不等式习题.doc

北京师大二附中 陈 余 2004-5
《不等式》全章复习
（一） 不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性 (2)传递性 (3)加法法则 (4)乘法法则 (5)倒数法则 (6)乘方法则 (7)开方法则
2、比较大小：作差法
例1. 设且，比较与的大小。
［解］
当时，则，∴；
当时，则 ∴，
3、不等式证明：综合法（公式法）、分析法（比较法等），反证法，换元法，放缩法；
例2. 设a>0，b>0，求证：≥。
（二）基本不等式
a2+b2≥2ab（a，b∈R） a2+b2≥2|ab|
当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.
|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|
（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。

（三）解不等式
一次不等式ax + b > 0、一元二次不等式、
绝对值不等式解法：
（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；
（2）公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < －a；| f(x) | < a －a<f(x) < a；
（3）平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2；| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2；
（4）几何意义。
分式不等式

一元高次不等式的解法：穿线法（首项系数化为正、从右上边入手）

（四）典型例题
1、 比较大小
例3. (1)（＋）2 ６＋2； （2）（－）2 （－1）2；
（3） ； (4)当a＞b＞0时，loga logb
(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) (6)
2、 利用不等式的性质求取值范围
例4. 如果,,则
(1) 的取值范围是 , (2) 的取值范围是 ,
(3) 的取值范围是 , (4) 的取值范围是
例5. 已知，，求的取值范围。（[-2，0]）

3、 利用基本不等式证明不等式
例6. 求证

4、 利用基本不等式求最值
例7. 若不等式a<lg(|x＋3|+|x―7|)对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（　）
A、a≥1 B、a＞1　　　　　C、0＜a≤1　　　　　D、a＜1

例8. 关于x的不等式2x－1＞a(x－2)的解集为R，求实数a的取值范围。

例9. 若x>0,y>0,且,求xy的最小值

例10. 求(x>5)的最小值.
例11. 若，求证：的最小值为3

例12. 求函数的最大值。

例13. 若，求的最值
解：
∵ ∴
从而
即
例14. 设且，求的最大值。
解：∵ ∴
又，∴
即
例15. 已知且，求的最小值
解：

当且仅当即时
（五）典型思想
（1）分类讨论的思想：　
例16. 解关于x的不等式

（2）数形结合的思想
例17. 设k、a都是实数，关于x的方程|2x―1|=k(x―a)+a对于一切实数k都有解，求实数a的取值范围。

（3）函数与方程的思想
例18. 函数f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为R，求实数a的取值范围。

例19. 设不等式mx2―2x＜m―1对于满足|m|≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围。

（4）1的代换
例20. 已知a、b∈R+，a+b=1,x、y∈R,求证：ax2+by2≥(ax+by)2

例21. 已知x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x + b/y = 1，求证：

例22. 已知x、y∈R+,且1/x + 9/y = 1，求x + y的最小值。

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