2024年自考线性代数试题.doc

全国10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184阐明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分,共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( )A.-8B.-2C.2D.82.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=( )A.0B.(1,-1)C. D. 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1= ( )A. B. C. D. 5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( )A.B. C. D. 6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆7.设向量组1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),则 ( )A. 1, 2,线性无关B. 不能由1, 2线性表示C. 可由1, 2线性表示,但表示法不惟一D. 可由1, 2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的所有特性值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设齐次线性方程组有非零解,则为( )A.-1B.0C.1D.210.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )A.对任意n维列向量x,xTAx都不小于零B.f的标准形的系数都不小于或等于零C.A的特性值都不小于零D.A的所有子式都不小于零二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵A=,P=,则AP3=_.14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_.15.已知向量组1,=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性有关,则数k=_.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_.17.已知P是3阶正交矩,向量_.18.设2是矩阵A的一个特性值,则矩阵3A必有一个特性值为_.19.与矩阵A=相同的对角矩阵为_.20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_.三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)21.求行列式D=22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.23.若向量组的秩为2,求k的值.24.设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特性值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特性值及与B相同的对角矩阵.26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特性值只能是.全国7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1.设3阶方阵A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.122.计算行列式=( )A.-180B.-120C.120D.1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( )A.B.2C.4D.84.设1，2，3，4都是3维向量，则必有( )A.1，2，3，4线性无关B.1，2，3，4线性有关C.1可由2，3，4线性表示D.1不可由2，3，4线性表示5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )A.2B.3C.4D.56.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )A.A与B相同B.| A |=| B |C.A与B等价D.A与B协议7.设A为3阶方阵，其特性值分别为2,1,0则| A+2E |=( )A.0B.2C.3D.248.若A、B相同，则下列说法错误的是( )A.A与B等价B.A与B协议C.| A |=| B |D.A与B有相同特性值9.若向量=（1，-2,1）与=(2，3，t)正交，则t=( )A.-2B.0C.2D.410.设3阶实对称矩阵A的特性值分别为2,1,0，则( )A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）11.设A=,B=，则AB=_.12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=_.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_.14.设=（-1，2，2），则与反方向的单位向量是_.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W=x | Ax=0的维数是_.16.设A为3阶方阵，特性值分别为-2，1，则| 5A-1 |=_.17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_.18.实对称矩阵所对应的二次型f (x1, x2, x3)=_.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=，2=且r(A)=2，则Ax=b的通解是_.20.设=，则A=T的非零特性值是_.三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）21.计算5阶行列式D=22.设矩阵X满足方程 X=求X.23.求非齐次线性方程组的通解.24.求向量组1=（1,2，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.25.已知A=的一个特性向量=（1,1，-1）T，求a，b及所对应的特性值，并写出对应于这个特性值的所有特性向量.26.设A=，试确定a使r(A)=2.四、证明题（本大题共1小题，6分）27.若1，2，3是Ax=b(b0)的线性无关解，证明2-l，3-l是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.全国4月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共20小题，每题1分，共20分）1.已知2阶行列式=m ,=n ,则=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式|B|A|之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.84.已知A=，B=，P=，Q=，则B=（ ）A.PAB.APC.QAD.AQ5.已知A是一个34矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误的是（ ）A.只含有一个零向量的向量组线性有关B.由3个2维向量组成的向量组线性有关C.由一个非零向量组成的向量组线性有关D.两个成百分比的向量组成的向量组线性有关7.已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3，线性有关，则（ ）A.1必能由2,3，线性表出B.2必能由1,3，线性表出C.3必能由1,2，线性表出D.必能由1,2,3线性表出8.设A为mn矩阵，mn,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充足必要条件是A的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n 9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特性值的矩阵为（ ）A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）=的正惯性指数为（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.设矩阵A=,B=,则ATB=_.13.设4维向量（3,-1,0,2）T,=（3,1,-1,4）T，若向量满足2=3，则=_.14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=,则|A-1|=_.15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_.16.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_. 17.设n阶可逆矩阵A的一个特性值是-3，则矩阵必有一个特性值为_.18.设矩阵A=的特性值为4，1，-2，则数x=_.19.已知A=是正交矩阵，则a+b=_。20.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_。三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）21.计算行列式D=的值。22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。23.设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其他向量。24.已知矩阵A=，B=.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。25.问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示所有解）。26.设矩阵A=的三个特性值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=。四、证明题（本题6分）27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。全国1月高等教育自学考试阐明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共30分）1.设行列式（ ）A.B.1C.2D.2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ）A. A-1B-1C-1B. C-1B-1A-1C. C-1A-1B-1D. A-1C-1B-13.设1，2，3，4是4维列向量，矩阵A=（1，2，3，4）.假如|A|=2，则|-2A|=（ ）A.-32B.-4C.4D.324.设1，2，3，4 是三维实向量，则（ ）A. 1，2，3，4一定线性无关B. 1一定可由2，3，4线性表出C. 1，2，3，4一定线性有关D. 1，2，3一定线性无关5.向量组1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩为（ ）A.1B.2C.3D.46.设A是46矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A是mn矩阵，已知Ax=0只有零解，则如下结论正确的是（ ）A.mnB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解C.r（A）=mD.Ax=0存在基础解系8.设矩阵A=，则如下向量中是A的特性向量的是（ ）A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A=的三个特性值分别为1，2，3，则1+2+3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x1，x2，x3）=的矩阵为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式=_.12.设A=，则A-1=_.13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_.14.实数向量空间V=（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0的维数是_.15.设1，2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（52-41）=_.16.设A是mn实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_.17.设线性方程组有无穷多个解，则a=_.18.设n阶矩阵A有一个特性值3，则|-3E+A|=_.19.设向量=（1，2，-2），=（2，a，3），且与正交，则a=_.20.二次型的秩为_.三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）21计算4阶行列式D=.22.设A=，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.23.设向量=（3，2），求（T）101.24.设向量组1=（1，2，3，6），2=（1，-1，2，4），3=（-1，1，-2，-8），4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个极大线性无关组；（2）将其他向量表示为该极大线性无关组的线性组合.25.求齐次线性方程组的基础解系及其通解.26.设矩阵A=，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.四、证明题（本大题6分）27.已知向量组1,2，3，4线性无关，证明：1+2，2+3，3+4，4-1线性无关.