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培养学生反思习惯 发展自我教育能力
——对解题反思的初探

摘要：“为学之道，必本与思，思则得之，不思则不得也”.解题能力的培养是数学学习永恒的话题.反思是提高解题水平的关键环节.通过反思，可以不断积累经验，培养思维的深刻性与批判性,是激发学生探索数学的兴趣，培养学生解题能力的必然选择.本文通过对知识、概念的反思，对解题思路、过程和途径的反思，对题目特征的反思,对数学思想方法的反思等的探索和实践，简约阐述了如何引导学生在问题解决过程中不断反思，提高学生自我学习数学的能力.

关键词：培养 反思 探索

古人云：“学贵自得”、“学贵有疑”.学习不主动，不反思，就很难获得深入学习的能力和求异、创新的品质.解题是培养数学思维能力的一个重要环节，但学生的学习如果缺乏解题反思，往往印象很浅，思维的深刻性及批判性得不到发展，数学家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”.引导学生解题反思能促进学生的理解从一个水平升到更高的水平，促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索一般规律，并进而产生新的发现，同时也有助于优化学生的思维品质，提升学生的数学能力.学生只有在思考、再思考的过程中获取知识，才能沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，拓宽思路，优化解法，提高学习效率，增强创造性解决问题的能力，提高学生的自我认识、自我教育水平.本文结合平时的教学实践对解题反思教学作了如下一些肤浅的探索.
一、反思是纠错的重要手段
当代科学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”.因此，反思错误，弄清哪些地方易犯错误，回忆自己解决问题的结果和过程，找出错误的根源，分析出错原因，提出改进措施，明确正确的解题思路和方法，这是培养学生批判性思维的重要途径.
学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有逻辑上、策略上造成的，更有非智力因素造成的，因此在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，并及时总结.纠错反思可改善学生思维能力和习惯，提高解题能力.
1、反思所学知识，培养知识的全面性.
如在复习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，曾发现，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点，”“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线合一”，早已烂熟于心，但一解题还是要出错.
例：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于 .
错解：如图1，∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300. A
分析：错误的原因就是学生没有认真理解“三线”这
个知识点，他们认为“三线”都在三角形内部. D
通过学生反思、讨论，最终对“三线” 这个知识点
有了进一步理解，发现三角形的内心（即角平分线的交点） B C
肯定在三角形内部，三角形三条中线的交点也肯定在三角 图1
形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，于是得出了正解. D
解：（1）当ΔABC是锐角三角形时， A
∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300.
（2）当ΔABC为钝角三角形时， B 图2 C
∵CD⊥AB，CD=1/2AC，∴∠DAC=300，∴∠BAC=1500.
通过此题的进一步反思，学生们又发现了三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能的位置. P8
又如，在等边ΔABC（如图3）所在平面
上找一点P，使ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是等腰 P7 A P6
三角形，这样的点P共有（ ）个. P4 P3
A．1，B．4，C．7，D．10． P1
A B C
P9 P2 P10

