品质管理全套资料-机率概论及机率分配.docx

授 課 目 錄
第一章 品質管理概說
第二章 統計學概論
第三章 機率概論及機率分配
第四章 統計製程管制與管制圖
第五章 計量值管制圖
第六章 計數值管制圖
第七章 製程能力分析
第八章 允收抽樣的基本方法
第九章 計數值抽樣計畫
第十章 計量值抽樣計畫
第十一章 量具之再現度與再生度
第十二章 品質管理之新七大手法

第三章 機率概論及機率分配

3.1 集合論
◎ 集合論(Set Theory)à機率論(Probability)à群體分配
◎ 集合是元素的聚合，而元素是集合的單位。
A={1, 2, 3} 1, 2, 3為A集合的單位 1ÎA
無元素的集合存在，稱之為空集合，記做{ }或Æ
例 集合B={X|X2+6X+5=0} 求B={-1, -5}
◎ 元素和集合的關係
A={1, 2, 3} 1ÎA； 4ÏA
◎ 集合和集合的關係
(1) 子集關係：AÌB(A含於B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到
A={1, 2, 3} B={1, 2, 3, 4} AÌB
B
A

(2) 等集關係：A=B(A等於B)即集合A與集合B中的元素完全相同
A={0, 1} B={X|X(X-1)=0} A=B
A=B

(3) 對等關係：A~B(A對等於B) 即集合A中每一元素可與集合B中的每一元素一對一對應關係
合格品
不合格品
A集合合
B集合合
1
0
A={0, 1} B={合格品，不合格品}

◎ 集合之運算
(1) 聯集運算：AÈB
(2) 交集運算：AÇB
(3) 去集運算：A-B
B
A
A
B

(4) 結合律：AÇBÇC=(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)
(5) 交換律：AÇB =BÇA
(6) 分配律：AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)
(7) 餘集：設W為全集，則W-A稱之為A之餘集，
記作A’， W-A=A’
A’
A

若A’ÈA=W A’ÇA=Æ (A’)’=A
另A-B= A Ç B’

(8) 分割：設W為全集，集合A、B均含於W，當滿足(a)AÈB=W (b) AÇB=Æ時，則稱為A、B為W上的分割。
A
B

(9) 餘集律：(AÈB)’=A’ÇB’ (AÇB)’=A’ÈB’

******************
符號說明：
X：隨機變數，P：機率，p：不合格率
p(x)：機率密度函數(離散型)
f(x)：機率密度函數(連續型)
F(x)：累積機率分配函數(連續型、離散型)
E[X] = m (期望值)，V[X] = s2 (變異數)
m ：母體平均值， s2：母體變異數
：樣本平均值， S2：樣本變異數
***********************
3.2 機率的概念
◎ 機率論是現代統計學的基礎。機率是為了衡量不確定結果，而建構出來的一種測度。其中基本的概念為：
※ 機率空間(Probability Space)：系統中，集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間，通常以W表示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結果空間(Outcome Space)。
※ 事件(Events)：系統中我們所要討論合理且可能發生的現象，是機率空間的基本元素。
※ 隨機實驗(Random Experiment)：可能出現的結果有很多種，重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。
※ 隨機變數(Random Variables)：定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數表示。它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。或將『文字敘述』轉換成『數字敘述』(將實驗結果以數值表示，省略一一列出可能實驗結果的煩雜)。常以X表示之，且其結果常符合某一特定分配。

函數係針對定義域與對應域(值域)之間一對一或多對一的關係，即輸入某一數值就對應輸出另一數值，過程與結果均是確定的(Deterministic)。
但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時，如擲一骰子對應的是可能出現6種情況，此即隨機變數。簡言之，隨機變數是一種多的『廣義函數』。實數值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)。

範例、某品牌相同原子筆n支，內有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間？(合格品=G，不合格品=NG)
W = {G，NG}=21
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1；W = {X|0，1}；如{x=1}={NG}
(X：隨機變數表選得不合格品數；x：事件)
範例、承上題，某同學任意選2支，試寫出樣本空間?
W = {(G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG)} =22
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1，2；X = {X|0，1，2}
如{x=1}={(G，NG)，(NG，G)}
範例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間?
W = {(G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG)} =23
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1，2，3；X = {X|0，1，2，3}
如{x=1}={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)}

