2024年线性代数试题库矩阵.doc

1．对任意阶方阵总有（ ）
A. B.
C. D.
答案：B

2．在下列矩阵中，可逆的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
3．设是3阶方阵，且，则（ ）
A.-2 B.
C. D.2
答案：B
4．设矩阵的秩为2，则（ ）
A.2 B.1
C.0 D.-1
答案:B
提示：显然第三行是第一行和第二行的和
5．设，矩阵满足方程，求矩阵.
答案：
解：

显然可逆，因此：

6．求下列矩阵的秩

答案：3
7．设矩阵，矩阵由矩阵方程确定，试求.
答案：

因此：
8．设矩阵可逆，证明
证明：因为，矩阵可逆，因此

又因为，因此：
9若是( )，则必为方阵.
A. 分块矩阵 B. 可逆矩阵
C. 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵
答案 ：B
10.设阶方阵，且，则 ( ).
A. B.
C. D.
答案 ：A
11若( )，则
A. B. 秩=秩
C. 与有相同的特性多项式
D. 阶矩阵与有相同的特性值，且个特性值各不相同
答案：B
12.设，则______.
答案：
13.设矩阵，且秩，为的一个阶子式，则_____.
答案 ：0
14已知，且，则______.
答案：1
15.已知，求矩阵。
解：矩阵可逆，因此由

16.若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.
证明：因为矩阵为非奇异矩阵，因此
，即：
因为矩阵为对称矩阵，因此，则有：
因此：，即也是对称矩阵.。
17.设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算故意义的是（　　　）
A. B.
C. D.
答案：C
18.设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（　　　）
A. B.
C. D.
答案：B
19.设为阶矩阵，秩，则秩（　　　）
A.0 B.1
C. D.
答案：A
因为是由矩阵的代数 余子式组成，不过秩，因此其代数余子式所有为0，因此：
20矩阵的秩为（　　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：3
21.设为2阶方阵,且,则_____________.
答案：2
22.设是3阶矩阵,秩=2,则分块矩阵的秩为_____________.
答案 ：5
23.设矩阵,求矩阵,使
解：由得：，，

因此：
24. 设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_____.
答案：9
提示：
25. 设，且，则____.
答案：

26. 设，，，则_____.
答案 ：

27. (5分)设且满足，求
解：可逆
由，得

因此：
28. 设矩阵
其中，, .
为的伴随矩阵.计算
解：

显然：
29．设是两个阶方阵，若则必有（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
答案：D
30．若都是方阵，且，则（ ）
A．-2 B．2
C． D．
答案：C
31．矩阵的伴随矩阵（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
32．设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
33．设为4阶矩阵，，则 .
答案：3
34．设，则 .
答案：－32
35．设， ，则 .
答案：
36．= .
答案：
提示：用 分块对角矩阵做。
37．设，求满足关系式的3阶矩阵

，
因此：
38．设矩阵的秩为2，求.
解：
因为：矩阵的秩为 2，因此
39．已知阶方阵满足关系式，证明是可逆矩阵，并求出其逆矩阵.
证明：
因此是可逆矩阵，且其其逆矩阵为：
40．设是3阶方阵，且，则（　　　）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
答案：A
41．设矩阵，则（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
42．设是阶方阵，，则下列结论中错误的是（　　　）
A．秩
B．有两行元素成百分比
C．的个列向量线性有关
D．有一个行向量是其他个行向量的线性组合
答案：B
43．设均为阶矩阵，且秩＝秩，则必有（　　　）
A．与相同 B．与等价
C．与协议 D．
答案：B
44．＝______________________.
答案：
45．若均为3阶矩阵，且，则_____________________.
答案：－54
46．设矩阵，其中则秩＝_______________.
答案：1
47．设， ，矩阵满足方程，求.
答案：
解：，

48．设是阶方阵，，证明
证：
因为，因此：
49.设是3阶方阵，且，则（ ）
A．-6 B．-2
C．2 D．6
答案：B
50．设，则的伴随矩阵（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
51．__________。
答案：
52．设，则__________。
答案：
53．设且，求。
答案：
解：
，很轻易得到：是可逆的。因此：

