中考“方程与方程组”热点题型分类解析(含解答)-.doc

2006年中考“方程与方程组” 热点题型分类解析

【考题考点剖析】
方程与方程组是初中数学的重要内容，是历来中考命题的重点和热点，近年来各省市中考题中，考查本部分内容的分值点在15%左右，题型以填空、选择为主，也有部分解答题及与其他知识的综合性问题．试题所反映的主要考点有：
1．会从定义上判断方程（组）的类型．并能根据定义的双重性解方程（组）和研究分式方程的增根情况．
2．掌握解方程（组）的方法，明确解方程（组）的实质是“消元降次”、化分式为整式、化无理式为有理式．
3．一元二次方程根的判别式的应用．
4．列方程（组）解决社会关注的热点问题的应用题．
5．从方程（组）入手，解决二类方程综合题．
【解题方法技巧】
本专题主要考查方程思想和转化思想，同时考查学生收集和处理信息的能力、分析问题、解决实际问题的能力及创新实践能力．
解方程（组）主要采用加减消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法、换元法等；对于特殊形式的方程（组）可采用对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊的方法求解．
换元法解方程（组），关键是观察分析出能够换元的整式或分式，有时需要对方程（组）进行整理变形（如因式分解、配方、添拆项等）才能观察出如何换元．
列方程（组）解应用题的关键是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系．常见的相等关系的两种：第一种是通过题目的关键词语表示的相等关系，例如：“多”“少”“增加”“减少”等等；另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，隐含相等关系需结合日常生活常识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：（1）译式法；（2）图示法；（3）表格法等等．
【热点试题归类】
题型1 方程
1．（2006，上海）方程x2+3x-4=0的两个实数根为x1，x2，则x1x2=______．
2．（2006，百云区）已知y=（x-1）2，当y=2时，x=________．
3．（2006，上海）方程=1的根是________．
4．（2006，浙江）分式方程的解是x=_______．
5．（2006，南通）用换元法解方程=4，若设=y，则可得关于y的整式方程________．
6．（2006，盐城）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
7．（2006，温州）方程x2-9=0的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=-3 D．x1=9，x2=-9
8．（2006，上海）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．=-1 C．x2+2x+3=0 D．=
9．（2006，广安）关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B．k>1 C．k≠0 D．k>-1且k≠0
10．（2006，浙江）解方程：x2+2x=2．

11．（2006，绍兴）解方程：．

12．（2006，苏州）解方程：．

题型2 方程组
1．（2006，烟台）写出一个解为的二元一次方程组________．
2．（2006，台州市）方程组的解为______．
3．（2006，泉州市）二元一次方程组的解是______．
4．（2006，枣庄市）已知方程组，则6a+3b的值为（ ）
A．4 B．6 C．-6 D．-4
5．（2006，南通）二元二次方程组的解是（ ）

6．（2006，成都）已知代数式xa-1y3与-3x-b·y2a+b是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A．
7．（2006，晋江市）解方程组：

8．（2006，上海）解方程组：

题型3 应用题
1．（2006，诸暨）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（ ）
A．米 B．（+1）米 C．（+1）米 D．（+1）米
2．（2006，诸暨）假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辩认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是把这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数，那么刻的数是36的钥题所对应的原来房间应该是________号．
3．（2006，黄冈课改区）（本题满分6分）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

4．（2006，重庆）机械加工需要拥有润滑油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

5．（2006，南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分．两种型号信封的单价各是多少？

6．（2006，百云区）同一条高速公路沿途有三座城市A、B、C，C市在A市与B市之间，A、C两市的距离为540千米，B、C两市的距离为600千米．现有甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两市出发驶向C市，已知甲车比乙车的速度慢10千米/时，结果两辆车同时到达C市，求两车的速度．

7．（2006，广安）甲、乙两地间铁路长2 400千米，经技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？

8．（2006，南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？

题型4 综合与创新
1．（2006，广安）如果最简二次根式是同类二次根式，则a=_______．
2．（2006，攀板花）方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积是_______．
3．（2006．广安）已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是_______．
4．（2006，重庆）（课改区）如图，已知函数y=ax+b与y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．