實驗檢驗真理，真理只有一個。然隨機實驗中，其產生之結果是不確定的(Uncertainty)。機率就是衡量此不確定結果，而建構出來的一種測度。

如何決定機率值---決定機率值的方法
(1)理論機率=古典機率=機會均等機率
※ 樣本空間W內有n(W)個元素，若事件A為W之部份集合，含n(A)個元素，則事件A的機率為：
P(A)= n(A)/ n(W)

範例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?
n(W)=21 事件= {NG} n(A)=1 P(A)= 1/ 2
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1；W = {X|0，1}；則{x=1}={NG}
P(A)= n(A)/ n(W) P(x=1) =P({NG})=1/2

範例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?
n(W)=22 事件= {(G，NG)，(NG，G)} n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1，2；X = {X|0，1，2}
{x=1}={(G，NG)，(NG，G)} ；
P(x=1) =P({(G，NG)，(NG，G)})= 2/4 =1/2

範例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?
n(W)=23
事件={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)} n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1，2，3；X = {X|0，1，2，3}
則{x=1}={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)}
P(x=1) =P({(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)})= 3/8

計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。

(2) 經驗機率=客觀機率
※ 一隨機實驗重複試行n次，其中A事件共發生fA次，則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比：
P(A)= fA/n
當實驗的次數愈多，事件的相對次數比將愈趨穩定；即 P(A)=fA/n

(3)主觀認定機率
※ 一事件發生之機率，常由人們對此事的經驗，或心理的感覺而決定。此機率較有爭議。

機率公設
在樣本空間W中，事件A發生的機率記做P(A)，機率必須符合以下公設：
(1) P(W)=1，P(Æ)=0
(2) P(A)³0
(3) P(A’)=1-P(A)，其中A’=W-A
(4) 若BÎW，P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB)
樣本空間計算基本法則
法則一(加法原理)：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。
法則二(乘法原理)：完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1´n2´…´nk種方法。
法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。

範例、甲、乙二人擲骰子，約定甲擲出點數是1, 2時，甲可得2元；點數是3, 4時可得4元；點數是5時可得10元；點數是6時，則甲需付給乙20元。令X表擲骰子後甲所得的錢，求X的機率分佈?
W={1, 2, 3, 4, 5, 6} ；n(W) = 6
X的可能值有2，4，10，-20；X={X|2, 4, 10, -20}
P(x=2) =P({1, 2})= n(A)/n(W) = 2/6
P(x=4) =P({3, 4})= n(A)/n(W) = 2/6
P(x=10) =P({5})= n(A)/n(W) = 1/6
P(x=-20) =P({6})= n(A)/n(W) = 1/6
x
2
4
10
-20
p(x)
2/6
2/6
1/6
1/6
p(x) (x)
p(x=2)1)
p(x=4)
p(x=10)
p(x=-20)
x=2
x=4
x=10
x=-20

範例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現正面的次數，求X的機率分佈?
W={正正, 正反, 反正, 反反} ；n(W) = 4
X的可能值有0, 1, 2；X={X|0, 1, 2}
P(x=0) =P({反反})= n(A)/n(W) = 1/4
P(x=1) =P({正反, 反正})= n(A)/n(W) = 2/4
P(x=2) =P({正正})= n(A)/n(W) = 1/4
x
0
1
2
p(x)
1/4
2/4
1/4
p(x)
p(x=0)
p(x=1)
p(x=2)
x=0
x=1
x=2

上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數，即實驗結果其對應之數值只有可數的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)(離散型)。反之，連續型資料係屬連續型隨機變數，即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值，則以機率P(X£a)決定機率分配函數f(x) (連續型)。
3.3 統計獨立與條件機率
定義：統計獨立(Statistically Independent)
在樣本空間W中有兩事件A與B，若A發生的機率不受B影響，即P(AÇB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B為統計獨立。
範例：(獨立無關聯)

