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浅谈高考数学函数最值问题的解题方法
汕头市第六中学 陈少凤
摘要：函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面,具有较强的概念性、综合性、灵活性和技巧性。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，对学生的思维能力、实践和创新能力、分析和逻辑推理能力要求较高，同时它与高中数学各分支有着广泛联系，尤其是以实际问题关系特别突出如最大利润、最小面积、最短路程、最高效率、最少成本等最优化问题。本文主要针对通过对高考要求中经常出现的最值问题及其相关题目，进行分析、讨论，结合具体例子来获得不同条件下一些最值问题的解题方法，如定义法；配方法；换元法；不等式法；单调性法；导数法；判别式法；平方法；数形结合法；线性规划法等，选择合适的方法才能让问题迎刃而解.
关键词：函数最值问题；定义法；配方法；换元法；不等式法；单调性法；导数法；判别式法；平方法；数形结合法；线性规划法
函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的重要内容之一，为什么会如此重视这类问题呢，因为函数最值问题是一个考察学生综合素质的很好途径：其一是这类问题覆盖面广，几乎覆盖了函数、不等式、三角、数列、几何等高中数学的所有知识点；其二是涉及到函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。所以可从这样的题目中考查学生的分析问题、解决问题的能力，以及综合解题能力。真正理解并弄清这类问题的常规求解方法，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且可以提高学生分析问题和解决问题的能力。本文主要针对通过对高考要求中经常出现的最值问题及其相关题目，进行分析、讨论，结合具体例子来获得不同条件下一些最值问题的解题方法，充分体现了数学方法在求最值时的灵活应用以及题目中所蕴含的数学思想.
一、定义法
函数最值的定义：一般地，设函数的定义域为
如果存在实数,满足：①对任意，都有，②存在，使得，则称为函数的最大值；
如果存在实数，满足：①对任意，都有，②存在，使得，则称为函数的最小值．
我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
例1 设函数的定义域为，有下列三个命题：
①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．
这些命题中，真命题的个数是__________.
解析：根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件．故真命题的个数为2.
答案：2.
点评：利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如函数的值域为，但它没有最大值，也没有最小值．
二、配方法
配方法是求二次函数最值的基本方法，如的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
例2 已知函数，求函数的最小值．
解析：将函数表达式按配方，转化为关于变量的二次函数．

令，
∵，∴的定义域为.
∵抛物线的对称轴为
∴，；，.
点评：利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．
三、换元法
换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如及部分根式函数形式的最值问题．
例3 设，，则的最小值是______．
分析：由条件的形式知，可利用三角换元法求的最值．
解析：∵，
∴令，，.
∴.
∴的最小值是－3.
答案：-3.
点评：在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值范围．如本题换元后中间变量，这由条件可得到．
四、不等式法
利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：
（为实数）；（，）；（为实数）
例4 设为正实数，，则的最小值为________．
分析：先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．
解析：∵，∴，∴ .
又∵为正实数，所以由基本不等式，得,
当且仅当时取“＝”．故的最小值为3.
答案：3.
点评:本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
五、函数单调性法
先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．
例5 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则＝________.
分析：先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数的值．
解析：∵，∴函数在区间上是增函数，
∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
又∵它们的差为，∴即，∴.
答案：4.
点评：解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间上的最值：若函数在上单调递增，则，；若函数在上单调递减，则，；若函数在上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．
六、导数法
设函数在区间上连续，在区间内可导，则在上的最大值和最小值应为在内的各极值与、中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．
例6 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是________．
分析：先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．
解析：∵，∴令，得＝－1(舍正)．
又∵，，，
∴的最大值为3，最小值为－17.
答案：的最大值为3，最小值为－17.
点评：(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在内的极值；第二，求函数在端点的函数值、；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．
七、判别式法
把函数转化为的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如 (不同时为0)的分式函数的最值．
例7 求函数的最大值和最小值．
分析：本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分母恒为正，故可以应用判别式法求解．
解析：∵的判别式，
∴对一切均成立．
∴函数的定义域为.
∴函数表达式可化为.
当时，；
当时，由，上面的一元二次方程必须有实根，
∴，
解得．综上得，.
点评:判别式法的应用，对转化的来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若，即，有，所以.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据的判别式去求解，要注意验证时的值对应的的值是否是函数定义域内的值，若是，则使的的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法
对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
例8 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为_______.
分析:本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．
解析:由题意，得，所以函数的定义域为．
又两边平方，得.
所以当时，取得最大值；当或1时，y取得最小值，∴.
答案：.
点评：对于形如的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．
九、数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．
例9 对，记，函数
的最小值是________．
分析：本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．
解析　由，得
∴.
∴，其图象如图1所示.
由图形易知，当时，函数有最小值，
∴.
答案：.

点评:用数形结合的方法求解最值问题，其关键是发现问题条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解最值的方法去解．
十、线性规划法
线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．
例10 已知点的坐标同时满足以下不等式组：，如果点O为坐标原点，那么的最小值等于________，最大值等于________．
分析:本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值.
解析：由题意，得点的坐标满足，画出可行域，如图2所示.
由条件得，，；
，；
，.
∴的最大值是，最小值是.

点评：本题求解，先要把问题化为线性规划问题，再利用线性规划方法求解最值．对类似的问题我们都可以借助线性规划方法求其最值．如已知实数满足，求函数的最值．可先画出可行域，即以原点为圆心，以1为半径的上半圆，这样问题就转化为求半圆上的点与点(-2,0)连线斜率的最值问题．可求得函数的最值为0，.
答案：0，.
上述介绍的数学思想和方法是根据近几年部分高考试题出现的知识点总结的，也是最值求解问题中最常用的，函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法。只要在平时注意归纳，加强训练，就能够熟练运用，没有任何一种方法能够“包打天下”，因此在具体实施时，还需要注意解题方法的选择，及各种思想方法的综合使用，实现优势互补，这样才能够“游刃有余”，让问题迎刃而解！
参考文献：
1. 钱红利.《浅谈求解函数最值的几种方法》
2. 赵先举.《最值问题大盘点》
3. 陈华伟.《最值问题》