5．（2006，济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象L1、L2，设y1=k1x+b1，y2=k1x+b1，则方程组的解是（ ）
A．
6．（2006，重庆）（非课改）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足=-1，则m的值是（ ）
A．3或-1 B．3 C．1 D．-3或1
7．（2006，大连）已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程=3解相同．
（1）求k的值；（2）求方程x2+kx-2=0的另一个解．

8．（2006，南通）已知关于x的一元二次方程x2-（m-1）x+m+2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m2-9m+2，求的值．

9．（2006，苏州）已知函数y=和y=kx+1（k≠0）．
（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值；
（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？

10．（2006，广安）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

11．（2006，诸暨）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

题型5 中考新型题
1．（2006，晋江）阅读下面的例题：
解方程：x2-│x│-2=0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得x1=1（不合题意，舍去），x2=-2．
∴原方程的根是x1=2，x2=-2．
请参照例题解方程x2-│x-3│-3=0，则此方程的根是________．
2．（2006，天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答；也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答．
某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？
解题方案：
设原计划每天挖x米．
（1）用含x的代数式表示：
开工后实际每天挖________米，
完成任务原计划用_______天，实际用_______天；
（2）根据题意，列出相应方程__________；
（3）解这个方程，得__________；
（4）检验：_____________；
（5）答：原计划每天挖________米（用数字作答）．
3．（2006，绵阳）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

4．（2006，泰州）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的比比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．

5．（2006，泉州）某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等．
信息二：如下表：
树苗
杨树
丁香树
柳树
每棵树苗批发价格（元）
3
2
3
两年后每棵树苗对空气的净化指数
0.4
0.1
0.2
设购买杨树、柳树分别为x株、y株．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求w的取值范围．

6．（2006，枣庄）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽车价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．
今年5月份的汽油价格比去年5月份每升多1.8元，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升．
今年5月份的汽油价格是多少呢？