愛足球
不愛足球
合計
男
648
252
900
女
72
28
100
P(男)=900/1000=0.9；P(女)=100/1000=0.1=1-0.9
P(愛足球)=(648+72)/1000=0.72
P(不愛足球)=(252+28)/1000=0.28=1-0.72
P(男Ç愛足球)=648/1000=0.648
P(男Ç不愛足球)=252/1000=0.252
P(女Ç愛足球)=72/1000=0.072
P(女Ç不愛足球)=28/1000=0.028 由於
P(男Ç愛足球) =0.648= P(男) P(愛足球)
P(男Ç不愛足球) =0.252= P(男) P(不愛足球)
P(女Ç愛足球) =0.072= P(女) P(愛足球)
P(女Ç不愛足球) =0.028= P(女) P(不愛足球)
定義：互斥事件(Disjoint Events)
在樣本空間W中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AÇB= Æ，則稱事件A與B互斥。 P(AÇB)= 0。

定義：條件機率
在樣本空間W中有兩事件A與B。在事件A已發生的條件下，事件B發生的機率稱為條件機率，以P(B|A)表示，則P(B|A)=P(B ÇA)/P(A)。

範例、擲一枚銅板2次，求2次均出現相同結果下，至少出現一次正面的機率?
W={正正, 正反, 反正, 反反} ；n(W) = 4
A：2次均出現相同結果={正正, 反反}；n(A)=2
P(B|A) = P(B ÇA)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2

範例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?
設A為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則
P(B ÇA) = P(A) P(B|A)= (6/10)*(5/9) = 1/3

定理：貝氏定理
設B1, B2,…,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。在事件A已發生情況下，則事件Bk發生之機率為
P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/P(Bi)P(A|Bi)

範例、甲製造車廠有二條生產線B1 , B2，分別各佔60%和40%的生產量。已知生產線B1有2%的不合格率，生產線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產線B1之產品的機率？
B1= 0.6
B2= 0.4
A/ B1=0.02
A/ B2=0.03

P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) = 0.03
P(B1) = P(B1)P(A| B1)/[P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)]
=(0.6)(0.02)/[(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)]= 0.5

3.4 機率分配函數及其特徵值
機率分配函數(Probability Distribution Function)可了解事件在機率空間中，其密度分佈的情況，或樣本在母體中出現的頻率的情形。機率分配函數通常指累積機率分配函數(cdf, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機率密度函數(pdf, Probability Density Function)分別以p(x)---離散型與f(x)---連續型表示之。

機率分配之性質
x離散型：
(1) 0 £ p(xi) £1 所有xi值
(2) P(X = xi) = p(xi) 所有xi值
(3) Sp(xi) = 1 所有xi值

x連續型：
(1) 0 £ f(x)
(2) P(a £ x £ b) =f(x)dx
(3) f(x)dx = 1

一個隨機變數X之累積機率分配函數F(x)定義為：
F(x) = P(X£x)
F(x)表示隨機變數X之值小於或等於x的機率。x1<X£ x2時
P(x1<X£ x2) = F(x2)-F(x1)
F(x)具有下列性質
(a) F(x)是遞增函數，即若a £ b，則F(a) £ F(b)
(b) limx® -¥F(x)=0, limx® ¥F(x)=1
(c) F(x)是右連續函數

擲1骰子2次，令隨機變數X為2次點數之和
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(x)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
P(5 < X £ 9) = F(9) – F(5) = 30/36 – 10/36 = 20/36

平均值、變異數與期望值
一個機率分配的平均值是其集中趨勢。其定義為
m =xf(x)dx 連續型
m = Sxp(x) (所有x值) 離散型
亦可將平均值表示為隨機變數X的期望值(Expected Value)。其定義為
m = E[X] =xf(x)dx 連續型
m = E[X] = Sxp(x) (所有x值) 離散型
其中E代表為期望值運算子(Expected Value Operator)。

一個機率分配的變異數是其離散趨勢。其定義為
s2= (x-m)2f(x)dx 連續型
s2 = S (x-m)2p(x) (所有x值) 離散型
亦可將變異數以期望值表示。其定義為
s2 = E[(x-m)2]
另變異數的使用亦可定義為變異數運算子(Variance Operator) V表示
V[X] = E[(x-m)2]= s2

