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吉林省延吉市2011-2012学年高三质量检测
理数模拟试题 2012.2.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，（是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．设非空集合A, B满足AB, 则 （ ）
A．x0∈A, 使得x0B B．x∈A, 有x∈B
C．x0∈B, 使得x0A D．x∈B, 有x∈A
3．设 、、是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．在中，若则角B的大小为 （ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
5．若向量=（x-1，2），=（4，y）相互垂直，则的最小值为 （ ）
A．12 B．
C． D．6
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为 （ ）
A． B．
C． D．
7．等差数列中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于 （ ）
A．9 B．9 C．3 D．0
9．若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线 的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
10．定义方程的实数根叫做函数的 “新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题25分）
11． 已知向量．若a— 2b与c共线，则k=________．
12.已知,,的最小值为,则正数 ．
13．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率为（ ）．
14．已知：点C在内,且设则 ．
15．曲线Ｃ：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当a=1，b=1时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ．
三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数
（I）当的单调区间和极值；
（II）若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

17．(本小题满分12分)
某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．
(I)求AB的长度；
(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．

18.(12分) 已知函数
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，
画出函数上的图象.

19．（12分）如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2.
（1）求异面直线PC与BD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？
若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

20．（12分）（已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.
（Ⅰ）分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.
（Ⅱ）当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，请说明理由.

21.(15分)数列{an}，a1=1，
（1）求a2，a3的值；
（2）是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设，

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理数模拟试题答案
一．选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
D
B
B
B
C
C
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题25分）
11.1 12。 13. 14.3 15.
三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）
16. 解：（I）函数
当 …………2分
当x变化时，的变化情况如下：

—
0
+

极小值

由上表可知，函数；
单调递增区间是
极小值是 …………6分
（II）由 …………7分
又函数为[1，4]上单调减函数，
则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.
即在[1，4]上恒成立. …………10分
又在[1，4]为减函数，
所以
所以 …………12分
17. 解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得
①
在中，由余弦定理及整理得
②………2分
由①②得：
整理可得 ，……………4分
又为三角形的内角，所以,
又,,所以是等边三角形，
故，即A、B两点的距离为14.……………6分
（Ⅱ）小李的设计符合要求.
理由如下：

因为…………10分
所以
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择建造环境标志费用较低。
即小李的设计符合要求.…………12分
18.（Ⅰ）
所以，的最小正周期，最小值为
（Ⅱ）列表：
x
0

2
0
－2
0

故画出函数上的图象为
19. 如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
（1）
∴
∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°
（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记

∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，
即，∴
∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
20. (Ⅰ)由，得，设
过点A的切线方程为：，即
同理求得过点B的切线方程为：
∵直线PA、PB过，∴,
∴点在直线上，∵直线AB过定点，
∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.
（Ⅱ） 设，设直线的方程为：，
则直线的方程为：，
，
， ①
设弦PQ的中点，则
∵弦PQ的中点在直线上，∴，
即 ②
②代入①中，得 ③

由已知，当时， 弦长|PQ|中不存在最大值.
当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，
即当时，弦长|PQ|中的最大值为
21. 解：（1）
（2）设，
即
故
∴
又 使得数列 是等比数列
（3）证明：由（1）得
∴，故
∵
∴
，现证
当n=2时，，
故n=2时不等式成立，当得

∵