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一个数学家的辨白
一个数学家的辨白
［英］G·H·哈代
From 北大未名站 信区: Mathematics

假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话，我是希望这座碑高耸入云，以至人们见不到雕像呢，还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢？我会选择前一种，而斯诺博士可能会选择后一种。

序 言

　我感谢C·D·布劳德(Broad)教授和C·P·斯诺博士对我提出的许多宝贵的批评。他们读过我的初稿。我已将他们提出的所有建议的内容实质差不多都写入了我的书中，同时删除了许多生硬晦涩的词语。
但是有一种情况我是以不同的方式处理的，那就是§28。这一章节是在我的一篇短文的基础上撰写的。那篇短论文是在年初我投稿到《我发现了》(此杂志是由剑桥阿基米德协会主办的学术刊物)的。对这篇不久前我曾以非常认真的态度写出的东西加以修改，我的确感到为难。再说，假如真要我设法接受这些批评(即严肃地看待这些重要的评论)，那我就只得将这章节大大扩展，直至完全破坏这篇论文，使其面目全非。鉴于此，我就没改动它，而是把批评家对我论文所作的评论的要点之简述以脚注的形式加在文章最后。

G·H·哈代
1940年7月l8日

前言

　　这是一个极平常的基督学院高桌晚餐①，哈代应邀做客，他刚刚作为萨德莱里恩(Sadleirian)讲座教授回到剑桥。在这之前我已经从剑桥年轻一辈数学家那里听到一些他的故事，他们对哈代回来都感到非常高兴，称他是一位真正的数学家。与物理学家们常挂在嘴上的迪拉克(Dirac)和玻尔等人不同，哈代是最纯正的，他超凡脱俗，举止诡异，思想激进，而且对于任何事物急于表达自己的见解。那是193l年的事，当时英语中还不流行以上用语，但人们会笼统地说他才智出众。

　　顺着桌子看过去，我仔细地打量着哈代：他看上去五十出头，头发已灰白，皮肤上太阳斑很深，呈现出印第安人的青铜色。他的脸长得很俊秀——高高的颧骨，细鼻梁，高傲而威严，但娱乐时会像顽童般捧腹大笑。他有一对深棕色的眼睛，明亮如少女——这种眼睛在思维敏捷的人中很少见。那时剑桥有很多杰出的人，我当时想，即使如此，哈代也是最出众的。

　　我不记得他当时的穿着。在他的长黑袍②里面很可能是一件运动衣和法兰绒长裤。与爱因斯坦一样，他穿着总以舒适为原则；但与爱因斯坦不同的是，他会变换便服款式，穿起昂贵的丝质衬衫。

　　晚餐后我们坐在休息室的桌子边喝葡萄酒时，有人告诉我说，哈代想跟我谈谈板球。我一年前负责板球队，但基督学院当时很小，即使是初级队员的角色也很快确定了。我被带到哈代身边坐下，没有人将我介绍给他。如我后来所发现的那样，在所有正式场合，他都腼腆而害羞，害怕被介绍给人。他点点头，似乎是意识到了我的存在，然后，在没有任何开场白的情况下，开始问我：

　　“我想你应该对板球有所了解，是吗?”“是的，”我回答，“我知道一点。”

　　他立刻严肃地考问我玩过板球吗?是什么风格的球员?我猜测他是因为害怕与人打交道才选择了学术界，这一圈子的人都献身于研究而从不娱乐。我煞有介事地炫耀着自己。他显示出不完全相信我的回答，接下去提出了一些战术问题：一年前 (1930年)的最后一场比赛我该选谁来当队长?如果入选队员认为我可以挽救英格兰队，那么我应该采取什么战略和战术呢? (“如果你很谦虚，你可以作为非上场队长来回答。”)如此等等，全然不理会桌上其余的人。他完全入迷了。

　　正如我后来从无数次观察中所发现的那样，哈代无论是对自己还是其他人都不轻信表面印象。按哈代的观点，了解一个人的惟一方法是考试，无论是数学、文学、哲学，还是政治……无一例外。如果谁被考问难住了，其水平也就可以确定了。在哈代那聪明、高效率的头脑中，所有的事情都是有条不紊的。

　　那天晚上在休息室里，哈代一定要弄清我是否是一名还过得去的板球运动员，别的他什么也不关心。最后他像孩子般地坦然笑了：通过我们之间的交谈，他充满了信心，毕竟菲南尔球场(学校的板球场)下一季度可以利用起来了。

　　正如我与劳合－乔治(Lloyd George)的相识应该归功于他对颅相学的爱好一样，我与哈代的友谊应归功于我花了太多的青春在板球上，我不知其教益所在，但他给我带来了好运，这是我一生中与知识分子的最珍贵的友谊。正如我刚才所提到的，他的头脑聪明而高效，以至于在他的眼中，其他人似乎都显得有点糊涂、平淡和慌乱。他不是爱因斯坦或拉瑟福德(Rutherford)那样的大天才，凭着他一向清晰的头脑，他说，“天才”一词他无论如何配不上，充其量他也只在一个短时期内可称得上世界上第五位最纯正的数学家。他的人品如他的头脑一样绝妙、坦率，他总是宣传说，他的朋友和合作者利特伍德(Littlewood)是比他更有才华的数学家，他的门徒拉曼纽扬(Ramanujan)才真正具有一个大数学家所具有的天才素质(尽管是狭义的，但并不需要精确定义)。