54．设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。
证：
因此：可逆，且其逆阵为。
55．设阶方阵满足，则必有（　　　）
A． B．
C． D．
答案：D
56．设阶方阵中有个以上元素为零，则的值（　　　）
A．不小于零 B．等于零
C．小于零 D．不能确定
答案：B
56．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且，，则（　　　）
A．4 B．2
C．1 D．-4
答案：A
57．设是4阶方阵，，则______.
答案：-8
58．设矩阵，则________.
答案：
59．设，且矩阵满足,求。
解：
，轻易证明可逆，因此

因此：
61．设均为阶方阵，则必有（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
62．设，则（　　　）
A． B．
C． D．
答案：C
63．若方阵与方阵等价，则（　　　）
A．
B．
C．
D．存在可逆矩阵，使
答案：A
64．，，（为3阶单位矩阵），则___________。
答案：
65．已知，且，则___________。
答案：

66．设，为的伴随矩阵，则___________。

答案：
67．已知，则___________。
答案 ：
68．设为阶方阵，满足
若，求矩阵。

可逆。因此：
，得
69．设是4阶矩阵，则（　　　）
A． B．
C． D．
答案：C
70．设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
71．设是2阶方阵可逆，且，则（　　　）
A． B．
C． D．
答案：B
72．设均为3阶矩阵，若可逆，秩，那么秩（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
73．设为阶矩阵，若与阶单位矩阵等价，那么方程组（　　　）
A．无解 B．有唯一解
C．有无穷多解 D．解的情况不能确定
答案：B
74．设矩阵，则__________.
答案：
75．设矩阵，则行列式__________.
答案：4
76．矩阵的秩等于__________.
答案：3
77．设矩阵，求矩阵方程的解.
解：，很轻易得到是可逆的。因此：
，因此：
78．设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵.
证：为同阶对称矩阵，因此 ：

因此：也是对称矩阵。
79.设矩阵，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
81.设是方阵，如有矩阵关系式，则必有（ ）
A. B. 时
C. 时 D. 时
答案：D
82.设， .则 .
答案：
84.设，.求（1）；（2）.
答案：（1）
（2），而
.
因此
85.设矩阵，求矩阵使其满足矩阵方程.
答案：
解：即，而

因此
86.设矩阵
求：秩；
解：对矩阵施行初等行变换

因此：秩为3.
87.设方阵满足，试证明可逆，且证：

可逆，且
88.设行矩阵，,且，则______.
答案：0
89.设，为的伴随矩阵，则_____.
答案：4
提示：
而，因此：
90.若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为_____.
答案：
解答：
要使得矩阵的秩有最小秩，则
91.已知矩阵满足，其中， ， ，求矩阵.(6分)
解：轻易证明矩阵都可逆，因此：
，

92.设均为阶方阵，且，证明的充足必要条件是
证：
因为：，因此：
若

若，则
93．设矩阵，则下列矩阵运算故意义的是( )
A. B. C. D.
答案：B
94.设阶方阵满足，其中是阶单位矩阵，则必有【　　】
A. B. C. D.
答案：C
95.设为3阶方阵，且行列式 ,则 【　　　】
A.-4 B.4 C.-1 D.1
答案：A
96．设矩阵为的转置，则= 。
答案：
97．设矩阵则行列式的值为 .
答案：1
99．设是阶方阵，且的元素全都是1，是阶单位位矩阵。证明：
证明：
因为的元素全都是1，因此：的元素所有为，即：
因此：，即：
100.设是阶方阵，是矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
101. 为同阶矩阵，为单位阵，若，则下列各式中总是成立的有( )
A. B. C. D.
答案：D
102.已知有一个阶子式不等于零，则秩 ( )
A. B. C. D.
答案：D
103.设是阶阵，且，则由( )可得出.
A. B. C.秩 D. 为任意阶矩阵
答案：A
104.，则_______
答案：
105.A=，则秩_______
答案：3
106. =_____
答案：
107.若，且不是单位阵，则_______
答案：0
108. ，则_______
答案：
109.=_______
答案：
110. 均为阶可逆阵，则_______
答案：

