2024年重庆市专升本高等数学试题答案.doc

重庆市一般高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每题3分，共30分）
1.若函数在在处连续，则（ C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：由得,故选C.
参见教材P26，5. 在处连续，则 .

2.当初，与函数是等价无穷小的是（ A ）
A. B. C. D.
解：由,故选A.
参见教材P15,例19. 当初，与无穷小量等价的是（ ）
A. B. C. D.

3.设可导，则=（ D ）
A. B. C. D.
解：,故选D.
参见教材P44, 1．设，且存在，则（ ）
A. B.
C. D.

4.设是 的一个原函数，则（ B ）
A. B. C. D.
解：因是 的一个原函数,因此,因此
故选B.
参见教材P101,73．设为的一个原函数，求

5.下列级数中收敛的是（ C ）
A. B. C. D.
解：因,因此收敛, 故选C.
参见模考试卷2,6．下列级数中收敛的是( ）
A． B． C． D．

y
y=2x
y=x2
O 1 x
2
1
6.互换的积分次序，则下列各项正确的是（ B ）
A. B.
C. D.
解：由题意画出积分区域如图:故选B.
参见冲刺试卷12,6．互换的积分次序，则（ A ）
A． B．
C． D．
7.设向量是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ）
A. B. C. D.
解：因同理得
故选D.
参见教材P239, 14．设是线性方程组的解，则（ ）
(A). 是的解 (B). 是的解
(C). 是的解（）
(D). 是的解（）

8.已知向量线性有关,则（ D ）
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
解:
因为线性有关,因此,因此
参见教材P230,例4．设向量组线性有关,则
解: ,
因为线性有关,因此,因此矩阵任意3阶子式为0,从而.
9.设为事件，且则（ A ）
A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8
解:
参见模考试卷1,20．设A和B是两个随机事件，则_________.

10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）
A. B. C. D.
解: 由全概率公式得
参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的有关例题和习题.

二、填空题(本题共10小题，每题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)
11．设函数，则函数的定义域为.
解：.
参见冲刺试卷9,1题：函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
解：．

12．设曲线在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是.
解：，由，从而，故填.
参见教材P46, 16．已知直线是抛物线上点处的切线，求

13．设函数，则.
解：,.
参见教材P46，15．求下列函数的二阶导数（4）
14． .
解：.
参见教材P90,例30．已知，则 .
15．= e .
解：.
参见教材P128,例10．计算
【解】.
16．幂级数的收敛域为.
解：由.
得级数收敛,
当初,级数为收敛; 当初,级数为发散;
故收敛域为.
参见教材P182,例13．求下列级数的收敛半径和收敛域:（4）;
冲刺试卷1,26题:求幂级数的收敛域．
17．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且则.
解：

参见教材P213,例6．矩阵的综合运算知识
⑤设,则
解:
.
参见冲刺试卷2,19题．已知阶方阵满足,其中是阶单位阵,则= ．
解：
,Þ
18．设，记表示A的逆矩阵, 表示A的伴随矩阵,则
.
参见冲刺试卷3,18．已知A＝，A*为A的伴随阵，则 ．
解：由A*A=|A|E=,ÞA*(-4A)=EÞ
19．设型随机变量且则= .
解：由正态分布的对称性得.
参见冲刺试卷4, 20．设随机变量X~,且二次方程无实根的概率为,则= ．
解：因为X~
方程 有实根,则
此方程无实根的概率为,故=4.

20．设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.
解：直接由均匀分布得.
参见教材P277,

三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限.
解：原式=
=
==0.

参见冲刺试卷4, 21．求 ．
解：令，则

22．求由方程确定的隐函数的导数.
解：两边取对数得,
两边求导得,
从而.
参见模考试卷1, 22．设函数由方程所确定，求

23．计算定积分
解：令,则当初, ;当初, .
因此原式= = = = .
参见教材P115,例33．求
【解】利用第二换元积分法，令，当初，；当初，，则

24．求微分方程的通解.
解：原方程可整顿为
这是一阶线性微分方程,其中.
因此原方程的通解为

.

参见冲刺试卷11,24题．求微分方程满足初始条件的特解.

25．计算二重积分,其中是由直线所围成的区域.
y
y=2x
xy=2
x
O
1 2
4
2
解：区域D如图阴影部分所示.
故

.
O x
y
y=x

2
1
图5-7

参见教材P162,例4．计算二重积分，其中由直线及双曲线所围成.
【解】画出区域的图形，如图5-7，
如图三个顶点分别为
由积分区域的形状可知，采取先后的积分次序很好，
即先对积分.

26．设矩阵，且满足,求矩阵X.
解：由可得
因,因此可逆,
因此
参见冲刺试卷9,28题．已知，若X满足
AX- BA=B+X．求X．

27．设行列式,求在处的导数.
解：

.
故.
本题是考一个特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同.
参见教材P200,例1,P201,例8, P202,例9,(2),P204填空题2.
从而.
28．已知离散型随机变量X的密度函数为且数学期望.
求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．
解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的也许取值为0、1、2，且

因
因此.
(2) 由（1）即得X的分布列为

0
1
2

(3) ,
参见冲刺试卷2,20题．设随机变量X的概率分布律为
X
－1 0 1
P
1/6 a b
且E(X)=1/3，则D(X)＝________．
解：由题意知: Þ
,故.
参见模考试卷1,29．设离散型随机变量的分布列为

1
2
3
4

0.3

0.2
且的数学期望求（1）常数的值；（2）的分布函数；（3）的方差.

四、证明题与应用题：本大题共3小题，每题10分，共30分。
29．设，其中可微，.
证明：因为

,
故
. ¼¼¼¼(9分)
参见冲刺试卷2,16题．设，且可导，则= ．

30．设D是由曲线及x轴所围成的的平面区域
y
O
x
y=lnx

1
e
(e,1)
求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．
解:区域D如图阴影部分所示。曲线与x轴及
的交点坐标分别为
（1）平面区域D的面积
.
（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V

这是最基本的题型,每套试卷都有.

31．证明不等式：当初，.
证明: 设,则,
因此上单调递增,从而当当初,有
,即,即;
令,则,
因此上单调递减,从而当当初,有
,即,从而.
综上所述:当初，有.
参见教材P71,例8．设，证明：
证：选择适当的函数，要证，只需证明.