　　当哈代谈到这些朋友的时候，大家都认为他低估了自己。的确，他人品高尚，从无忌妒之心；但是我认为如果谁不接受他对自己的评价，谁就误解了他的品质。我倾向于相信他在《一个数学家的辩白》中的论点，即既谦虚又自负：“当我失望地却又不得不听那些浮夸而令人厌倦的谈话时，我就会对自己说：‘我做了一件你从未曾做过的事，那就是与利特伍德和拉曼纽扬在某种平等条件下的合作。’”

　　无论如何，哈代在数学界的排名只能留给数学史专家了(尽管这是不可能的，因为他的许多优秀的研究都是与人合作的)。但有一点，哈代比爱因斯坦、拉瑟福德或其他任何大天才都要杰出，那就是任何脑力工作，重要的、不重要的或十足的游戏，他都可以使其成为艺术。我认为，正是上帝恩赐给他的这一天赋，才给了他从事脑力工作的乐趣，尽管哈代本人可能没有意识到这一点。当《一个数学家的辩白》第一次出版时，格雷厄姆·格林 (Graham Greene)在一篇书评中写到，本书及其亨利·詹姆斯的注解是对一个具有创造性的艺术家的素质的最精彩的描述。回忆一下哈代对所有他周围人的影响，我相信这是千真万确的。

　哈代于1877年出生于一个中层职员家庭。父亲是肯兰莱学校的会计和美术教师，后来就职于一所不大的私立学校；母亲是林肯教师进修学院的教师，双亲都很有才华，特别是具有较高的数学素养。生在这样的家庭，哈代自然遗传了很多数学基因。与爱因斯坦不同的是，他在孩提时代就表现出超人的数学天赋：还在哑哑学语的时候就有极高的智商(I.Q．)；两小时就可以写出亿位数；去教堂做礼拜时，他把圣歌中的数字进行因数分解，以此为乐。从那时起他就喜欢与数字打交道，这一嗜好导致了后来发生在拉曼纽扬病床上的传奇故事。尽管这一故事已众所周知，但我不得不再次重述。

　　孩提时代的哈代受到良好的启蒙教育，受维多利亚文化的熏陶很深。他的父母似乎有点守旧，但非常善良。能在这样一个维多利亚家庭中度过童年，无疑他是非常幸运的，尽管智力教育受到过分的苛求。他有两个与众不同之处。首先，他很小(不到 12岁)就有极高的自 性。他的父母知道他聪颖过人，而他也的确如此，在班上他所有课程都名列第一，但由此也带来他最厌倦的事情：他必须站到台前接受颁奖。有一次我们共进晚餐时，他对我说，他常常试图故意做错答案，以免受这种无法忍受的折磨，但这种蓄谋的错误总是太小，每次他还是不得不去领奖。

　　年龄稍大一点，他的自觉意识有所丧失，变得极具挑战性。正如他在《一个数学家的辩白》中所言，“我不记得在孩提时代对数学有过强烈的爱好，这种数学家的素质我也许具备，但我并不觉得十分惊人。我对数学的兴趣是基于应付考试和争取奖学金的需要：我必须战胜其他同学!这似乎成了我决策的动力。”遗憾的是，他不得不生活在过于棘手的世界中，他的脸皮太薄，不能有效地保护自己，因而不得不努力强化自我意识，但后来他有时又犯一意孤行的毛病；另一方面，这也使他坦率正直，勇于反省，能够用肯定、简洁的语言作出自我评价，这些与爱因斯坦截然不同。爱因斯坦常常不得不抑制自我意识，使自己保持理智状态来研究外面的世界。

　　我相信这种矛盾或紧张的性格是导致他行为古怪反常的原因。他是典型的反自恋主义者，他不能忍受被人拍照。据我所知，他一生只照过五次快照。他的房间不能有任何能照得见人的玻璃，连剃须用的镜子也不例外。他住进旅馆的第一件事就是用毛巾把所有的镜子都罩起来。这种行为即使对一个长相古怪的人也属反常，何况他相貌比普通人都漂亮，这种举动更显得古怪。当然，自恋与反自恋都无法改变自己在外人眼中的相貌。

　　这一行为看起来有些古怪，实际上也确实如此。不过，他与爱因斯坦确有一些差异。与爱因斯坦相处很久的人——如因菲尔德(Infeld)——发现与爱因斯坦相处时间越长，越感到爱因斯坦古怪，我确信我也会有同感。而哈代则相反，他的行为之古怪也与众不同，似乎是某一类上层建筑导致了这种性格。但这种性格与常人仍有类同之处，只是他更加怪癖一些。