有關隨機變數X之平均值 m 與變異數s2與常數c，則
(1) E[c] = c
(2) E[X] = m
(3) E[cX] = c E[X] = cm
(4) V[c] = 0
(5) V[X] = s2= E[X2] - m2
(6) V[cX] = c2s2
(7) E[X1+X2] = E[X1]+E[X2] = m1+ m2
(8) V[X1+X2] = V[X1] + V[X2]+ 2Cov[X1, X2]
其中 Cov[X1, X2] = E[(X1-m1)(X2-m2)]為隨機變數X1與X2之共變異數(Covariance)。如X1與X2是獨立的，則Cov[X1, X2]=0。
(9) V[X1-X2] = V[X1] - V[X2]+ 2Cov[X1, X2]
倘X1與X2是獨立的，則
(10) V[X1-X2] = V[X1] + V[X2]= s21+ s22
(11) E[X1X2] = E[X1] E[X2] = m1 m2
一般而言，X1與X2是否獨立
(12) E[X1 / X2] ¹ E[X1] / E[X2]

範例：每天大型生日蛋糕銷售量(X)
銷售量
0
1
2
3
4
5

機率
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1

E[X]
0
0.1
0.4
0.9
0.8
0.5
2.7
E[X2]
0
0.1
0.8
2.7
3.2
2.5
9.3
V[X]
9.3 – 2.7^2 = 2.01

範例：投資電子股股票的投資報酬率(X)
可能投資報酬率
-10
-6
5
15

機率
0.1
0.3
0.4
0.2

E[X]
-1
-1.8
2
3
2.2
E[2X + 3]
2 E[X]+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4
E[X2]
10
10.8
10
45
75.8
V[2X + 3]
4(75.8 – 2.2^2) = 283.84

習 題
1、下列何種抽樣方法，抽樣作為估計群體誤差為最小(1)單純隨機抽樣法(2)系統抽樣法(3)分層隨機抽樣法(4)集體抽樣法(5)視情形。
2、亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件(編號00–49)要抽5件時，則抽樣第5件之編號為( 16 )。
3、進貨50件，系統抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為（ 33 ）。
4、
一班學生50人之重量(群體/樣本)
一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為(群體/樣本)
每批中取30個量測尺寸(群體/樣本)
100箱（當抽樣數為5）該箱可視為(無限群體/有限群體)
30箱(當抽樣數為5時)該箱可視為(無限群體/有限群體)
5、亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000件(編號000–999)要抽五件時，則抽樣第3件之編號為( 274 )

6、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，繪製柏拉圖，則於柏拉圖內第三要項之累積不良比率( 80% )。
A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, (40+24+16)%=80%
7、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，B類在百分比圖中之%為( 12 )。
8、同上，扇形圖A類之圖心角度( 144 )。
9、次數分配表之組中點為3.5，5.5，7.5，9.5，11.5試求組距( 2 ) 。
10、直方圖向規格上下限伸展時，表示變異過大平均數過小平均數過大變異過小平均數過小，變異也變小。
11、一組數字 1，4，7，9，Y 其R值＝10求Y。
9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=11
12、23，21，22，20，X 平均值＝23求X。
(23+21+22+20+X)/5 = 23, X=29
13、1，3，5，7，9 求樣本變異數及樣本標準差。8, 2(2)^0.5

14、某批取12個量測尺寸，其數據之特性必有(中位數/平均數/眾數)。
15、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.6～3.4間之次數約佔全部次數之( 95.45 % )。
16、和中心值無關統計量(標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數)。
17、寫出1至30中可被5整除之集合。{5, 10, 15, 20, 25, 30}
18、集合B=｛X︳X^2+6X+5=0｝求B=｛ -1, -5 ｝
19、A=｛1，3｝ B=｛3，5，6｝ C=｛1，3，5，8｝
A∪B={1, 3, 5, 6} A∩B= {3} A-B={1}
20、樣本空間Ω=｛1，2，3，4｝ A=｛1，2｝ B=｛3｝
A’=｛3, 4｝ A-B=｛1, 2｝, (A∪B)’=｛1, 2, 3｝’={4}, B∩A’={3}∩{3, 4}={3}
21、某公司有五架同型電視機，內有二架故障，王小姐任意挑選二架，試寫出樣本空間Ω={G G, G NG, NG G, NG NG}
22、一批製品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數目表示時，其樣本空間為{G G, G NG, NG G, NG NG}={ X| 0, 1, 2}。
23、一銅幣，其出現正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現次數表示，樣本空間為{正正, 正反, 反正, 反反}={X| 0, 1, 2}。
24、某製程要控制溫度，原料及水份，今考慮有4種水準的溫度，5種原料及2種不同水份，則製造方法共有( 4*5*2=40)種方法。
25、7題是非題總共有幾種答法。
26、求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=161700
27、從10件製品送驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種？C(10,3)=120
28、五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30
29、撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。
30、投一個六面骰子，出現偶數的機率= ( 1/2 )。
31、投二個六面骰子，出現和大於10機率= ( 1/12 )。
32、P(A-B)=0.4 P(A∪B)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.3

