 ) 必 31874.8 (亿元)
10 10 1一 1.1

习题 2.5 A 组(P61)

1、 (1)由 q3 = a4 = 64 = 一64 ，解得 q = 一4，所以 S = a1 一 a4 q = 一1一 64〉 (一4) = 51 . a 一1 4 1一 q 1一 (一4)
1

(2)因为 S = a + a + a = a (q一2 + q一1 + 1)，所以 q一2 + q一1 + 1 = 3，即 2q2 一 q 一 1 = 0 3 1 2 3 3
解这个方程，得 q = 1或 q = 一 1 . 当 q = 1时， a = 3 ；当 q = 一 1 时， a = 6 .
2 1 2 2 1
2、这 5 年的产值是一个以a = 138〉1.1 = 151.8为首项， q = 1.1为公比的等比数列
1

所以 S = a1 (1一 q5 ) = 151.8〉 (1一 1.15 ) 必 926.754 (万元)
5 1 一 q 1 一 1.1
3、 (1)第 1 个正方形的面积为 4 cm2 ，第 2 个正方形的面积为 2 cm2 ，…，
这是一个以 a = 4 为首项， q = 1 为公比的等比数列
1 2
所以第 10 个正方形的面积为a = a q9 = 4〉 (1 )9 = 2一7 ( cm2 )
10 1 2

(2)这 10 个正方形的面积和为 S = a 一 a q110 = 4 一 2一7 12= 8 一 2一7 ( cm 2 ) 10 1 一 q 1 一 1
2
4、 (1)当 a = 1时， (a 一 1)+ (a2 一 2) + + (an 一 n) = 一1一 2 一 一 (n 一 1) = 一 (n 一 1)n 2
当 a 1时， (a 一 1) + (a2 一 2)