　　儿童时代哈代的另一与众不同之处是更加务实，他要除去一生中所有事业上的障碍。哈代凭着他对数学无限的忠贞、执著，无人可以与他相提并论。他知道特权的优越性，也知道他曾经拥有它。他的家庭并不富裕，仅靠教师的微薄收入，但他受到了19世纪英格兰最好的教育。这种特殊的精神财富在这个国家永远比其他财富更有意义。奖学金总是为杰出者而设的，关键是如何赢得它，小哈代连微小的失去奖学金的几率也没有——尽管有不少小威尔斯(Wells)或小爱因斯坦。从12岁起他就不得不参与竞争，他的天才也受到了人们的关注。

　　事实上，由于他在肯兰莱时数学上取得的一些成绩，12岁那年他在温切斯特获得了一个奖学金。温切斯特在当时及后来相当长一段时间内是英格兰数学方面最好的学校。(附带说一下，人们会惊讶现在是否还有哪所学校能如此灵活?)他一年级在那里学习数学，他的成绩是拔尖的。后来，他承认当时在那里受到了极好的教育，但学习是被迫的。他不喜欢这所学校，但喜欢它所开设的课程。与所有公立的维多利亚学校一样，温切斯特非常简陋，有一年冬天他差一点送了命。他羡慕寄住在别人家的利特伍德，他是圣·保罗学校的走读生，也羡慕在其他制度较松的普通学校的朋友们。他离开温切斯特以后再也没有走进那所学校。庆幸的是他终于离开了它，走上了正确的人生路，申请到了三一学院的公开奖学金。

　　他对温切斯特有一种奇特的怨情：他天生是一个球类运动员，有一双光彩夺目的眼睛。50岁时他常常能够打败大学网球亚军，60岁时我还看见他在板球场上令人吃惊地击球。遗憾的是，他在温切斯特从未受过正规训练，他的打球方法不大正确。他觉得，如果能够受到正规训练的话，他一定会成为一个优秀的板球击球手，即使不是一流的，也不会差很远。就像他对自己的所有评价一样，我相信他的话非常正确。奇怪的是，维多利亚高级比赛居然漏选了这样一位天才选手。我猜想无人会想到应在高级学者中寻找运动选手，这是多幼稚、愚蠢而又保守的想法。

　　对于他那个时代来说，一个温切斯特学院的毕业生进入新学院是很自然的，这对他的学术生涯不应该产生明显的影响(尽管他一直对牛津比剑桥更钟爱一些，他如果在牛津呆一辈子，我们中的有些人就会失去结识他的机会)。但他决定进三一学院，其理由被他在《一个数学家的辩白》中幽默而不加掩饰地解释为：“我的思想发生变化是在我15岁的时候(这种变化方式很特别)。有一本名叫《三一学院的一个年轻人》的书，署名为‘阿伦·圣·奥宾’(实际上是弗朗西丝·马歇尔夫人)，是一套有关剑桥生活丛书中的一本……书中有两名主人公，第一主人公叫弗劳尔斯，他几乎是完美的化身；第二主人公布朗很有些女人气质。弗劳尔斯和布朗在大学生活中遇到很多妨碍学习的情况……弗劳尔斯摆脱了所有这些麻烦，成为数学学位考试的第二名和年级第一名，自然得到了一个奖学金(正如我当时所假设的那样)。而布朗则失败了，辜负了父母的期望，开始酗酒。有一次，在暴风雨中他处于醉酒后的狂乱状态，被牧师的祷文拯救出来。他连普通学位都难以拿到，最后成为一名传教士。这些不愉快的事
情并没有影响他们间的友谊，当布朗第一次在高级职员休息室里喝着葡萄酒、吃着核桃仁的时候，弗劳尔斯对他的行为大惑不解，们却充满着爱怜之情。

　　现在弗劳尔斯是一个非常正直的研究员(迄今为止‘阿伦·圣·奥宾’所能找到的一个)，然而，就连我这个思想单纯的人也不认为他是聪明人。如果他能作出这些成绩，我为什么不能?给我印象最深的是休息室的最后一幕，它使我着了迷，从那时起，直到我得到三一研究基金为止，对我来说，数学就等同于三一研究基金。

　　22岁时，他在剑桥数学荣誉学位第二部分考试中荣获第一名，并得到了三一研究基金。在耶期间，有两个小插曲。一个是宗教方面的，表现为高素质的维多利亚处理方法。哈代决定——我认为他在离开温切斯特以前就有此念头——不相信上帝。对于他来说，这是一个黑门分明的决定，如他脑海里的所有其他概念一样明确。礼拜仪式在三一学垸是强制性的。毫无疑问，哈代以他特有的迟疑的口吻告诉教长说，他不能虔诚地参加礼拜。教长是个自命不凡的小官吏，坚持要哈代写信告诉他的父母。教长知道他的父母是正统的宗教信徒，而哈代更加清楚，这一消息会使他父母非常痛苦——对于70年后的我们是无法想象这一痛苦的。

