资源描述
[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
解析：依题意知，2a＝8，e＝＝，
∴a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝16－9＝7.
又焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
答案：B
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.
答案：A
3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4x k b 1
解析：依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.
答案：D
4．已知P为椭圆＋＝1上的一个点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2，分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
答案：B
5．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：椭圆标准方程为x2＋＝1.
当m>1时，e2＝1－∈，
解得m>；
当0<m<1时，e2＝＝1－m∈，解得0<m<，故实数m的取值范围是∪.
答案：C
6．直线y＝x与椭圆C：＋＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设直线y＝x与椭圆C：＋＝1，在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝，又C是椭圆，所以0<e<1，所以e＝.
答案：A
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，设切点为M，由条件知，OM⊥PF1且OM＝b.
∵M为PF1的中点，∴PF2＝2b，且PF1⊥PF2，从而PF1＝2a－2b.w w w .x k b 1.c o m
∴PF＋PF＝F1F，
即(2a－2b)2＋(2b)2＝(2c)2，
整理得3b＝2a，∴5a2＝9c2，
解得e＝＝.
答案：
9．已知点A(0,2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值为________．
解析：设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2
＝－3y－4y0＋8＝－32＋.
∵－1≤y0≤1，而－1<－<1，
∴当y0＝－时，|PA|＝，
即|PA|max＝.
答案：
三、解答题
10．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2.当a＝2b时，求椭圆方程．
解析：∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，
从而得b2＝1，a2＝4，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
11.(2013年高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解析：(1)由题意得w w w .x k b 1.c o m
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2 ＝
2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则
S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝
≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
12．(能力提升)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2＋＝0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．
解析：(1)设Q(x0,0)．
∵F2(c,0)，A(0，b)，则＝(－c，b)，
＝(x0，－b)，
又⊥，∴－cx0－b2＝0，
故x0＝－，又2＋＝0，
∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－＋c，
即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝＝.
(2)∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c，
则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0，c)．
∴△AQF2的外接圆圆心为(－c,0)，半径
r＝|F2Q|＝2c＝a.
∴＝2c，解得c＝1，∴a＝2，b＝，
椭圆方程为＋＝1.
(3)设直线MN的方程为：x＝my＋1，代入＋＝1得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－，
y1y2＝－，
|y1－y2|＝
＝.
∴S△PMN＝|PF2|·|y1－y2|
＝，
令 ＝λ≥ ，
∴S△PMN＝＝≤ ＝，
∴△PMN面积的最大值为，此时m＝0.
[B组 因材施教·备选练习]
1．(2013年高考四川卷)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b2＝⇒yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P，
由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－＝－⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝⇒e＝＝.
答案：C
2．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2②，
把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上知此椭圆离心率的取值范围是.故选C.
答案：C
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