汕头市XXXX~XXXX学年度普通高中毕业班教学质量监测理科数学试题.docx

汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测理科数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．
4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率
第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1
2．设全集是实数集，M={x|x2＞4}，N＝{x|}，
则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1 B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2 D．{x|x＜2}
3．下列函数中，最小值为2的是( )
A． B．
C． D．
4．设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是( )
A．192 B．182 C．-192 D．-182
5．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：

3
4
5
6

2.5

4
4.5
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为( )
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5
7．已知方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程( )
X
Y

A．至多有一个解 B．至少有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
8．定义在上的函数满足，为的导函
数，已知的图像如图所示，若两个正数、满足
，则的取值范围是( )
A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)
二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)
9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．
10．在等比数列中，首项，，则公比为 ．
11．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为 ．
12．已知三棱锥的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为 ．
13．在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为
第三项，9为第六项的等比数列的公比，则 ．
14．设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
①， ②，
③， ④.
其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分12分)
已知向量，函数·，
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域．
16．(本小题满分12分)
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为、，记；
(Ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率．
17．(本小题满分14分)
已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由．
18．(本小题满分14分)
某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：
①销售量(件)与衬衣标价(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：，在销售淡季近似地符合函数关系：，其中为常数；
②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中时的标价为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
(Ⅰ)填出表格中空格的内容：
数量关系
销售关系
标价(元/件)
销售量(件)(含、或)
销售总利润(元)与标价
(元/件)的函数关系式
旺季

淡季

(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？
19.(本小题满分14分)
已知数列满足如图所示的程序框图．
(Ⅰ)写出数列的一个递推关系式；
(Ⅱ)证明：是等比数列，
并求的通项公式；
(Ⅲ)求数列的前项和．

20．(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)若函数上是单调函数，
求实数的取值范围；
(Ⅱ)当t1时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
C
A
A
A
C
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)
9．20； 10．3； 11．； 12．18； 13．1； 14．②④， 。
解答提示：
一、选择题：1．由且得，选B；
2．依题意，M={x|x<-2或x>2}，，CRM∩N={x|1＜x≤2.选C;
3．无最小值，也没最小值，(有最大值2)，排B、C；，但等号不成立，排A；=，时取等号。选D；
4．因为，由题设知.
则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是，选 C；
5．①为假命题，②为真命题，在③中可以平行于，也可以在内，是假命题，④中，、也可以不互相垂直，为假命题；故选A。
6．
，选A；
7．由于，不共线，所以，则

O

1
-

1
-

4

2

a

b

；
8．解：观察图像，可知在上是减函数，在上是增函数，由，可得，画出以为坐标的可行域（如图所示阴影部分），而可看成与连线的斜率，可求得C为所求，故选C。
二、填空题：9．将高三（1）班56人用系统抽样抽取4人，每部分应为14人，故所选编号均间隔14，还有一位同学编号20。
10．由题设可得，从而；
11．四张卡片排成一排一共有12种不同排法，其中只有一种会受奖励，故孩子受奖励的概率为。
12．依题意知，PA,PB,PC两两垂直，以PA,PB,PC为棱构造长方体，则该长方体的对角线即为球的直径，所以

13．依设有，
所以.
14． 在直角三角形中，故
有，故填②④ 。
三、解答题：
15．解：
3分
令，解得，.
故函数的单调递增区间为.6分
8分
，
， 10分
即的值域为.
综上所述，的值域为. 12分
16．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为， 2分
当时，摸出小球所标的数字为1，1，，
当时，摸出小球所标的数字为2，2，，
可知，当时，； 5分
得的分布列为：

2
3
4

； 7分
（Ⅱ）由“函数在区间上有且只有一个零点”可知，即，解得，
又的可能取值为2，3，4，故，
事件发生的概率为。 12分
17．解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，，
，，
此几何体的体积为； 5分
解法一：（Ⅱ）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，
；即异面直线与所成角的余弦值为。9分
（Ⅲ）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；
连接、，在和中，
，∽，
，
，，，
，，，
以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；
，，，，
，； 14分
解法二：（Ⅰ）同上。
（Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。
（Ⅲ）设存在满足题设的点，其坐标为，
则，，，
， ①；
点在上，存在使得，
即，化简得， ②，
②代入①得，得，；
满足题设的点存在，其坐标为。
18．解：（Ⅰ）
数量关系
销售关系

标价（元/件）
销售量（件）（含、或）
销售总利润（元）与标价（元/件）的函数关系式
旺季

淡季

6分
（Ⅱ）在（Ⅰ）的表达式中，由可知，
在销售旺季，当时，利润取得最大值；
在销售淡季，当时，利润取得最大值.7分
下面分销售旺季和淡季进行讨论：
由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润.
因此在销售旺季，当标价时，利润取得最大值。此时，，销售量为. 10分
令得，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.
∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.可见在销售淡季，当标价时，，∴，∴. 12分
∴在销售淡季，当时，利润取得最大值，
故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件. 14分
19．解：（Ⅰ）由程序框图可知，， 2分
（Ⅱ）由，
且可知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，可得，即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
， 9分
（Ⅲ）,
①,
②,
两式相减得
14分
20．解：（Ⅰ）函数， ………………1分
， …………3分
因为函数在区间（0，1）上为单调函数
所以只需在区间（0，1）上恒成立，
即在区间（0，1）上恒成立，…………5分
解得故实数的取值范围是 …………7分
（Ⅱ）不等式
可化为
即 …………10分
记，要使上式成立
只须是增函数即可 …………12分
即在上恒成立，即在上恒成立，故，
实数的取值范围是。 ………………14分