　哈代与他的良心抗争着，他不能世俗地放弃这一决定。他甚至不善处世到这种程度：去求教于一些老于世故的人，诸如乔治·特里维廉(George Trevelyan)和德斯蒙德·麦卡锡 (Desmond MacCarthy)等，他认为他们会知道怎样处理这类事，这是有一天下午在菲南尔球场他抱怨此事时告诉我的。最后他终于给父母写了信。部分是由于这件事，他对宗教一直持怀疑态度，并愈来愈甚：他拒绝参加任何学院的礼拜，即使是正式公务 (如选举院长)，他也不迁就。他的朋友中也有牧师、教士，但上帝是他的敌人。所有这些有一个19世纪的声音在说：或许有谁错了，但对于哈代，不要用他的话反驳他。

　　他仍然大吵大闹地嬉戏。记得在30年代的一天，我看见他正为一个小的胜利而得意。故事发生在贵族学院举行的一场比赛，绅士队对公子队。这是早上的一场比赛，太阳正照在屋顶上。有一个面对着托儿所顶端的击球手抱怨说，不知从哪儿来的反光照花了他的双眼。裁判员疑惑地四处寻找反光源：汽车?不。窗户?场地的那一端一个窗户也没有。最后，带着胜利的喜悦，一个裁判终于找到了反光源——反光来自于一个高大的牧师胸前佩戴的一个大十字架。裁判彬彬有礼地要他摘掉十字架，哈代在一旁魔鬼般地笑弯了腰。午饭时，他顾不上吃饭，忙着给他的教士朋友写明信片(明信片和电报是他最喜爱的通信方式)。

　　在与上帝及其代理人的战斗中，胜利并不总是属于哈代。大约在同一时期，五月的一个安静而可爱的傍晚，在菲南尔球场，6点钟的报时乐声穿过大地。“真不幸，”哈代简洁地说，“我生活中一部分最快乐的时光在罗马天主教堂的钟声中度过了。”

　　他大学期间的第二个小烦恼是学术上的。自从牛顿以后，在整个土9世纪，剑桥就被旧的数学荣誉学位考试制度所控制。英国人在考试竞争中总是比其他国家的人更有优势(也许除了中国人以外)。这些考试的设立是基于传统的评判标准，在考试形式上明显地显示出呆板。附带说一句，现在这种现象依然存在。当然，数学荣誉学位考试的荣耀是不可否认的。考试题目机械地看很难——但不幸的是，无法通过考试来发现考生的数学想象力、洞察力或作为一个有创造性的数学家所应具备的其他素质。考试优胜者(英文为Wtanglers，数学学位考试一等荣誉学位获得者，这一术语仍沿用至今)是基于考试成绩，并严格按分数次序选拔的。如果某人的成绩为最优名列一等第一名的话，学院会举行庆祝活动，一二名或第三名立即被选为研究员。

　　这些都遵循着英国传统的习惯。它只有一个缺点，正如哈代以他敏锐的洞察力所指出的。当他成为一个著名的数学家后不久，他与他坚定的伙伴利特伍德一起致力于废除这一制度时就指出了这一缺点：它使英国严肃的数学一百多年来一直停滞不前。

　哈代来到三一学院的第一学期还能跟上这一体系。他被训练为一匹赛马，在数学题目的领域里赛跑，还在19岁时，他就知道这是毫无意义的。他被送到一个有名的教师那里学习，多数有潜力成为数学学位考试最优名列一等第一名的考生都被送到他那儿。这个教师知道所有考生的障碍，知道所有考官的出题风格，而对于课程本身并不感兴趣。对于这种体系，要是换上年轻的爱因斯坦就一定会反抗：要么离开剑桥，要么在以后的三年里根本不做正规作业。但哈代生在更守旧的英国环境中(有优点，也有缺点)。在考虑更换为历史专业时，他想到了找一个真正的数学家来教他。哈代在《一个数学家的辩白》中对他深表称颂：“我的眼界最初是由乐甫(Love)教授打开的，他只教了我几学期，却使我对分析的严谨概念有了最初的了解。我从乐甫教授那儿获益最大的是他建议我读乔丹(Jordan)著名的《分析教程》 (乐甫教授毕竟首先是一名应用数学家)，我永远也不会忘记这部著作所给予我的震撼，不会忘记那本书对我这一代数学工作者的激励。读了这部著作，我第一次懂得了数学的真谛；也是从那时起，我走上了一个真正的数学家的道路，对数学树立了正确的目标，产生了真诚的激情。”

　　1898年，他在数学学位考试中获得第四名。他常常承认，这一结果当时使他有点恼怒.他是一个很有潜力的竞争者，尽管这种考试很荒谬，但他认为冠军应该属于他。1900年，他参加了数学荣誉学位第二部分考试，这是更权威的考试，他取得了应该属于他的好成绩，并获得奖学金。

　　从那时起，他的前途实际上就注定了。他很清楚他的目标是要把严密性引入英国的数学分析中。他没有偏离他认为是“生活中最大的永久的快乐”的研究。不用担心他应该做什么，无论是他自己还是别人对他的聪明才智都深信不疑。他23岁就被选人皇家学会。