7．（2006，广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

【热点试题详题】
题型1
1．-4 点拨：本题有两种解法：方法1：解方程x2+3x-4=0，得x1=-4，x2=1，所以x1x2=-4．方法2：根据一元二次方程根与系数的关系求解．∵x1、x2是x2+3x-4=0的两根，∴x1x2=-4．
建议：运用方法2，较为简捷．
2．3或-1 点拨：由条件得：（x-1）2=2，即（x-1）2=4．
∴x-1=2或x-1=2，∴x=3或-1．
3．x=1 点拨：方程两边平方得：2x-1=1，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
∴原方程的根为x=1．
4．1 点拨：方程两边同乘以x（x+1）得：x+1=2x．
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程根．
∴原方程的解是x=1．
5．2y2-4y+1=0 点拨：原方程变形为：2×=4．
设y=，则原方程可变形为：2y+=4．
去分母得：2y2-4y+1=0．
6．A 点拨：本题考查对方程解的意义的理解，即当x=1时，等式成立．
∵x=1是方程x2-2mx+1=0的一个解．
∴1-2m+1=0，
∴m=1，
∴选A．
7．C 点拨：移项得：x2=9
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3，故选C．
8．A 点拨：A中x2+3x+1=0，∵△=9-4>0，∴此方程有两个不相等的实数根．
B中=-1，∵≥0，∴此方程没有实根．
C中x2+2x+3=0，∵△=4-4×3<0，∴此方程没有实数根．
D中=解此分式方程得x=1，但当x=1，x-1=0，∴x=1是原方程的增根．
∴选A．
9．D 点拨：一元二次方程有两个不相等实数根满足两个条件：
①二次项系数不为零；②根的判别式大于零．
∴由题意得，解得k>-1且k≠0，
∴选D．
10．解：移项得x2+2x-2=0，则△=4-4×（-2）=12>0，∴方程的根为x1=-1+，x2=-1-．
11．解：去分母得：3（x+1）=5（x-1），
3x+3=5x-5，
2x=8，
∴x=4．
经检验，x=4是原方程的根，
∴原方程的根是x=4．
12．解法1：原方程可化为：x2-4x+3=0．
解得：x1=3，x2=1．
经检验：x1=3，x2=1是原方程的根．
解法2：设y=则原方程可化为：y-2=．
整理得：y2-2y-3=0．
解得：y1=3，y2=-1．
∴=3或=-1．
∴x1=3，x2=1．
经检验：x1=3，x2=1是原方程的根．
题型2
1．开放性问题，答案不唯一．
例如：等．
2． 点拨：方程组
把①+②得：2x=4，
x=2． ③
把③代入②得：2-y=1，y=1．
∴原方程组的解为
3． 点拨：由方程组
得：3y=-3，y=-1， ③
把③代入②得：x-（-1）=6，x=5．
∴原方程组的解为．
4．B 点拨：∵方程组，
∴
∴6a+3b=6×+3×（-1）=9-3=6．
∴选B．
5．C 点拨：本题有两种解法：（1）代入消元法，（2）构造方程法，其中“构造方程法”较为简易．
方法1：由x+y=3得：x=3-y
把上式代入xy=-10，得：（3-y）y=-10，
即y2-3y-10=0，
解得y1=5，y2=-2
把y1，y2分别代入得：x1=-2，x2=5．
∴原方程组的解为，故选C．
方法2：由题意可知：x、y是方程z2-3z-10=0的两根，
解这个方程得：z1=5，z2=-2．
∴原方程组的解为，故选C．
6．A 点拨：由题意得：
故选A．
7．解：由①-②，得12y=-36，y=-3，
把y=-3代入①，得x=．
∴原方程组的解为
8．解：由①得：y=x-3 ③
把③代入②得：x2+x-3+1=0，即：x2+x-2=0．
解得：x1=-2，x2=1．④
把④代入③得：y1=-5，y2=-2．
∴原方程的解为
题型3
1．B 点拨：由=+1，故选B．
2．13号
3．解：设平均每次降价的百分率为x．
由题意得：200（1-x）2=128．
解得：x1=20%，x2=180%（舍去）．
答：平均每次降价的百分率为20%．
4．解：（1）由题意，得70×（1-60%）=70×40%=28（千克）
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克．
由题意，得x×[1-（90-x）×1.6%-60%]=12，
整理，得x2-65x-750=0．
解得：x1=75，x2=-10（舍去）
（90-75）×1.6%+60%=84%．
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
5．解：设B型号的信封的单价为x分，则A型号的信封的单价为（x+2）分，根据题意，得=30．
去分母，整理得x2-7x-8=0．
解这个方程，得x1=8，x2=-1．
经检验x1=8，x2=-1都是原方程的根，但是负数不合题意，x2=-1舍去．
所以x+2=10．
答：A型号的信封的单价为1角，B型号的信封的单价为8分．
6．解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x-10）千米/时，
由题意可得方程：，
解该分式方程得x=100．
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意，x-10=90．
答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为100千米/时．
7．解：设提速后列车速度为x千米/时，
则=4，
解之得：x1=120，x2=-100（舍去）．
经检验x=120是原方程的根．
∵120<140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．
8．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得
（3-2-x）（200+）-24=200．