33、設A，B為互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 P(A∪B)=(0.9)P(A∩B)=( 0 )P(A’)=( 0.6 ) P(A’∩B)=(0.5 ) P(A∩B’)=( 0.4 )。
34、P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(A∪B)=0.7 則 P(A∩B)=( 0 )。
35、P(A)=0.4 P(A∪B)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件則Y=(0.3 )
36、P(A∩B∩C∩D)寫出上列公式。
37、P(A∪B)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(A︱B)=( 0 )。
38、P(B)=0.6 P(A∩B)=0.4 P(A｜B)=(0.4/0.6= 2/3 )。
39、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A’∩(B∪C))=(0.5 )。=P(B ∪C)=P(B)+P(C)-P(B ∩C)= P(B)+P(C)=0.1+0.4
40、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1
P(A∪C｜B’)=((0.2+0.1)/0.6=1/2 )
41、P(B)=0.6 P(A∩B)=0.4 P(A｜B)=( 2/3 )
42、A，B二罐子，A罐裝50個甜糖果，40個酸糖果，B罐裝60個甜糖果，30個酸糖果，今拿出一糖果並試出其為甜者，試問此糖從A罐取出之機率為何？A：取A罐之事件 B：取B罐之事件； D：甜糖果之事件；甜糖果，從A罐取出之機率，即求P(A｜D)=P(A∩D)/P(D)P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=P(A)×P(D｜A)+P(B)×P(D｜B)=(1/2*50/90+1/2*60/90=11/18 )
P(A｜D)=P(A∩D)／P(D)=((1/2*50/90)/(11/18)=5/11 )
43、設A和B互相獨立，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.9則 P(B)=( 5/6 )
P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)
0.9=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=5/6
44、A，B獨立P(A)=1／3 P(B)=1／2，A和B同時發生之機率=( 1/6 )
45、P(A)=0.4 P(A∪B)=0.7 P(B)=Y若A，B為獨立事件則Y=( 1/2 )
P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)
0.7=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=1/2
46、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P(A)=0.9 P(B)=0.8，P(A∩B)=( 0.72 )，則P(A∪B)=(0.9+0.8-0.8*0.9=0.98 )
47、某校IQ平均值110，標準差9，契畢懈夫定理計算至少含3/4 IQ之區間。( 92, 128 )
48、某校IQ平均值110，標準差9，謝比雪夫定理計算，(78.5，141.5)區間內次數之%。( 91.8% )
49、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.6～3.4間之次數約佔全部次數之( 95.45% )。若未知其分配型態則2.5～3.5間之次數約佔全部次數最少為≧( 84% )。
50、致遠工管統計學期末考，到考學生100人，平均分數為55分，標準差為5分，試問考生分數在40~70分間有幾人？(a) 謝比雪夫不等式，(b) 常態分配。
51、假設隨機變異X之機率密度函數如下：
，試求P(x £2)、E[X]，V[X]
52、某天麻豆空氣污染指數是75，試問(a) 依馬可夫不等式求其空氣污染指數大於100之機率？(b) 已知標準差為5，依謝比雪夫不等式求其空氣污染指數大於50，小於100之機率？

常用的機率分配與統計分配

當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分配當中，選擇出最接近該母體的機率分配，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。
常用的機率分配有：離散型與連續型二大類。

3.5 離散型機率分配
離散型機率分配(p)---常見有二項分配、卜氏分配、離散型均勻分配、超幾何分配。
若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。令隨機變數x = 1代表成功的事件，x = 0代表失敗的事件，此稱隨機變數X服從白努依分配(Bernoulli Distribution)。
x
1
0
P(x)
p
1-p
E[X]
1´p
0´(1-p)
V[X]=E[X2]-(E[X])2
p(1-p)
p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-x

(1) 二項分配(Binomial)---執行n次白努利隨機試驗，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。通常以隨機變數X~B(n, p)表示。
其機率密度函數與累積分配函數為：
p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,…,n
F(x) =C(n, k) pk (1-p)n-k
其期望值與變異數為：
E[X] = np V[X] =np(1-p)

Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution
pp. 101-110, Binomial Distribution

範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a) 此學生喜歡打籃球的期望值與變異數? (b) 隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?
SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true))
(a) 令隨機變數X代表喜歡棒與否，則(注意:N/Y)
E[X] = p = 0.4 V[X] = p(1-p) = 0.24
(b) 令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則(注意:人數)
E[X] = np = 5* 0.4 = 2 V[X] = np(1-p) = 1.2
P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346
/binomdist(2,5,0.4,false)/
P(X ³ 3) = 1- P(X £ 2) = 0.317
/1-binomdist(2,5,0.4,true)/

範例、工管系期末考統計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生採完全以猜的方式作答，試問(a) 此學生答對數的期望值與變異數? (b) 此學生期末考統計學分數的期望值與變異數? (c) 此學生考及格的機率? (d) 此學生最多考40分的機率?
SOL：公式、查表、Excel
(a) 令隨機變數X代表此學生答對題數，則(注意:題數)
E[X] = np = 20* 1/4 = 5 V[X] = np(1-p) = 3.75
(b) 分數期望值(注意:分數)
E[5X] = 5E[X] = 25 V[5X] = 25*3.75 = 93.75
(c) 此學生須答對12題以上才能及格，因此，
P(X ³ 12) = 1- P(X < 12) = 0.0009
/ 1-binomdist(11,20,0.25,true)/
(d) P(X £ 8) = 0.9591
/binomdist(8,20,0.25,true)/

(2)卜氏分配(Poisson)---在一個單位時段或區域內，某事件發生的次數。通常以隨機變數X~Poi(m)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
p(x) = e-mmx/x! x = 0, 1,…
F(x)=e-mmk/k!
其期望值與變異數為：
E[X] = m V[X] = m
離散型隨機變數X具有卜氏分配時，有下列特性
(a) 每一個時段或區域內事件的發生皆是相互獨立。
(b) 在一固定時段內，事件發生的機率p均相同。
(c) 卜氏分配可由n很大時的二項分配逼近
C(n,x) px (1-p)n-x = e-mmx/x!

範例、6月至9月為台灣颱風季節，中央氣象局統計資料指出，台灣每年有5個颱風過境，(a) 今年台灣沒有颱風過境之機率? (b) 將有5個颱風過境之機率? (c) 超過7個以上颱風過境之機率?
SOL：公式、查表、Excel
令隨機變數X代表每年颱風過境台灣次數，則
X~Poi(m) X~Poi(5)
P(x = 0) = e-mmx/x! = 0.0067
/=poisson(0,5,false)/
P(x = 5) = e-mmx/x! = 0.1755
/=poisson(5,5,false)/
P(x ³ 7) = 1- P(X £ 6) = 0.2378
/ 1-poisson(6,5,true)/

範例、青輔會資料顯示，台灣大約有2%的成年人具有碩士以上的學歷。茲由全台成年人中，隨機抽取100人，其中洽3人具有碩士以上的學歷之機率?
SOL：公式、查表、Excel(比較二項與卜氏分配)
令隨機變數X代表擁有碩士以上學歷人數，則依二項分配的定義，X~B(100,0.02)，即
P(x=3) = C(100,3)(0.02)3 (0.98)97 = 0.1823
/=binomdist(3,100,0.2,false)/
若依卜氏分配，X~Poi(m)，m = np=2，X~Poi(2)
P(x = 3) = e-mmx/x! = 0.1804
/=poisson(3,2,false)/

(3) 離散型均勻分配(Discrete Uniform)---樣本空間有N個相異的元素，{1, 2, 3, …, N}。且此N個元素被抽中的機會皆均等。通常以隨機變數X~DU(N)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
p(x) = 1/N x= 1, 2,…,N
F(x) = x/N x = 1, 2,…,N
其期望值與變異數為：
E[X] = (N+1)/2 V[X] = (N2-1)/12

範例、擲骰子1次，則擲出點數(X)的期望值與變異數?
x
1
2
3
4
5
6

P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

p(x)
1/6
E[X]
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/2
V[X]
E[X2]-(E[X])2 = 91/6 –49/4 = 35/12

(4) 超幾何分配(Hypergeometric)---若母體內含有N個元素，此N個元素分成兩類，其中具某種特