　哈代是那个时代的幸?儿：他不用思虑自己的前?，从23岁起他就拥有一个男人所需要的安逸，也有足够花的钱。在20世纪初，三一学院的单身教师是很惬意的，但哈代用钱很谨慎，不得已的钱他才花(有时是特殊的目的，如50英里的的士费)；可花可不花的钱，无论世俗舆论如何，他也绝不会花。他只做他愿意做的事，放纵自己的怪僻。他生活在世界上最优秀的知识分子圈子中——G·E·摩尔、怀特海、罗素、特里维廉以及三一学院的高级圈子，艺术家布卢姆斯伯里(B1oomsbury)也很快加入了三一学术圈(实际上，哈代很早就与布卢姆斯伯里私交甚好，兴趣相投)。在这个杰出人物的圈子中，哈代是最卓越的青年人之一，并且，在非正式场合，他最无拘无束。

　　现在我可以告诉你我后面要说的内容：哈代一直到老都保持着一个才华横溢的青年人的生活热忱和精神境界，娱乐、兴趣也都保持着一个剑桥年轻教师的热情。但是，与许多直到60岁还保持青春活力的老年人一样，他晚年的最后几年终究失去了这种活力。

　　当然，哈代大多数时候比我们大多数人都要快乐。他的朋友广泛得令人吃惊，这些朋友都必须通过他的私人考试：他们必须具备他称之为“螺旋”的素质(这是一个板球术语，只可意会不可言传：它暗喻某种婉转或精明的处事方法。对于当今社会名流，麦克米伦和肯尼迪可以打高分，而丘吉尔和艾森豪威尔则不及格)。但他很宽容、诚实、生气勃勃，含蓄地溺爱着他的朋友们。有一天早上我不得已去看他。早上一直是他做数学研究的保留时间，他正坐在书桌前，用一手俊秀的字体写着什么。我低声说了一些陈腐的客套话，希望我没有打扰他。他突然明白了我的意思，露出诡秘的笑容说：“就像你应该已注意到的，答案是你打扰了我。当然，我通常很高兴见到你，”16年来，我们彼此非常了解，他从未说过比这更动感情的话，除了在他临终时他说盼望我再来看他以外。

　　我相信他的大多数好朋友都与我有同感。但是在他一生中，也有过二三次另一种朋友关系，这种关系只是强烈的、吸引人的感情，是崇高的而非肉体的。我知道的一次是为一个小伙子，这个小伙子的性格与他自己一样脆弱。我相信其他几次也一样，尽管只是偶尔从他的谈话中捕捉到的几句信息。对于许多像我这一代人来说，这种关系既不满足也不可能实现，而且，除非认为这是想当然的，谁也不会理解哈代这样的人的气质(这种人很少，但也不像犀牛那么稀少)，即使是他那个时代的剑桥人。他没有得到应有的满足，我们大多数人也无法帮助他得到这种满足。他知道自己与众不同，但这并没有使他感到不快。他的精神世界是他自己的，且非常富有。不幸的事最后发生了：除了他忠诚的妹妹以外，再也无人接近他。他在《一个数学家的辩白》(除了它所有高尚的精神以外，此书是一本令人绝望的悲哀的书)中带着讥讽的禁欲主义观点说，一个创造性的人已经失去了创造的能力和欲望，“这的确很令人惋惜，但在这种情况下，他已不在乎任何事情，所以为他操心是愚蠢的”。这就是他处理数学以外的个人生活的态度，只有数学才是他存在的理由。在与他交往时很容易忘记这些，就像在爱因斯坦的伦理感情中很容易忘掉他存在的正当理由是寻求物理定律一样。但他们两人从来没有忘记一点，这就是他们生活的核心所在，从年轻开始一直到死。
　　与爱因斯坦不同，哈代没有很快使自己闻名。他于 1900—1911年发表的早期文章很有分量，足以使他进入皇家学会，赢得国际声望，但他并不看重这些。这不是虚伪的谦虚，而是大师的英明判断：他知道哪些工作有价值，哪些工作无价值。
　　1911年他开始了与利特伍德35年的合作，1913年他发现了拉曼纽扬，又开始了另一次合作。他的主要工作都是在这两人合作下进行的，多数是与利特伍德合作，这是数学史上最著名的合作。据我所知，迄今为止还没有任何一个科学，或其他领域的创造性活动像他们这么成功。他们合作发表了近一百篇文章，很多都是“布拉德曼级(Bradman class)”的。在哈代的晚年，与他接触不多、也很少打板球的数学家们坚持对哈代的最高评价是“霍布斯级(Hobbs class)”，其实不然。这很勉强，刚好他的宠物也叫霍布斯，他不得不更改荣誉的次序。我曾经收到他一张明信片，大约是1938年的，上面写道：“布拉德曼级超过了古往今来所有的击球手，如果阿基米德、牛顿和高斯仍在霍布斯级的话，我必须承认超过他们的可能性。这一等级我很难想象，最好从现在起进入布拉德曼级。”

　　对于整整一代人来说，哈代－利特伍德主宰了英国的纯数学，也在很大程度上上宰了世界的纯数学。数学家们告诉我，他们在多大程度上改变了数学分析的发展进程现在还很难说，也很难预料在今后的l00年中他们的上作有多大的影响，但其不朽的价值是毫无疑问的。

