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浅谈高考数学恒成立问题的解题方法汕头市第六中学 陈少凤摘要：恒成立问题是高中数学中的一个重点，更是历年高考的热点，有人说“恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性。部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，恒成立问题就会迎刃而解关键词：判别式法；最值法；分离参数法；数形结合法；赋值法近几年的高考数学试卷中频频出现一种数学问题：有关含参的“恒成立”问题。为什么会如此重视这类问题呢，因为恒成立问题是一个考察学生综合素质的很好途径：其一是这类问题覆盖面广，几乎覆盖了函数、不等式、三角、数列、几何等高中数学的所有知识点；其二是涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。所以可从这样的题目中考查学生的分析问题、解决问题的能力，以及综合解题能力。真正理解并弄清这类问题的常规求解方法，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且可以提高学生分析问题和解决问题的能力。下面我就结合自己的教学经验谈谈恒成立问题的解题方法。一、判别式法对于二次函数有：（1）上恒成立;（2）上恒成立.有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决.例1 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得.变形：若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.此题需要对的取值进行讨论，设. 当时，显然成立. 当时，则. 当时，显然不等式不恒成立.由知.关键点拨：对于有关一元二次不等式的问题，可设函数，由的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与轴的交点问题，由判别式进行解决.例2 已知函数，在时恒有，求实数的取值范围.解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线.如图1，当图象与轴没有交点，满足，即，解得.如图2，当图象与轴有交点，且在时，只需解得.-1oxy由知.-1oxy 图1 图2关键点拨：构造一个新函数使在恒成立是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.二、最值法恒成立条件下不等式中参数的取值范围问题，涉及的知识面广、综合性强，同时数学语言抽象，从题目中如何提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅但是如果能将参数分离出来，建立起明确的关系，则由下述两个基本命题便能简捷的求出参数的取值范围（1）对任意x都成立;（2）对任意x都成立.将两命题结论通过数轴表示出来既直观又易于掌握理解两命题可简记为“大于时大于值域上限，小于时小于值域下限”.由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题.例3 在中，已知恒成立，求实数的范围.解析：由，恒成立，即恒成立，.例4 求使不等式恒成立的实数的范围.解：由于,，.变式：求使不等式恒成立的实数的范围.解：由于,，.例5 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.解： 是增函数，对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立令，所以原问题等价于 即易求得.关键点拨：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解.三、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例6 不等式对一切实数恒成立，求满足的条件解：将参数分离出来，,原不等式变形为,.,由命题知当时，原不等式恒成立例7 若不等式在时恒成立，试求的取值范围解：分离参数，由题设知,故.原不等式变形为， ， .在上为减函数, ，综上所述，的取值范围为从以上例子可以看出用分离参数法解恒成立问题，其方法步骤学生容易理解掌握，程序也不复杂，通过恒等变形将参数分离出来之后，只要求出主变元函数值域的上限或下限（方程问题需求出值域）问题便迎刃而解了，当然分离参数法不是解恒成立问题的惟一方法，亦非万能对具体问题要具体分析，选用恰当的方法本文旨在使学生学一法，通一类，逐步提高综合运用知识解决问题的能力四、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例8 设，若不等式恒成立，求的取值范围解：若设，则为上半圆设，为过原点，斜率为的直线在同一坐标系内作出函数图象，如图3所示，依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即的取值范围为利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围. 图 3例9 当时，不等式恒成立，求的取值范围.解：如图4所示，设T则的图象为图4所示的抛物线，要使对一切,恒成立即的图象一定要在的图象所的下方，显然,并且必须也只需.xyo12y1=(x-1)2y2=logax故， 图 4关键点拨：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解的取值范围.例10 已知关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.解：设，则如图5所示，的图象为一抛物线，的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使和在轴上有唯一交点，则直线必须位于和之间.（包括但不包括)当直线为时，直线过点，此时纵截距为，;当直线为时，直线过点，此时纵截距为，的取值范围为. 关键点拨：原方程可化成，从而得，若将等号两边分别构造函数即二次函数与一次函数，则只需考虑这两个函数的图象在轴上方恒有唯一交点即可.xyl1l2l-20o 图 5五、赋值法利用特殊值求等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例11 由等式 定义映射，则解：取，则，又因为，所以，故选.例12 如果函数的图象关于直线对称，那么.解：取及，则,即，故选.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.在处理恒成立问题时，并非单一的使用某一种解题方法，而是各种解题方法相互渗透，解决这类问题是各种思路和方法的综合运用，且要求较高难度较大.正所谓“万变不离其宗”，只要我们在平时的学习中把基本思路和方法理解，掌握透彻，一切问题都会迎刃而解.