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元．
题型4
1．5 点拨：由同类二次根式的定义可知：3a-8=17-2a，
解得a=5．
2．-18 点拨：∵方程x2-3x-6=0的两根之积为-6，
方程x2-6x+3=0的两根之积为3，
∴这两个方程所有根的乘积为（-6）×3=-18．
3．6 点拨：由题意可知，（n-2）·180=360×2，得n=6．
∴这个多边形的边数为6．
4． 点拨：由图象可知y=ax+b与y=kx的交点P的坐标为（-4，-2）．
∴二元一次方程组的解为．
5．B 点拨：观察图象可以发现，直线y=k1x+b1与y=k1x+b2交点的坐标为（-2，3），那么方程组的解为，故应选B．
6．B 解：由题意知：α+β=-（2m+3），α·β=m2．
=
∴ 解得m=3．
故应选B．
7．解：（1）=3的解为x=2，
∴x=2是方程x2+kx-2=0的解．
∴4+2k-2=0
∴k=-1．
（2）设方程x2+kx-2=0的另一个根为x1．
则2·x1=-2，∴x1=1．
8．解：（1）△=（m-1）2-4×（m+2）=m2-6m-7．
因为方程有两个相等的实数根，所以m2-6m-7=0．
解得m1=1，m2=7．
（2）由题意可知，m+2=m2-9m+2，
解得m1=0，m2=10．
当m=0时，原方程没有实数根，故m=10．
所以的值为4．
9．解：（1）∵点（1，a）在函数y=的图象上，
∴=a，∴a=2，∴此点的坐标为（1，2）．
∵该点在y=kx+1上，∴k+1=2，∴k=1．
（2）=kx+1，
即kx2+x-2=0．△=1+8k≥0，
解得：k≥-且k≠0时，这两个函数的图象总有交点．
10．解：设边AB=a，AC=b，
∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根，
∴a+b=2k+3，a·b=k2+3k+2．
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5．
∴a2+b2=5．
即（a+b）2-2ab=5，
∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
∴k2+3k-10=0，∴k1=-5，k2=2．
当k=-5时，方程为：x2+7x+12=0．
解得x1=-3，x2=-4（舍去）．
当k=2时，方程为：x2-7x+12=0．
解得x1=3，x2=4．
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
11．解：由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G，
过点A作AK⊥BC于K．
则可得，FG=×4，
∴S△BEF=BE·FG=-x2+x（7≤x≤10）
（2）存在
由（1）得：-x2+x=14，
得x1=7，x2=5（不合舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7．
（3）不存在
假设存在，显然是：S△BEF：S△AFECD =1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC）=1：2．
则有-x2+，
整理得：3x2-24x+70=0，
△=576-840<0，
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
题型5
1．x=-3或x=2 点拨：当x-3≥0时，即x≥3时，原方程可化为：x2-x=0．
解方程得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）．
当x-3<0时，即x<3时，原方程可化为x2+x-6=0．
解这个方程得：x3=-3，x4=2．
∴此方程根为x=-3或x=2．
2．（1）x+20，
（2）=4
（3）x1=-80，x2=60
（4）当x1=-80，x2=60时，x（x+20）≠0．
所以x1=-80，x2=60都是原方程的根，但x=-80不合题意，舍去．
（5）60
3．解：由题意得m2+2m-8=0．
解得，m1=-4，m2=2．
当m=-4时，原方程可化为：-6x2+3x=0．
△=9+24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
当m=2时，原方程可化为：3x=0，方程有一个根．
4．解：设长方体盒子的长为xcm，宽为ycm，高为zcm．
由题意得：
V长方体=xyz=9×5×2=90（cm3）．
答：这种药品包装盒的体积为90cm3．
5．解：（1）y=400-2x．
（2）根据题意，得
解这个不等式组，得100≤x≤200．
∵w=3x+2x+3（400-2x）=1 200-x．
∴x=1 200-w．
∴100≤1 200-w≤200．
∴1 000≤w≤1 100．
6．解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元/升，根据题意，得=18.75．
整理，得x2-1.8x-14.4=0．
解这个方程，得x1=4.8，x2=-3．
经检验两根都为原方程的根，但x2=-3不符合实际意义，故舍去．
7．解：设这段铁丝被分成两段后，围成正方形，其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为=（5-x）cm．
依题意列方程得
x2+（5-x）2=17，
解方程得：x1=1，x2=4．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则：
y=x2+（5-x）2=2（x-）2+，
∵当x=，y的最小值为12.5>12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
另解：由（1）可知：x2+（5-x）2=12，
化简后得：2x2-10x+13=0，
∵△=（-10）2-4×2×13=-4<0，
∴方程无实数解．
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．