　　正如我前面所说的，他们的合作一直是最伟大的，但是没有人知道他们是如何合作的，除非利特伍德告诉我们，否则无人会知晓。我已经提到过哈代对利特伍德的评价：他是两个合作者中能力更强的一个。哈代曾经写道，他知道“没有其他人能够拥有这样的心灵、技术和才智的合作”。利特伍德一直是一个比哈代更平常的人，他与哈代一样风趣，但似乎比哈代社会经验更丰富一些，他从不像哈代那样擅长于精妙的学术宣传，所以很少在学术圈的中心出现。这导致欧洲数学家们开玩笑说，哈代创造了利特伍德，以便在他们的某一定理证明有误时替哈代受过。实际上，利特伍德的个性至少与哈代一样倔强。

　　从表面上看，他们两人都不像是容易合作的伙伴，很难想象最初是谁先提出合作建议的。当然他们当中必定有一人先提出来，但没有人能够看出他们是如何安排的。他们合作的大部分时间并不在同一大学，据报道，哈拉尔德·玻尔(Harald Bohr)(尼尔斯·玻尔的弟弟，他本人是一个优秀的数学家)曾说他们合作的一个原则是：如果一人写信给另一人，收信人没有任何义务回复，甚至可以拒不拆信。

　　对此我无法作任何评论。多年来，哈代与我的谈话涉及到几乎所有能想象得到的方面，除了合作。当然，他曾经说这是他的创造生涯中很幸运的事情，他提起利特伍德时用词与我前面所描述的一样，但他从不暗示他们的合作细节。我对数学懂得不多，无法理解他们的文章，但我学会了他们的一些语言。如果他无意中说出了任何有关他们合作的方法，我想我绝不会漏掉它们。我可以很肯定地说，秘密——对他来说并非独特，但对大多数人来说似乎至关重要——在于深思熟虑。

　　关于他发现拉曼纽扬，根本无秘密可言。他曾写道，这是他生活中一个传奇的小故事。无论如何，这是一个令人钦佩的故事，一个几乎让所有人(只有两个例外)信任的故事。1913年初的一个早上，在他早餐桌上的一大堆信件中，他发现了一个污皱的大信封，上面盖有印度邮戳。打开信封，里面有几页陈旧的纸，字迹不像英国人的手笔，满页都是符号。他浏览了一下信，无动于衷。这时他36岁，已经是世界著名的数学家，他发现著名的数学家们常常会碰到一些狂热者，他已经习惯于收到陌生人的手稿：证明金字塔的智慧预言，犹太长老的启示，或培根设在被认为是莎士比亚的作品中的密码。

　　所以，哈代对此比任何事都感到厌烦。他浏览了一下信，信是用不通顺的英语写的，署名为一个不认识的印度人。信中要求哈代对这些数学发现发表自己的观点。手稿上似乎都是定理，多数看起来杂乱无章或异想天开，有一两个已经是众所周知的，看上去却像是他刚发现的，没有任何证明。哈代不仅感到厌烦，而且恼怒，这看起来像一个荒谬的欺诈行为。他把信稿丢到一边，继续他一天的日常工作程序。他一生中一直都没改变这一程序，所以也许有必要重述它：早餐时他先阅读《泰晤士报》，如果有澳大利亚板球赛事的话，他会最先看此消息，并用心揣摩。
　哈代的一位朋友梅纳德·凯恩斯(Maynard Keynes)也是数学大师，有一次曾数落哈代：假如哈代每天花半小时像关注板球赛事那样研究股票市场行情，他早就轻而易举发财了。

　　然而，从上午9点到下午1点，除非有课，他都倾心于数学研究。他常常说，对于一个数学家来说，每天四小时创造性的工作差不多是极限。午餐在餐厅，他吃得很少。午饭后，他慢跑到学校网球场打一下网球(如果在夏天，他会散步到菲南尔球场看板球)，然后再溜达回他的房间。那一天，尽管程序没有改变，但内在进展与预料的有差异。打完球后回来，他的脑子不断被那份印度手稿所困扰：杂乱的定理，他以前从未见过也未想象过的定理，一个欺诈天才?这个问题盘旋在他的脑海中。因为是哈代的脑袋，这个问题特别简练而清楚：写信人作为一个欺诈天才比一个未发现的数学天才可能性更大吗?显然，答案是否定的。回到三一学院的房间后，他又看了一下信稿，并带信给利特伍德 (可能是由信使传的信，但肯定不是打电话，因为他对电话就像对所有的机械装置包括自来水笔一样，十分不信任)，说吃完饭后他们必须讨论一下。

　　吃完饭后，通常有片刻休息，哈代喜欢来一 葡萄酒。但是，除了“阿伦·圣·奥宾”的狂乐曾唤起他富有青春活力的想象外，他发现自己并不是真的喜欢逗留在休息室里吃水果、喝葡萄酒。但利特伍德喜欢这种场合，所以他们在休息室休息了一会儿。约9点钟时，他们准时回到了哈代的房间，摊开信稿。