B 图3 C P5
错解：选A或选B或选C. 图4
通过反思探讨，学生们发现本题的错误在于对图形的分类不全面造成漏解，正确的解法应逐级分类：（1）点P在ΔABC的内部有1个点；（2）点P在ΔABC的外部有9个点，共有10个点.如图4所示.
这两题的反思训练，充分激起了学生求知、求思的积极性和主动性，起到了自我认识教育的目的，同时也唤醒学生要真正理解所学的概念、定理、法则等知识，养成全面思考，善于分析的习惯，提高自我认识水平.
2、反思心理定势，克服思维定“死”
学生的解题过程实质上是一个心智活动过程.学生除了自身知识所限外，还不同程度地受一定的心理因素制约.如心理定势的反作用使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性，从而导致解题迷茫或失误.如在学习了一元二次方程和分式方程后补充了一例.
例：已知关于x的方程x/（x-2）+（2x+k）/x（x-2）=0只有一个实数根，求k的值和这个实数根.
错解：把原方程化为x2+2x+k=0 ①，因为方程只有一个实数根，所以Δ=0，由Δ=22-4k=0，得：k=1，把k=1代入方程①得：x2+2x+1=0，解得：x=-1，经检验：k=1，x=-1为所求.
通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思，发现上解中去分母后的一元二次方程有一个实数根，只考虑了有两个实数根的情况而忽略了另一种情况：化简后的一元二次方程有两个不同的实数根时，只要其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根所满足它.因此，正确的解法应进一步补充：当有一增根x=2时，由方程①得：k=-8，此时由x2+2x-8=0可解得另一根x=-4；当有一增根x=0时，由方程①得：k=0，此时由x2+2x=0可解得另一根x=-2.
通过此例的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题，有时可以反客为主，有时可以以退求进，真正克服思维定“死”.
3、反思隐含条件，提高思维全面性
解数学题时往往有这么一种现象：对有一些含有附加条件的问题简单易解，但结果都是错误的，原因是学生没有认真审题，没有充分考虑条件中隐含的深层含义，挖掘所有的内容.
如学习了二次函数后，很多学生在下例中出现了错误.
例：已知边长为4cm的正方形（如图5）截去一角成五边形ABCDE，
且AF=2cm，FB=1cm，在边AB上求点P，使矩形PNDM的面积最大.
错解：设PM=x cm，矩形PNDM E A F
的面积为y cm2，则y = -x2/2+5x = M x P
-1/2（x-5）2+12.5，a=-1/2<0， B
∴函数y有最大值.当x=5时，y最大值=12.5，
即矩形PNDM的面积最大. D N C
通过反思,学生们发现了错误的原因： 图5
即由于记住了“当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值”,而忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”,在2≤x≤4内取不到x=5的值，所以矩形PMDN的最大面积为12.5cm2是错误的.正确解法，应补充函数自变量x的取值范围，进一步求出点P与点B重合时，矩形PNCM的最大面积为12cm2.
通过此题的反思训练，使学生们领悟到读题一定要仔细，要注意对隐含条件的挖掘，提高思维的全面性.
常说：“吃一堑，长一智”.从错误中得到的教训，更能发人深思.学生在解题中往往会出现一些错误的思维方法，只要让学生自己进行反思训练，从中找出错的思维方法，才能更好地查出错误，索取新知.
二、解题反思的有效途径
“学而不思则罔，思而不学则殆”.在数学学习中，许多同学只注意解题的数量，而不重视解题的质量；只重视解题的结果，而不重视解题的过程.要让学生形成良好的学习方法，就必须把学生从题海中领出来，引导学生从解决问题的方法、规律、思维策略等方面进行多角度、多侧面的反思，总结解题的经验教训.
1、反思解题规律，培养学生深入钻研的习惯及探索精神，提高解题能力
同一类型的问题，解题方法往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，提高解题能力.
如：判断下列各式是否成立？
(1)=2 , (2) =3 , (3) , (4).
学生们经过运算，很快就能判断出（1）（2）（3）式成立，（4）式不成立.
教师可不失时机地引导学生反思透过事物表面现象，洞察本质，探索解题规律，并提出问题：哪些二次根式根号里面的数可以移到根号外面来？
学生们通过观察等式两边的数，于是得出了一般式子：
,（a为大于1的整数）
通过反思，引导学生从特殊到一般，从而推广出一类问题的解决办法，这有利于培养学生的深入钻研的良好习惯，提高解题能力.
2、反思解题的思维过程，可开阔思路，培养思维的灵活性
解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径，学生在做完一道题后的反思，不仅是简单回顾或检验,而应根据题目的基本特征与特殊因素,进行多角度、多方位的观察、联想.反思自己的解答是否有错，错误的原因是什么？若解答正确则想一想有无新的解题途径？若有另解则应分析比较,找出最佳解法,最后再总结一下解答此类题目有无规律可循？使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展.
如：二次方程ax2+bx+c=0，两实根的平方和为m，两根和为n，试求am+bm+2c的值.
对于此题，很多学生在练习时，没有清晰的思路，有些学生考虑了根与函数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐.于是在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标am+bm+2c与方程ax2+bx+c=0，就会发现它们中a、b、c出现的顺序完全一致，只是目标中c的系数为2，方程中c的系数为1，而从1到2的最简单的方法就是加法.经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法.
解：设方程的两根分别为x1、x2，则有ax21+bx1+c=0 ①，ax22+bx2+c=0 ②，式①+式②得：a（x21+x22）+b（x1+ x2）+2c=0，而由已知得x21+x22=m，x1+ x2=n，∴am+bn+2c=0.
又如在梯形的复习课中安排了如下一例.
例：如图6，已知梯形ABCD的上底AD=1cm，下底BC长为4cm，对角线AC长4cm，BD长3cm，求梯形的面积.
初出示此题，就有学生提出要作梯形的高线，当然求梯形的面积确实需要“高”，于是过A作梯形的高AE，但这条高线的长度是多少呢？学生沉默了，于是又有同学提出来过D作梯形的高DF，就可通过列方程来解了，于是得出了一解.
解：分别过点A、点D作梯形的高AE、DF，设AE、DF为x cm，BE为y cm，
在RtΔAEC中由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即x2+（4-y）2 = 42，
同理在RtΔDBF中得x2+（1+y）2 = 32，
即： x2+（4-y）2 = 42 ① 解得： x = 12/5，
x2+（1+y）2 = 32 ② y = 4/5，
∴高线AE=12/5，梯形ABCD的面积 = 1/2（1+4）×12/5 = 6 (cm2).
A D A D
O

