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二項分配的期望值與標準差
建國中學 沈朋裕老師

隨機變數是指一定義在樣本空間上的實函數，以抽籤為例，假設在籤筒裡有若干支籤，其中有獎籤的比例是p，今有人每次抽出一支籤，取出後須放回籤筒，連續抽取 n 次，則此人抽到有獎籤數目的所有可能是0、1、… …、n，也就是說抽到有獎籤比例的所有可能是0、1/n、… …、1，因此我們可以定義樣本空間 W = { wk｜wk是指抽到k支有獎籤，其中0 £ k £ n }，而定義隨機變數X1：W à R，X1(wk) = k，及隨機變數X2：W à R，X2(wk) = k/n（其中0 £ k £ n），這兩個定義在樣本空間上的實函數，都稱為 W 的隨機變數。我們可以由P({wk})=來定義樣本空間 W 上所有子集合的機率函數，而且可以將P({wk})簡寫成P(X1 = k)或是P(X2 = k/n) 。現在我們用表格來敘述這兩個隨機變數：

X1
0
1
… …
n
P
0

… …

X2
0
1/n
… …
1
P
0

… …

現在定義隨機變數 X 的期望值（其中xi是X所對應的值，而pi是事件「X=xi」發生的機率），我們現在對此值給予一個較方便的符號m。另外定義隨機變數 X 的變異數，因此

我們用抽籤的例子來計算其期望值與變異數：
(1)先處理只抽一次籤的情況：此時樣本空間 W = { w0，w1｜w0表示沒抽中有獎籤，w1表示抽中有獎籤 }，設X：W à R，X(w0) = 0，X(w1) = 1，則，

(2)再處理抽n次籤的情況：此時樣本空間 W = { wk｜wk是指抽到k支有獎籤，其中0 £ k £ n }，設X：W à R，X(wk) = k/n（其中0 £ k £ n），則