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第七部分 概率
1．事件的关系：
(1)事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；
互斥事件概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
(2)对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件.
对立事件概率公式P（A）+P（B）=1
﹙3﹚独立事件: 事件A与事件B不会相互影响.其概率：P（AB）=P（A）P（B）。
［举例1］．某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）
（A）至多有一次中靶 （B）两次都中靶 （C）两次都不中靶 （D）只有一次中靶
答案：C。
［举例2］．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立
所以正确答案应为（C）。

2．概率公式：
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；
［举例1］．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、
0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76
答案 0.24 0.76
［举例2］．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。 答案
［举例3］．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（ ）.D　A．60%　　　　B．30%　　　　C．10%　　　　D．50%
［举例4］．右图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗. 则我们可以估计出阴影部分的面积约为 .
［举例5］．抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为（ ）.A
A.　　　　B.　　　　C. 　　　　D.
［举例6］．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？
11.解: （I） 共有种结果　　　　　　………………4分　
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种． 　
　（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝ 　　 …………12分
［举例7］．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．
（Ⅰ）求点在直线上的概率；（Ⅱ）求点满足的概率．
22．解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有种情况，
所以基本事件总数为个. …………………… 2分
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
，
（Ⅱ）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件:
当时，当时，； …………………… 7分
当时，；当时， …………………… 9分
当时，；当时，．
［举例8］． 将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上面的点数
(Ⅰ)点数之和是5的概率;
(Ⅱ)设分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数,求式子成立的概率.
19．解:将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种不同的结果.……1分
(Ⅰ)将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数分别记为,点数之和是5的情况有以下4种不同的结果
因此,点数之和是5的概率为……6分
(Ⅱ)由得,……8分
而将一枚骰子先后抛掷2次向上的点数相等的情况有以下6种不同的结果:
……11分
因此,式子成立的概率为……12分
［举例9］．有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？
12.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个；
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6个；则
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4个；则
，所以这样规定不公平. 答：（Ⅰ）甲获胜的概率为;（Ⅱ）这样规定不公平.
［举例10］． 已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标x∈A，y∈A.
求：（1）点（x，y）正好在第二象限的概率；（2）点不在x轴上的概率.
16. 解：（1）正好在第二象限的点有，，，，，
故点（x，y）正好在第二象限的概率P1=.
（2）在x轴上的点有，，，，，，
故点（x，y）不在x轴上的概率P2=1－=.
∴点（x，y）正好在第二象限的概率是，点（x，y）不在x轴上的概率是.
［举例11］．某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．
（Ⅰ）共有多少种安排方法？（Ⅱ）其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？
（Ⅲ）甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）安排情况如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙
共有种安排方法． …………………………4分
（Ⅱ）甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，
甲、乙两人都被安排（记为事件）的概率： ……………8分
（Ⅲ）解法1：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是互斥事件，甲、乙两人都不被安排的情况包括：“丙丁”，“丁丙”两种，
则“甲、乙两人都不被安排”的概率为 甲、乙两人中至少有一人被安排（记为事件）的概率：． 解法2：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：
“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共种，
甲、乙两人中至少有一人被安排（记为事件）的概率：
． （注：如果有学生会排列概念，如下求解，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），给满分）．
［举例12］．已知集合在平面直角坐标系中，
点M(x,y)的坐标。
（1）请列出点M的所有坐标；（2）求点M不在x轴上的概率；
（3）求点M正好落在区域上的概率。
21.解：（1）集合A＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标，
点M的坐标共有：个，分别是：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；
（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）…………………….4分
（2）点M不在x轴上的坐标共有12种：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；
（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
所以点M不在x轴上的概率是………………………………………..8分
（3）点M正好落在区域上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）
［举例13］．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图
如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于
173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
解析 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于
之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平
均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
［举例14］．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
解 （1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：
（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个

［举例15］．设集合，，, 若．
(Ⅰ) 求b = c的概率；
（Ⅱ）求方程有实根的概率．
【解】 (Ⅰ) ∵, 当时，；
当时，．基本事件总数为14． --- 4分
其中,b = c的事件数为7种.
所以b=c的概率为. ---- 3分
（Ⅱ） 记“方程有实根”为事件A，
若使方程有实根，则，即，共6种． --- 4分
∴． --- 3分

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