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浅谈高考数学恒成立问题的解题方法
汕头市第六中学 陈少凤
摘要：恒成立问题是高中数学中的一个重点，更是历年高考的热点，有人说“恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性。部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，恒成立问题就会迎刃而解
关键词：判别式法；最值法；分离参数法；数形结合法；赋值法
近几年的高考数学试卷中频频出现一种数学问题：有关含参的“恒成立”问题。为什么会如此重视这类问题呢，因为恒成立问题是一个考察学生综合素质的很好途径：其一是这类问题覆盖面广，几乎覆盖了函数、不等式、三角、数列、几何等高中数学的所有知识点；其二是涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。所以可从这样的题目中考查学生的分析问题、解决问题的能力，以及综合解题能力。真正理解并弄清这类问题的常规求解方法，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且可以提高学生分析问题和解决问题的能力。下面我就结合自己的教学经验谈谈恒成立问题的解题方法。
一、判别式法
对于二次函数有：
（1）上恒成立;
（2）上恒成立.
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决.
例1 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得.
变形：若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
此题需要对的取值进行讨论，设.
① 当时，，显然成立.
② 当时，则.
③ 当时，显然不等式不恒成立.
由①②③知.
关键点拨：对于有关一元二次不等式的问题，可设函数，由的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与轴的交点问题，由判别式进行解决.
例2 已知函数，在时恒有，求实数的取值范围.
解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线.
①如图1，当图象与轴没有交点，满足，即，
解得.
②如图2，当图象与轴有交点，且在时，只需
解得.
-1
o
x
y
由①②知.
-1
o
x
y

图1 图2
关键点拨：构造一个新函数使在恒成立是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.
二、最值法
恒成立条件下不等式中参数的取值范围问题，涉及的知识面广、综合性强，同时数学语言抽象，从题目中如何提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅．但是如果能将参数分离出来，建立起明确的关系，则由下述两个基本命题便能简捷的求出参数的取值范围．
（1）对任意x都成立;
（2）对任意x都成立.
将两命题结论通过数轴表示出来既直观又易于掌握理解．两命题可简记为“大于时大于值域上限，小于时小于值域下限”.由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题.
例3 在中，已知恒成立，求实数的范围.
解析：由，
，，
恒成立，，
即恒成立，.
例4 求使不等式恒成立的实数的范围.
解：由于,
,，，
，.
变式：求使不等式恒成立的实数的范围.
解：由于,
，，
，.
例5 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
解： 是增函数，对于任意恒成立
对于任意恒成立
对于任意恒成立
令，，所以原问题等价于
即
易求得.
关键点拨：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解.
三、分离参数法
在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.
例6 不等式对一切实数恒成立，求满足的条件．
解：将参数分离出来，
,
原不等式变形为,
.
,
由命题１知当时，原不等式恒成立．
例7 若不等式在时恒成立，试求的取值范围．
解：分离参数，由题设知,故.
原不等式变形为，
， ， .
在上为减函数, ，
综上所述，的取值范围为．
从以上例子可以看出用分离参数法解恒成立问题，其方法步骤学生容易理解掌握，程序也不复杂，通过恒等变形将参数分离出来之后，只要求出主变元函数值域的上限或下限（方程问题需求出值域）问题便迎刃而解了，当然分离参数法不是解恒成立问题的惟一方法，亦非万能．对具体问题要具体分析，选用恰当的方法．本文旨在使学生学一法，通一类，逐步提高综合运用知识解决问题的能力．
四、数形结合法
如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.
例8 设，若不等式恒成立，求的取值范围．
解：若设，则为上半圆．
设，为过原点，斜率为的直线．在同一坐标系内作出函数图象，
如图3所示，依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即的取值范围为．
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.

图 3
例9 当时，不等式恒成立，求的取值范围.
解：如图4所示，设T则的图象为图4所示的抛物线，要使对一切,恒成立即的图象一定要在的图象所的下方，显然,并且必须也只需.
x
y
o
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
故，

图 4
关键点拨：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解的取值范围.
例10 已知关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.
解：设，，则如图5所示，的图象为一抛物线，的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使和在轴上有唯一交点，则直线必须位于和之间.（包括但不包括)
当直线为时，直线过点，此时纵截距为，;
当直线为时，直线过点，此时纵截距为，
∴的取值范围为.
关键点拨：原方程可化成，从而得，若将等号两边分别构造函数即二次函数与一次函数，则只需考虑这两个函数的图象在轴上方恒有唯一交点即可.
x
y
l1
l2
l
-20
o

图 5
五、赋值法——利用特殊值求
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例11
由等式 定义映射，则

解：取，则，又因为，所以，
故选.
例12 如果函数的图象关于直线对称，那么.

解：取及，则,即，故选.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
在处理恒成立问题时，并非单一的使用某一种解题方法，而是各种解题方法相互渗透，解决这类问题是各种思路和方法的综合运用，且要求较高难度较大.正所谓“万变不离其宗”，只要我们在平时的学习中把基本思路和方法理解，掌握透彻，一切问题都会迎刃而解.