　　我真希望当时能在场目睹他们的讨论：哈代，集清醒、理智、高傲于一身(他很英国化，但争论时显示出拉丁人独特的性格)；利特伍德，富于想象、活力、幽默，显然讨论没有花太长时间，午夜12点以前，他们就肯定地认为，手稿的作者是个天才。这是那晚他们所能作的最肯定的判断，只是在后来哈代断定拉曼纽扬在自然数学天才中，本可与高斯和欧拉相提并论，但由于他受教育的欠缺，加之他在数学历史舞台出世太晚，不可能作出像高斯和欧拉那么重大的贡献。

　凡事说起来容易，上述判断应该早有大数学家们得出来了，但我要提到，有两个没在故事中出现的人物是不值得称赞的。出于骑士气质，哈代在所有关于拉曼纽扬的谈话和文章中都隐瞒了这一点。这两个人已经死了好多年了，所以现在是说出真相的时候了：很简单，哈代不是第一个收到拉曼纽扬的手稿的著名数学家，在这之前还有两位，都是英国人，学术声望极高，他们都把手稿退了回去，没有任何评论。拉曼纽扬出名以后，我想历史不会记载他们所说的任何话，如果有谁知道了这些也会对他们暗表同情。

　　第二天哈代就开始行动起来，他认为必须把拉曼纽扬带到英国来。经费不是一个主要问题，三一学院对支持非正统的天才有很好的政策——学院几年后对卡皮查(Kapitsa)也做了同样的支持——一旦哈代做了决定，人事机构就无法阻挡拉曼纽扬，但是他们需要某些非人事方面的支持。

　　后来才知道拉曼纽扬是马德拉斯的一个穷职员，与妻子住在一起，一年只有20镑的收入。他是一个婆罗门教徒，通常严格按宗教仪式办事，他母亲则更加严格，他似乎不可能打破禁规越洋过海。幸好他母亲最崇拜纳马卡尔(Namakkal)女神，一天早上，拉曼纽扬的母亲宣布了一个惊人的消息：她头天晚上做了一个梦，梦中她看见她儿子在一个大礼堂里坐在一群欧洲人中间，纳马卡尔女神命令她不要阻挡她儿子为实现他的人生目标所作的奋斗。为拉曼纽扬写传记的印度作家说，这使所有关心他的人吃惊。

　　1914年拉曼纽扬到达英国。以下是哈代对拉曼纽扬的考察结果(尽管在这方面我不能相信他的洞察力)：虽然冲破等级禁锢非常困难，拉曼纽扬并不信奉神学教条，除了一点模糊的行善行为以外，不比哈代更虔诚。但他肯定相信宗教仪式，当他就职于三一学院时——他在四年内成为该学院的研究员——根本没有“阿伦·圣·奥宾”的享乐，哈代常常发现他举行仪式般地换上伊斯兰教徒穿的宽松裤，在他自己的房间里非常蹩脚地炒素菜。

　　他们的合作是一个神奇的动人故事。哈代没有忘记他是在面对一个天才，但这个天才即使在数学方面也几乎没受到正规训练。拉曼纽扬没能进人马德拉斯大学是因为他英语没通过入学考试。按哈代的说法，这位印度人总是和蔼可亲，性情很好。但可以肯定，他对哈代超出数学范围的谈话几乎不懂。他听哈代说话时似乎总带着耐心的微笑，面容友善、亲切，但即使是谈论数学，由于他们受教育程度不同，用词也就有差异。拉曼纽扬是自学的，他对现代学术意义上的严谨一无所知，在某种程度上他不知道什么叫证明。有一次哈代喝醉酒以后曾经写道，如果拉曼纽扬能受到更好的教育，将少一点拉曼纽扬的特性。当他清醒以后，他说那些话是胡说，应该说如果拉曼纽扬受到了更好的教育，他将会比现在更出色。实际上，尽管拉曼纽扬已是温切斯特奖学金候选人，哈代还是不得不对他进行一些正规的数学教育。哈代说这是拉曼纽扬生活中最独一无二的经历：对于一个对数学有最深刻的洞察力、但从没有从正规书本上接触过大多数内容的人来说，现代数学看起来像什么呢?

　　无论怎样，他们合作发表了最高档次的五篇文章，哈代在文章中显示出极高的独创性(他们合作的细节比哈代一利特伍德合作更为人知一些)。慷慨和想象在这一次完全得到回报。

　　这是一个进取向上的故事，一旦有了好的开端，就会继续取得更大的成功。值得记住的是，英国给了拉曼纽扬可能给的最高荣誉：皇家学会在他30岁时选他为院士(对一个数学家来说，是非常年轻的)，三一学院也在同一年选他为研究员，他是一人获得这两个称号的第一个印度人。对此他很感激，但不久他就病了。在战争年代，要把他转到一个气候较好的地方是很困难的。