111.设是5阶方阵，，则_______
答案：32
112，求
答案：
113. ， ，求
答案：
解：

114.阶方阵满足，其中给定，证明可逆，并求其逆矩阵。
证：
因此可逆，且
115．设矩阵，，则为（ ）
A. B.
C. D.7
答案：D
116．设均为阶矩阵，且可逆，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则可逆 B.若，则
C.若，则不可逆 D.若，则
答案：B
117．设3阶方阵的元素全为1，则秩为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：B
118．设为3阶方阵，且行列式，则之值为（ ）
A.-8 B.-2
C.2 D.8
答案：A
119．设为阶方阵，且的行列式，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
120．设矩阵，则 .
答案：

121．设均为3阶方阵，且，则 .
答案：－6
122．设3阶方阵的秩为2，矩阵
，
若矩阵，则秩= .
答案：2
123．设，则 .
答案：
124．已知矩阵，秩，求的值.
答案：1
，因此
125．试求矩阵方程中的未知矩阵。
解：
因此：
126.设且，求
解：
可逆。又
从而得到：

因此：
127.已知，证明：可逆，且。
证：因为，又因为，因此：
，显然可逆，且。
128.设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。
证：有得：
因此：
假设不可逆，则，因此：

因此，这与题目是阶非零矩阵矛盾，因此可逆。
129.两矩阵即能够相加又能够相乘的条件是______
答案：两矩阵为同阶方阵。
130. 已知，且其秩为2，则______
答案：3
131.若是阶可逆 矩阵，是阶可逆矩阵，，则______
答案：
132.
设与均为阶方阵，则下列结论中（ ）成立。
A ,则,或；
B ，则，或；
C ,则,或；
D ,则,或。
答案：B
133
设为阶方阵，且，则
答案：

134.求解矩阵方程
答案：
135设3阶方阵按列分块为（其中是的第列），且，又设，则
答案：-100
136
设的伴随矩阵为,则
答案：
137
设，且,求矩阵。
答案：
138
设，为三阶非零矩阵，且,则
答案：-1
139
已知满足,求矩阵。
答案：
140
答案：
141
设则
答案：
142
若为同阶方阵，则的充足必要条件是
答案：
143设都是阶矩阵，且 , 则下列一定成立的是（ ）
或 B都不可逆
C中最少有一个不可逆 D
答案：C
144设均为可逆矩阵，则分块矩阵亦可逆，
答案：
145设为3阶可逆矩阵，且,则
答案：
146均为阶矩阵，下列各式中成立的为（ ）
（A）
（B）
（C）则或
（D）若，则或
答案：D
147设A为6阶方阵，且| A | =2，则=
答案：64
148设，将A表示成3个初等矩阵的乘积，即A=
答案：
149．任一个m×n矩阵A，仅通过初等行变换可化为的标准形式。（ ）
答案：×
150．A为5行6列矩阵，且r ( A ) =5，则A一定没有不等于0的5阶子式。（ ）
答案：×
151．两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 （ ）
答案：×
152.A，B均为n阶方阵，A≠O，且AB=O，则B的秩（ ）
（A）等于O （B）小于n
（C）等于n （D）等于n-1
答案：B
153.已知且A2—AB=E，求矩阵B。
答案：
解:,故A可逆,因为故,即 即,即,故(注:作行变换得到也正确)
故
154．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵（m≠n），则下列（ ）的运算成果是n阶方阵。
（A） AB （B） BTAT （C） （AB）T （D） ATBT
答案：D
155设A，B为n阶方阵，A≠0，B≠0，且AB＝0，则A，B的秩（）
（A）一个小于n，一个等于n （B）都等于n
（C）都小于n （D）必有一个等于零
答案：C
156．下列结论中，不正确的是 （ ）
（a） 设为n阶矩阵，则
（b） 设均为矩阵，则
（c） 设均为n阶矩阵，且满足，则
（d） 设均为n阶矩阵，且满足，则
答案：C
157．设均为n阶矩阵，为正整数，则下列各式中不正确的是 （ ）
（a） (b)
(c) (d)
答案：B
158．设为n阶可逆矩阵，，是其伴随矩阵，则
答案：
159．设矩阵。矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。