B C B E F C
图6 图7
虽然二元二次方程组还没有学，但解方程组过程中，可以发现二次项都可以消去，因此，此法可行.
以上的解法比较直接，面积公式中的“高”不知道，于是就想到求高，同时此题还灵活地运用了勾股定理及二元二次方程组.
在学生正确解答后，及时对上解进行了了总结，并引导学生反思题目特点，引导学生能否换个思路，不直接求梯形的高去求面积？
通过学生反思、讨论，于是有些学生发现了两条对角线的长度，与上、下底长度和的特殊关系，并结合图形提出可能AC⊥BD，同时经过学生分析、讨论，此时梯形将被分割成四个直角三角形，梯形的面积是两个都以AC为底的ΔADC与ΔABC的面积和，而它们的高的和就是BD，于是梯形的面积就是对角线积的一半.同时发现和菱形求面积方法一致.结合梯形常用辅助线作法，于是学生们很快找到了只要过A作BD的平行线，利用勾股定理逆定理就可证得AC⊥BD，于是马上得出了第二解. A D
解二：过点A作AE//BD
交CB的延长线于E，由AD//BC
得AD=BE=1cm，AE=BD=3cm， E B 图8 C
所以ΔAEC中AE=3，EC=1+4=5，AC=4，∴∠EAC=900，又AE//BD，∴∠BOC = 900，即AC⊥BD，∴梯形ABCD面积 = 1/2 AC•BD = 1/2×4×3 =6（cm2）.
此时学生的思维处在获得成功的兴奋中，于是不失时机地引导学生思考：能否把此题推广到一般四边形中？
经过学生们探索、反思，马上有学生得出了结论：“任意四边形如果对角线互相垂直，那么面积可用对角线积的一半”（证明可留给学生作为课外作业）.
通过对解题思维的反思，重新审查题意，更正确、完整、深刻地理解了题目的条件和结论，激活了学生的思维，开阔了思路，使各种技能与方法相互渗透，使较多的知识点得到了复习巩固，学生自己通过实例还“拓展”了一个定理，虽然此结论早就有了，但学生自己发现了并合理地运用了，使学生的解题能力得到了提升、发展.
3、反思解题的过程与途径，拓宽思路，优化思维方式
“欲穷千里目，更上一层楼”.解题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合.很多数学题有多种解法，如能认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，可以开拓思路，养成“从优”、“从快”的解题思维方式.
如在复习 解方程组时，给学生留了一题有相同解的二元一次方程组.
例：若关于x、y的方程组 7x+5y = 12 a+1 和 2x-3y = 5-5b
5x+7y = -1 2x-4y = 3
有相同的解，试求a、b的值.
大部分学生在解题时都想到了先解两个关于x、y二元一次方程组，解法如下：
解一：分别解两个方程组，得它们的解为：
x =（7a+1）/2， x =（11-20b）/2，
y = -（5a+1）/2； y = 2-5b.
由于两个方程组的解相同，所以有
（7a+1）/2 =（11-20b）/2， 解之得： a = 0，
-（5a+1）/2 = 2-5b， b = 1/2.
此解法是根据解方程组的步骤先求出原方程组的解，再由相同的解的意义构造出a、b的方程组，求出a、b的值.其思路自然，但运算较繁，而且很多学生不习惯解字母系数方程.
于是趋势打铁，让学生反思方程组解的意义，于是通过学生的反思、探索，得到了如下解法：
解二：由两个方程组的解相同，所以根据方程组的解的意义有：
7x+5y=12a+1 ① 由②、④解得x = 1/2，y = -1/2，
5x+7y=-1 ② 再分别代入①、③求得： a = 0
2x-3y=5-5b ③ b = 1/2
2x-4y=3 ④
此解法巧用了方程组的意义，得到一个四元一次方程组，求出a、b的值，其思路巧妙、运算简捷，既使方程组解的概念得到了巩固，又优化了解题，使学生思维的发散性、灵活性得到了培养，解题能力得到了发展.
4、反思题目特征，培养思维发散
江总书记曾指出：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”.而反思题目特征，从多角度、多方面、多层次去思考问题、认识问题和解决问题，通过反思题目特征，将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学知识，而且能培养和发展学生思维的广阔性和创造性.特别在上复习课时，内容不必面面俱到，但在重点知识的深度和广度上进行挖掘和拓展，可培养学生广泛联想的思维品质，训练学生发散思维的能力和应变能力.
例：已知：如图9，点C为线段AB上的一点，ΔACM、ΔCBN是等边三角形，求证：AN=BM.
在直接证明原问题后，可改变题目的条件，使图形发生变化，在运动变化中观察相关图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律.
变式一：如图10，上题中当条件不变时，ΔACM、ΔCBM在AB异侧时，结论还成立吗？请说明理由.
N N