　　当拉曼纽扬病重躺在普特尼的医院时，哈代常常去看他。正是在哈代探视他的一次途中发生了出租马车车号的小故事。哈代到普特尼乘的是出租马车，这是他经常选择的交通工具。哈代每次走进拉曼纽扬的病房时，总不善于恰当地开始谈话。这次他可能一句问候语也没有，第一句话就是：“我想我的出租马车车号是1729，这对我来说似乎是一个很不吉利的数字。”拉曼纽扬回答道：“不，哈代!不，哈代!这是一个很有趣的数，它是能够以两种方式表达为两个立方数的和的最小数。”

　　这件事是哈代所记载的，一定是准确的。哈代是最诚实的人，而且，可能还没有人发现这个数的奥秘。

　　拉曼纽扬在战后两年回到马德拉斯后死于肺结核。正如哈代在《一个数学家的辩白》中所写的，在他的数学家名单中：“伽罗瓦(Galois)21岁去世，阿贝尔(Abel)27岁去世，拉 纽扬33岁去世，黎曼40岁……我不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的。”

　　如果没有与拉曼纽扬的合作，1914—1918年的战争对哈代的创伤会更重。尽管如此，它仍然给哈代留下了一个伤口，且这个伤口在二次大战中又被破开了。他一生都持激进观点，他的激进主义似乎染上了世纪转折期的启蒙色彩，对我们这一代人来说，有时就像呼吸了更轻柔、纯真的空气，而我们并未察觉。

　　与他的爱德华七世时代的知识界朋友一样，他对德国有强烈的感情。德国毕竟是19世纪的教育先驱，向东欧、俄国、美国等国家传授了研究风气。其实，哈代很少研究德国文学或德国哲学，他的品味太古典。但在很多方面，他认为德国文化，包括社会福利制度，比他自己的国家更发达。

　　与爱因斯坦不同，哈代对威廉统治下的德国的亲身感受不多，而爱因斯坦则在政治上受到残酷的迫害。而且，哈代是很实在的人，如果他对德国的感激之情不胜于他自己的国家的话，他似乎自觉没有人性。在这一时期，有一个很令人高兴的小故事：德国最伟大的数学家之一希尔伯特听说哈代住在三一学院一套不特别令人满意的套房里(实际上他住在惠韦尔院)，再三斟酌以后便写信提醒院长，指出哈代不仅是三一学院也是英国最优秀的数学家，因而应住最好的房间。

　　所以，哈代，像罗素和剑桥高层知识界的很多人一样，认为战争不应该打起来。而且，由于他对英国政治家根深蒂固的不信任，认为错方在英国。他对这一观点有很严密的理性推论，因而找不到否定这一观点的充分理由。事实上，他自愿要求为德比计划服务，但由于健康原因被拒绝了。而他在三一学院越来越感到孤独，因为多数人都是好斗的。

　　罗素在过分复杂的情况下被校方解雇了(哈代为了使自己在另一场战争中好受一些，25年后才写下了当时的细节)，哈代要好的朋友都远离他去参加了战争，利特伍德正在皇家炮兵部队作为陆军少尉从事弹道学研究。由于他心甘情愿保持中立，四年战争后他仍然是一名陆军少尉。哈代与他之间的合作受到了干扰，尽管没有完全中断。在学院同事间的激烈的争吵中，是拉曼纽扬的工作给哈代带来了安慰。

　　我有时想，哈代对他的同事们不够公平。由于在战争年代，有的人相当疯狂，但有些人仍长期忍受痛苦企图维持社交礼节。不管怎样，他们选举他的弟子拉曼纽扬正是学术正义占了上风。

　　而哈代那时仅仅与参加选举的一些人简单地交谈，而不是所有的人。

　　他仍然很不愉快，一旦条件许可，他就离开剑桥。1919年他在牛津得到了一个职位，立刻享受到他一生中最快乐的时光。他与拉曼纽扬和利特伍德的合作已取得了巨大成功，但现在他与利特伍德的合作更上升到最高层次，用牛顿的话说，是“处在他发明的全盛期”，这时他四十出头．这对于一个数学家来说异常地晚了。

　　这种创造激情来得如此之晚使他感到永恒的青春涌动，这对他来说比大多数人都重要。他像年轻人一样充满活力，他网球比以前打得更多，技艺稳步提高(网球是一项昂贵的运动,它要花费一个教授收入的相当一部分)，他多次访问美国的大学，并爱上了这个国家；他是那个时代几乎同样喜爱美国和苏联的少数几个英国人之一；他无疑是惟一一个给板球委员们写信、认真地提出其中一个比赛规则应作技术改正的英国人。20年代对他和他那一代大多数自由人上来说是一场灾难，他恨不得把战争的痛苦全扫进历史。

　　他在新学院像在家一样舒适、自在，而他在剑桥却从未有过这种感觉。温暖的，家乡似的牛津气候很适合他。正是在那儿，在当时还很小但很亲切的学院里，他完善了他自己的谈话风格。放学后总有人渴望听他谈话，这些人可以接受他的占怪，他们认为他不仅是一个伟大、善良的人，而且待人热情。如果他想玩对话游戏，或实地(尽管古怪)板球游戏，他们都乐于奉陪，对他表现出异常亲切，富有人