解：由

知可逆，且
由

160．设n阶矩阵非奇异，，是其伴随矩阵，则（ ）
（a）= (b) =
(c) = (d)=
答案：C
161.设为阶矩阵，为阶矩阵，且。若，
则_______
答案：
162.设，为三阶非零矩阵，且。则
答案：－3
163. 已知，其中，求矩阵。
解：由，有
因此
由

因此 。
164. 设,求和
解

设是实对称矩阵，且，证明:
证明：
其主对角线上的元素为
又，是实对称矩阵
即
已知三阶方阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。
解：

注：也能够用初等变换求逆：

1． 解矩阵方程
(2)
解：
设阶矩阵满足是正整数。试证可逆，且

证明：
可逆且
7.若方阵满足,证明及都可逆，并求及.
证明：由，有
因此可逆且
又由有
因此可逆且
已知,其中,求及
因为,因此可逆，由
有

因此
设是三阶方阵，且求.
解：

已知矩阵的秩为3，求的值。
解:将矩阵化为行阶梯形

因此当初矩阵的秩为3
设是阶方阵，若存在阶方阵，使,证明。
证明：反证法。设，则可逆，而由，有
与矛盾，因此
确定参数，使矩阵的秩最小
解：将矩阵化为行阶梯形

当初矩阵的秩最小为2
设是三维列向量，是的转置，若,则
解：，
设为阶矩阵，分别为对应的伴随矩阵、分块矩阵,则的伴随矩阵

设是三阶方阵,则
解：
设四阶矩阵,且矩阵满足关系式
,求矩阵。
解：先化简，再计算。

因为

设列矩阵证明
（1） 的充足必要条件是
（2） 当初，是不可逆矩阵.
分析：线性代数中，若要证明不可逆或，往往能够用反证法：假设 可逆，再在已知等式两端同乘以,即可得到所需要的结论。或者直接由有非零解，得。
证明：（1）

因为因此从而
（2）若，由（1）知
假设可逆，即，将式两端同时乘以，得 即 由有 这与矛盾，故是不可逆矩阵.
或者：因 故 当有
因为故 有非零解，与只有零解矛盾，
因此
设为矩阵，为矩阵，且，证明：
（1）假如则
（2）假如则
分析：矩阵乘法不满足消去律，故不能直接由得或,也不能通过右乘得，因为不是方阵，无逆矩阵可言。本题能够从如下几个方面来考虑：
① 为了利用左乘或右乘一个可逆矩阵来得到，能够把适当分块，分出一个可逆子
② 相称于的每一列是的解，这时只需取转置即可，的每行从而的每列恰好是齐次组的解（仅有零解）
③ 利用矩阵的标准形来证明。
证明：（1）措施一
因为，把的列适当加以调整（相称于右乘可逆初等矩阵，仍保持），不妨设有,其中为矩阵，为矩阵，且
于是由得,两边右乘得，
措施二：由得，阐明的每一列都是齐次方程组的解，但,即的秩与方程未知数的个数相同，齐次方程组只有零解，即的每列从而的每行必须都是零向量，也就是
措施三：因，故存在可逆矩阵，使得即
由,两边右乘,得
即有，再两边右乘,得证
（2）若，则
由（1）知，即
1． 若，则
答案：
A，B为n阶方阵，则下列正确的是 （ ）
（e） AB=0, B0, 则 A=0
（f） (A+B)=A+2AB+B
（g） 若 AC=BC, C可逆, 则 A=B
（h） 若 A=I, 则A=I
答案：C
A为n阶可逆阵，则下列各项正确的是 （ ）
（a）(2A)=2A (b) (2A)=2A (c) [(A)]=[(A)]
(d) A=
答案：A
n 阶矩阵A和B , 且A可逆，下列正确的是 （ ）

（a） r(AB)= r(A)+r(B) (b) r(AB)=r(A)r(B) (c) r(AB)=r(B) (d) r(AB)＜r(B)
答案：C
A=,讨论A的秩。
答案：
因此 当
当
当