M
P Q
A C B
A C B
图9
M 图10
N E F

M C G D

A B A C B
图11 图12
变式二：如图11，上题中，当条件不变时，点C在AB外时，结论还成立吗？请说明理由.
变式三：当原条件不变，设AN与MC相交于P点，NC与MB交于Q点，连结PQ，试判断并证明：（1）ΔPQC是什么三角形？（2）PQ与AB有什么关系？请说明理由.
变式四：如图12，若在线段AB上取一点C，在AB的同侧作正方形ACDG和正方形BCEF，AE=BD吗？AE⊥BD吗？请说明理由.
这一组变式题，证明过程都不复杂，但通过对原题适当的变形、适度的引申、有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求、拓广引申，有利于激发和培养学生的探索精神.在复习教学中，也充分证实了这一点.不仅活跃了课堂气氛，学生们的思维广阔性也得到了发展.
解（略）.
5、反思数学思想方法，提高数学素质
日本数学家、教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些都随时随地发生作用，使他们终身受益”.在解题时如先思考题目特征，寻求基本思想方法，或在每一次解题后，都对自己的思路作出评价，对解题过程中反映的数学思想、方法进行总结、概括，这样长此以往，不仅能巩固知识，避免解题错误，还可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程，提高学生的分析问题、解决问题的能力，优化他们的数学思维，达到融会贯通的境界.
如通过反思发现，解一些找规律类题时，往往可用归纳猜想的思想；解应用题时，可利用设元、消元思想；解一些最优化类题时，往往可用函数、方程、不等式的思想；在求一些函数解析式时，往往可用数形结合、转化、待定系数的思想等.因此，数学思想方法是数学的灵魂，是知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.
解题反思是一门很深的学问，还包括很多方面，本文只是对解题过程、对题意理解、对问题本身的再思考，对数学思想方法等方面进行反思探索.反思最重要的是要学生学会自己反思，通过我们教师的示范、引导，能够自觉地进行反思，逐步养成一种反思的意识和习惯.实践证明，在数学教学中，经常引导学生积极地反思自己的学习活动，能优化认知结构，提高学习效率，激发学生的创新意识，使之成为创新型人才.